动点路径长专题(含答案)

1、动点路径长专题一选择题共2小题1如图，抛物线 y=x2-x-与直线y=x - 2交于A、B两点点A在点B的左侧，动点P从A点出发，先到达抛物 线的对称轴上的某点 E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点B.假设使点P运动的总路径最短，那么点 P运动的 总路径的长为A.B.C.D.图1图22. 如图，半径为 4的OO中，CD为直径，弦 AB丄CD且过半径 0D的中点，点E为OO上一动点，CF丄AE于点F.当 点E从点B出发顺时针运动到点 D时，点F所经过的路径长为A.B.C.D.二.填空题共9小题3. 2021?鄂尔多斯如图，直线 y - x+4与两坐标轴交 A B两点，点P为线段OA上的动点，连

2、接 BP,过点A 作AM垂直于直线BP,垂足为 M当点P从点O运动到点A时，那么点M运动路径的长为_ .图3图4图54. 如图，半径为2cm,圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点 P.从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H设 OPH的心为I，当点P在上从点A运动到点B时，心I所经过的路径长为 .5. 2021?模拟扇形的圆心角为 60°,半径为1,将它沿着箭头方向无滑动滚动到 O A B'位置， 点O到O'的路径是 OOO 1OTO Q' 点O到O'的路径是; 点O在00 2段上运动路线是线段 OQ; 点O到O'的所经过的路径长

3、为.以上命题正确的选项是_ .6. 2021?丨如图，在 Rt ABC纸片中，/ C=90 , AC=BC=4点P在AC上运动，将纸片沿 PB折叠，得到点 C的 对应点DP在C点时，点C的对应点是本身，那么折叠过程对应点 D的路径长是 .图6图7图87. 如图，AB=1Q P是线段AB上的动点，分别以 AP、PB为边在线段 AB的同侧作等边 ACP和厶PDB连接CD设 CD的中点为G当点P从点A运动到点B时，那么点G移动路径的长是 .& 2021?丨如图，点A是第一象限横坐标为2的一个定点，ACLx轴于点M,交直线y= - x于点N.假设点P是线段ON上的一个动点，/ APB=30 ,

4、 BAL PA那么点 P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动.求当点 P从 点O运动到点N时，点B运动的路径长是 .9. 2021?丨如图，线段 AB=10, AC=BD=2点P是CD上一动点，分别以 AP PB为边向上、向下作正方形 APEF和 PHKB设正方形对角线的交点分别为O、Q,当点P从点C运动到点D时，线段OQ中点G的运动路径的长是 图9图10图1110. 2021?竹溪县模拟如图： AB=10,点C、D在线段AB上且AC=DB=1 P是线段CD上的动点，分别以 AP、PB为边在线段AB的同侧作等边 AEP和等边 PFB连结EF,设EF的中点为G;当点P从点C运动到点D时，那

5、么点 G移动路径的长是.11. 如图，一根长为 2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时 BC为1米，当A点下滑至A'处并且A'C=1米时，木棒AB 的中点P运动的路径长为米.三解答题共1小题12. 2021?义乌市模拟如图，边长为 4的等边 AOB的顶点O在坐标原点，点 A在x轴正半轴上，点B在第一象 限.一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点 O向点A匀速运动，当点 P到达点A时停止运动，设点 P运动 的时间是t秒.在点P的运动过程中，线段 BP的中点为点E,将线段PE绕点P按顺时针方向旋转 60°得PC.1当点P运动到线段 OA的中点时，点 C的坐标为;2在点P从点

6、O到点A的运动过程中，用含t的代数式表示点 C的坐标；3在点P从点O到点A的运动过程中，求出点 C所经过的路径长.?动点路径长专题?参考答案与试题解析一.选择题共2小题1. 如图，抛物线 y=x2 -x-与直线y=x - 2交于A、B两点点A在点B的左侧，动点P从A点出发，先到达抛物 线的对称轴上的某点 E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点B.假设使点P运动的总路径最短，那么点 P运动的 总路径的长为A.B.C.D.考点：二次函数综合题.专题：压轴题.分析：首先根据题意求得点 A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴 x=的对称点A', 作点B关于x轴的对称点B

7、',连接AB',那么直线AB'与直线x=的交点是E,与x轴的交点是F,而且易得A B'即是所求的长度.解答：解：如图2抛物线y=x - x-与直线y=x - 2交于A、B两点，X 2 - x- =x - 2,解得：x=1或x=,当 x=1 时，y=x - 2=- 1,当 x=时，y=x - 2=-,点A的坐标为，-，点B的坐标为1，- 1，t抛物线对称轴方程为：x=-=作点A关于抛物线的对称轴 x=的对称点A',作点B关于x轴的对称点B', 连接A B',那么直线A B'与对称轴直线 x=的交点是E,与x轴的交点是F, BF=B

