北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元训练卷含解析

1、第一章 直角三角形的边角关系.选择题共15小题1.如图，在6x 6的正方形网格中， ABC的顶点都在小正方形的顶点上，那么tan / BAC的值是A.5B.47C.3ID.：52. Rt ABC中, z/_ C= 90°, AC= 3,BC= 5,那么tanA的值)A.-B.3C.3D. r3433 . Rt ABC中 ,Z C=90°,sinA= , AB= 10,那么 AC的长为()5A.6B.8C.10D. 12C4.如图，在 Rt ABC中，/ C= 90° , AB= 5, AC= 4，那么 cosB 的值是()5.在 Rt ABC中, z/ ACB=

2、90°, AB= 2, AC= 1,那么 cosA的值是(A.12B. _C. _23B-)D.匚6.如图，在Rt ABC中, / C= 90°, AB= 5, BC= 4,那么以下三角函数表示正确的选项是A.tan A=B.tan B=3C. sin A=D . cosA=一43557.在Rt ABC中, z/_ C= 90°,cos A=丄，贝U sin B的值为)3A.1B.2a/2c."D. 2 .!I"I"4A. sin Av sin BB. sin Bv sin CC.sin Av sin CD. sin Cv sin A

3、9.如图，在 ABC中，/ A= 90°, sin B=±，贝U5C.CA= CB= 4,cosC ，那么4sin B的值为10.如图，在 ABC中,B-11.如图，Rt ABC中，/ ACB= 90°,AC= 6, BC= 8, D为 AB的中点，贝U sin / ADC的值12.如图,C. 5 ABC中, ADL BC于点 D, AD= 2 :,/ B= 30 ° ,B-D.25S ABG= 10価，贝U tan C的值为)13如图，假设 ABCA DEF勺面积分别为 S、82,那么A. S> S2B. Sv S2C. Si = S2D.无法确

4、定14.如图，在5X 4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是， ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin / BAC的值为15.如图，要测量小河两岸相对的两点P, A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一那么PA等于B点 C,测得 PC= 8 米, cos / PCA=，A. 5米B. 6米C. 7.5 米D. 8米二.填空题共5小题16.比拟大小:sin65sin55用“或“V填空,tan B17. 在 Rt ABC中, / ACB= 90° , BC= 1, AB= 2,那么 sin A=18. 小明沿着坡度为】；一：的坡面向上走了60米，此时小明所在的位置比原来的

5、位置升高了米.19. a 是锐角，'111= 3,贝 U a = 度.20. 在 Rt ABC中，/ C= 90°, AB= 2 币,tan A=，那么 BC=三.解答题共5小题35°的山坡爬了21 张华为体育测试做准备，每天爬家对面的翠山，张华从西坡沿坡角为2000米，紧接着又爬了坡角为45°的山坡800米，最后到达山顶；请你计算翠山的高度.(结果精确到个位，参考数据： 匚 1.4 ,匚 1.7 , sin35 ° 0.6 , cos35 ° 0.8 ,tan35 ° 0.7 .tan / DC22.如图， ABC中，/ A

6、CB= 90°, D为AB延长线上一点，连接 CD且满足/ DCB=Z A,2(1) 如图1，假设BC= 2,求CD的长.(2) 如图2，延长CB到 E,使BC= BE过C作AB的垂线，垂足为F,交AE于G假设设BD长为a,请你用含a的代数式表示 DBC勺面积，并直接写出 DBCW CGE面积的比 值.23. 2021年4月23日是中国人民解放军海军成立70周年纪念日，届时将在青岛举行盛大的多国海军庆祝活动为此我国海军进行了屡次军事演习如图，在某次军事演习时，舰艇A发现在他北偏东22°方向上有不明敌舰在指挥中心O附近徘徊，快速报告给指挥中心，此时在舰艇 A正西方向50海里处

7、的舰艇 B接到返回指挥中心的行动指令，舰艇B迅速赶往在他北偏东 60°方向的指挥中心处，舰艇B的速度是80海里/小时，请根据以上信息，求舰艇 B到达指挥中心 O的时间.(结果精确到0.1小时，参考数据：(sin22 °22=24. 在小水池旁有一盏路灯(如图)，支架 AB的长是0.8 m A端到B地面的距离 AC是4m支架AB与灯柱AC的夹角为65°小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角是45°,在水池的内沿 E测得支架A端的仰角是50°(点C, E, D在同一直线上)，求小水池的 宽 DE (结果精确到 0.1 .参考数据：sin65 

8、6; 0.9 , cos65 ° 0.4 , tan50 ° 1.2 )25. 如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端 B的仰角是45°,沿斜坡走米到达斜坡上点 D,在此处测得树顶端点B的仰角为31 °,且斜坡 AF的2坡比为 1: 2 (参考数据：sin 31 ° 0.52 , cos31 ° 0.86 , tan 31 ° 0.60 ).(1) 求小明从点 A走到点D的过程中，他上升的高度；(2) 大树BC的高度约为多少米？参考答案与试题解析.选择题共15小题1. 如图，在6x 6的正方形网格中，