8、F, AE=A E,点P运动的最短总路径是 AE+EF+FB='AE+EF+F B =A' B',延长BB , AA相交于 C, A' C=+ 1-=1, B ' C=1+= A ' B '=.点P运动的总路径的长为.应选A.点评：此题考察了二次函数与一次函数的综合应用.注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用.2. 如图，半径为 4的OO中，CD为直径，弦 AB丄CD且过半径 0D的中点，点E为OO上一动点，CF丄AE于点F.当 点E从点B出发顺时针运动到点 D时，点F所经过的路径长为A.B.C.D.考

9、点：圆的综合题.专题：压轴题.分析：连接AC, AO由AB丄CD利用垂径定理得到 G为AB的中点，由中点的定义确定出OG的长，在直角三角形AOG中，由AO与OG的长，利用勾股定理求出 AG的长，进而确定出 AB的长，由CO+G求出CG的长，在直 角三角形AGC中，利用勾股定理求出 AC的长，由CF垂直于AE,得到三角形 ACF始终为直角三角形，点 F 的运动轨迹为以 AC为直径的半径，如图中红线所示，当E位于点B时，CGL AE此时F与G重合；当E位于D时，CALAE此时F与A重合，可得出当点 E从点B出发顺时针运动到点 D时，点F所经过的路径长， 在直角三角形 ACG中，利用锐角三角函数定义

10、求出/ ACG的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，禾U用弧长公式即可求出的长，即可求出点F所经过的路径长.解答：解：连接AC AO/ ABL CDG为AB的中点，即 AG=BG=ABTOO的半径为4，弦ABLCD且过半径 OD的中点， OG=2在Rt AOG中，根据勾股定理得：AG=2 AB=2AG=,4又/ CG=CO+GO=4+2=6在Rt AGC中，根据勾股定理得：AC=4CF丄 AE ACF始终是直角三角形，点 F的运动轨迹为以 AC为直径的半圆，当E位于点B时，CGL AE此时 F与G重合；当E位于D时，CAL AE此时 F与A重合，当点E从点B出发顺时针运动到

11、点 D时，点F所经过的路径长，在 Rt ACG中，tan / ACG=/ ACG=30 ,所对圆心角的度数为 60°,直径AC=4的长为=n,那么当点E从点B出发顺时针运动到点 D时，点F所经过的路径长为 n.应选C.点评：此题考察了圆的综合题，涉与的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以 与圆周角定理，其中根据题意得到点E从点B出发顺时针运动到点 D时，点F所经过的路径长，是解此题的关键.二填空题共9小题3. 2021?鄂尔多斯如图，直线 y - x+4与两坐标轴交 A B两点，点P为线段OA上的动点，连接 BP,过点A 作AM垂直于直线BP,垂足为 M当

12、点P从点O运动到点A时，那么点M运动路径的长为.考点：一次函数综合题.分析：根据直线与两坐标轴交点坐标的特点可得A、B两点坐标，由题意可得点 M的路径是以AB的中点N为圆心，AB长的一半为半径的，求出的长度即可.解答：解： AM垂直于直线BP,/ BMA=90 ,点M的路径是以AB的中点N为圆心，AB长的一半为半径的，连接ON直线y= - x+4与两坐标轴交 A B两点， OA=OB=4ONL AB/ ONA=90 ,/ AB=4 ON=2 = ? 2=.故答案为：n.点评： 此题考察了二次函数的综合题，涉与了两坐标轴交点坐标与点的运动轨迹，难点在于根据/BMC=90，判断出点M的运动路径是解

13、题的关键，同学们要注意培养自己解答综合题的能力.4. 如图，半径为2cm,圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点 P.从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H设 OPH的心为I，当点P在上从点A运动到点B时，心I所经过的路径长为.考点：弧长的计算；全等三角形的判定与性质；三角形的切圆与心.专题：计算题.分析： 如图，连 OI, PI ,AI，由AOPH 的心为 I，可得到/ PIO=180° -Z IPO/IOP=180° - /HOP£ OPH =135°, 并且易证厶OPIA OAI,得到Z AIO=Z PIO=135 ,所以点I在以OA

14、为弦，并且所对的圆周角为 135°的一 段劣弧上；过A、I、O三点作O O',如图，连O'A,O'O,在优弧AO取点P,连PA PQ可得Z APO=180-135° =45°，得Z AOO=90 , O' O=OAH 2=,然后利用弧长公式计算弧OA的长.解答：解：如图，连OI, PI, AI ,/ OPH的心为I , Z IOP=Z IOA,Z IPO=Z IPH, Z PIO=180° -Z IPO-Z IOP=180° -Z HOPZOPH ,而 PHL OA 即 Z PHO=90 , Z PIO=180&

15、#176; -Z HOPZOPH =180°- 180°- 90°=135°,又/ OP=OA OI 公共，而Z IOP=Z IOA, OPIA OAI, Z AIO=Z PIO=135 ,所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过A I、O三点作OO，如图，连 O' A, O' O,在优弧AO取点P,连PA POZ AIO=135 , Z APO=180 - 135° =45°, Z AOO=9°，而 OA=2cm O' O=OAX 2=,弧 OA的长=cm,所以心I

16、所经过的路径长为 cm.故答案为：cm.点评：此题考察了弧长的计算公式：1=，其中I表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数同时考察了三角形心的 性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的接四边形的性质.5. 2021?模拟扇形的圆心角为 60°,半径为1,将它沿着箭头方向无滑动滚动到O' A B'位置，点O到O'的路径是 OQO 1。70 2。； 点0到O'的路径是n； 点0在OiO 2段上运动路线是线段 QQ; 点0到0'的所经过的路径长为以上命题正确的选项是.考点：旋转的性质；弧长的计算.分析： 圆心0由0到0的路径是以A为圆心，以 0A

17、为半径的圆弧；由 O到Q圆心所经过的路线是线段 OQ;由 02到0'，圆心经过的路径是：以 B'为圆心，以 0' B'为半径的圆弧据此即可判断.解答： 解：圆心 0由0到0的路径是以A为圆心，以0A为半径的圆弧；由0到Q圆心所经过的路线是线段 OQ;由Q到0'，圆心经过的路径是：以 B'为圆心，以 0' B'为半径的圆弧.故正确的选项是：.故答案为：.点评： 此题主要考察了图形的旋转，正确确定圆心0经过的路线是解决此题的关键.6. 2021?丨如图，在 Rt ABC纸片中，/ C=90 , AC=BC=4点P在AC上运动，将纸片沿

18、 PB折叠，得到点 C的 对应点DP在C点时，点C的对应点是本身，那么折叠过程对应点 D的路径长是.考点：翻折变换折叠问题；弧长的计算.分析：根据翻折变换的性质以与 ABC是等腰直角三角形判断出点D的路径是以点B为圆心，以BC的长为半径的扇形，然后利用弧长公式列式计算即可得解.解答： 解：/ C=9C° , AC=BC ABC是等腰直角三角形，如图，点D的路径是以点B为圆心，以BC的长为半径的扇形，路径长=2n.故答案为：2 n.点评：此题考察了翻折变换的性质，弧长的计算，判断出点D的路径是扇形是解题的关键.7. 如图，AB=1C P是线段AB上的动点，分别以 AP、PB为边在线段

19、AB的同侧作等边 ACP和厶PDB连接CD设 CD的中点为G当点P从点A运动到点B时，那么点G移动路径的长是.考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质.专题：压轴题.分析： 分别延长AC BD交于点H,易证四边形 CPDH为平行四边形，得出 G为PH中点，那么G的运行轨迹 HAB 的中位线 MN运用中位线的性质求出MN的长度即可.解答： 解：如图，分别延长 AC BD交于点H,/ A=Z DPB=6C , AH/ PD/ B=Z CPA=6C , BH/ PC四边形CPDH为平行四边形， CD与HP互相平分.G为CD的中点， G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终

20、为PH的中点，所以 G的运行轨迹为 HAB的中位线MN MN=AB=5即G的移动路径长为 5.故答案为：5.点评：此题考察了三角形中位线定理与等边三角形的性质，解答此题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律,判断出其运动路径，综合性较强.8. 2021?丨如图，点A是第一象限横坐标为 2的一个定点，ACLx轴于点M,交直线y= - x于点N.假设点P 是线段ON上的一个动点，/ APB=30 , BAL PA那么点 P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动.求当点 P 从点O运动到点N时，点B运动的路径长是.考点：一次函数综合题.专题：压轴题.分析：1首先，需要证明线段 BoBn就是点B运

21、动的路径或轨迹，如答图所示利用相似三角形可以证明；2其次，如答图所示，利用相似三角形 AB oBnS AON求出线段 BoBn的长度，即点B运动的路径长. 解答： 解：由题意可知，OM=点N在直线y=- x上，ACLx轴于点M那么 OMN为等腰直角三角形，ON=OM=.如答图所示，设动点 P在O点起点时，点 B的位置为Bo,动点P在N点终点时，点 B的位置为 Bn,连接 BoB./ ACL ABo, ANL ABn,：/OACH B oAB,又/ ABo=AO? tan3o ° , AB=AN? tan3o °，: ABo： AO=AB： AN=tan3o°, A

22、BoBnSAON 且相似比为 tan3o ° ,BoBn=ON tan3o ° =x =.现在来证明线段 BoBn就是点B运动的路径或轨迹.如答图所示，当点 P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为B,连接AP, AB , BoBi./ AOL ABo, APL ABi , / OAP/B oAB ,又TAB尸AO？ tan3o ° , AB=AP? tan3o ° , ABo： AO=AB: AP, ABoBiAOPABoBi=/ AOP又 ABoBnS AON / AB oBn=/ AOP ABoBi =/ ABoBn ,点Bi在线段BoBn上,即

23、线段BoBn就是点B运动的路径或轨迹.综上所述，点 B运动的路径或轨迹是线段BoBn ,其长度为.故答案为：.点评：此题考察坐标平面由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大.此题的要点有两个：首先，确定点B的运动路径是此题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B运动路径的长度，可以大幅简化计算，防止陷入坐标关系的复杂运算之中.9. 2oi3?丨如图，线段 AB=1Q AC=BD=2点P是CD上一动点，分别以 AP PB为边向上、向下作正方形 APEF和PHKB设正方形对角线的交点分别为O、Q,当点P从点C运动到点D时，线段OQ中点G的运动路径的长是.考点：

24、止方形的性质；轨迹.专题：压轴题.分析：根据正方形的性质以与勾股定理即可得出正方形对角线的长，进而得出线段OO2中点G的运动路径的长QO'的长,G点移动的路线是解题关键.解答：解：如下列图：当 P移动到C点以与D点时，得出G点移动路线是直线,禾U用正方形的性质即线段0Q中点G的运动路径的长就是线段 AB=10, AC=BD=2当P与C重合时，以AP、PB为边向上、向下作正方形 APEF和PHKB AP=2 BP=8那么 OP=, C2P=4, O 2P=QB=4,当P'与D重合，那么 P B=2,那么AP =8, O' P' =4, O' P'=

25、, H' O' =BO =, O 2O' =4 - =3.故答案为：3.点评：此题主要考察了正方形的性质以与勾股定理等知识，根据得出10. 2021?竹溪县模拟如图： AB=10,点C、D在线段AB上且AC=DB=1 P是线段CD上的动点，分别以 AP、PB 为边在线段AB的同侧作等边 AEP和等边 PFB连结EF,设EF的中点为G;当点P从点C运动到点D时，那么点 G移动路径的长是.考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质.分析： 分别延长AE BF交于点H,易证四边形EPFH为平行四边形，得出 G为PH中点，那么G的运行轨迹为三角 形HCD的

26、中位线MN再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可.解答： 解：如图，分别延长 AE、BF交于点H,/ A=Z FPB=60 , AH/ PF,/ B=Z EPA=60 , BH/ PE四边形EPFH为平行四边形， EF与HP互相平分.G为EF的中点，G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以 G的运行轨迹为三角形 HCD的中位线 MN/ CD=10- 1- 1=8, MN=4即G的移动路径长为 4.故答案为：4.点评：此题考察了三角形中位线定理与等边三角形的性质，解答此题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强.11. 如图，一根长为

27、 2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时 BC为1米，当A点下滑至A'处并且A'C=1米时，木棒AB 的中点P运动的路径长为米.考点：勾股定理的应用；弧长的计算.专题：压轴题.分析：先根据三角函数求出/ BAC的度数，再根据直角三角形的性质得到/ ACP的度数，同理求出/ B' CP的度 数，可得/ PCP的度数，再根据弧长的计算公式求解即可.解答：解：连接CP, CP ./ ACB=90 , BC=1 米，A B=2 米，/ BA C=30 ,TP是木棒AB的中点， PC=PA=1 米，/ PCA=30 ,同理求出/ B' CP =30°,那么/ PCP =30°,木棒AB的中点P运动的路径长为：X 2nX 1=米.故答案为：米.点评：考察了三角函数，直角三角形的性质和弧长的计算公式，木棒AB的中点P运动的路径为半径为 1的扇形的弧长.三解答题共1小题12. 2021?义乌市模拟如图，边长为 4的等边 AOB的顶点O在坐标原点，点 A在x轴正半轴上，点B在第一象 限.一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点 O向点A匀速运动，当点 P到达点A时停止运动，设点 P运