9、 ABO的顶点都在小正方形的顶点上，那么tan / BAC的值是A. ：B. ：C.D.5345【分析】过点B作BDL AC交AC延长线于点D,利用正切函数的定义求解可得.【解答】解：如图，过点 B作BDLAC交AC延长线于点D,那么 tan / BAC= =AB 4应选：C.2. Rt ABC中，/ C= 90°, AC= 3, BC= 5,那么 tanA的值A. ：B.二C.345【分析】根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数定义求出即可在 Rt ABC中，/ C= 90°, AC= 3, BC= 5, tan A=：=AC应选：D.3. Rt ABC中，/ C= 90

10、°, sinA=li, AB= 10,那么 AC的长为5A.6B.8c.10D. 12【分析】根据题意，利用锐角三角函数可以求得BC的长，然后根据勾股定理即可求得sinAC的 长.【解答】解：在 Rt ABC中，/ 8 90°,/ AB= 10,BC= 6, AO8,应选：B.4.如图，在Rt ABC中，/C= 90 ° , AB= 5,AC= 4，那么cos B的值是CB.【分析】根据勾股定理计算出BC长，再根据余弦定义可得答案.【解答】解： AC= 4, AB= 5, BC= i .一上丄=3, cos CB 3cos B=AB 5应选：B.5.在 Rt AB

11、C中,./ ACB= 90°, AB= 2, AC= 1,贝U cosA的值是A.12B C D 二【分析】根据锐角三角函数的定义求出答案即可.【解答】解：在 Rt ABC中，/ ACB= 90°, AB= 2, AC= 1,二 cos A=ACAB应选：A.6. 如图，在Rt ABC中, / C= 90°, AB= 5, BC= 4,那么以下三角函数表示正确的选项是C A. tan A=B. tanB=3C. sin A=D. cosA=4255【分析】先利用勾股定理求出 AC的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可.【解答】解

12、：/ ACB= 90°, AB= 5, BC= 4, *二： !. : ' _：， tan AJl, 应选项A错误；AC 3tan B= 三-丄，应选项B错误；BC 4sin A= J _ I ,应选项C错误；AB 5cosA=，应选项D正确.AB 5应选：D.7. 在 Rt ABC中, Z C= 90°, cosA= 1，贝U sin B 的值为3C.A.【分析】根据一个角的正弦值等于它的余角的余弦值即可求解.Z A+Z B= 90°,那么C. sin A< sin CD. sin C< sin AC>Z B,当角度在 0°9

13、0°间变化时，正弦值随着角度【解答】解：在 ABC中,Z C= 90°,贝U sin B= cosA=丄3应选：A.& ABC是锐角三角形，假设 AB> ACA. sin Av sin B B . sin B< sin C【分析】大边对大角，可得Z的增大或减小而增大或减小；依此即可求解.【解答】解： ABC是锐角三角形，假设 AB> AC那么Z C>Z B,那么 sin B< sin C.应选：B.9如图，在 ABC中，/ A= 90°,sin B= 一，贝U cosB 等于 5A -【分析】根据sin B的值结合sin2 2

14、申cos B= 1即可得出cosB的值,此题得解.【解答】解：在 ABC中,/ A= 90 °, si n B=丄5 cosB=u=5应选：D.10.如图，在 ABC中,CA= CB= 4,cosC=丄，贝U sin B的值为4A 【分析】过点A作ADL BC垂足为D,在Rt ACD中可求出ADCD的长,Rt ABDsin B的值.中，利用勾股定理可求出 AB的长，再利用正弦的定义可求出【解答】解：过点 A作ADL BC垂足为D,如下图.在 Rt ACD中, CD= CA?cosC= 1, AD=I1'；在 Rt ABD中, BD= CB- CD= 3, AD=，, AB=：

15、 . ： i, 11 ':= 2， sin B=AD_V10AB 4应选：D.11.如图，Rt ABC中，/ ACB= 90°, AC= 6, BC= 8, D为 AB的中点，贝U sin / ADC勺值为 .ABCAB二C.4D.7525525【分析】过C作CGL AB于G先根据勾股定理得:AB= 10,利用面积法计算 CG的长,根据直角三角形斜边中线的性质得CG= 5,最后利用三角函数定义可得结论.【解答】解：过C作CGLAB于GRt ABC中，/ ACB= 90°, AC= 6, BC= 8, AB= 10,SABC= +ACBC 詰AB CG， 6x 8=1

16、0CGCG= 4.8 ,/ D是AC的中点，CD=丄 AB= 5,2Rt DG中, sin / AD= -= CD 525D, AD= 2 :,/ B= 30° , Saab= 10 ；，那么 tan C 的值为 A.丄B.丄C.二D.3232【分析】首先解直角 ABD求得BD再根据 &abg 10寸勺，求出BC,那么CD= BC- BD然后在直角 ACD中利用正切函数定义即可求得ta nC的值.【解答】解：在 ABC中，/ ADB= 90° , AD= 2 匚，/ B= 30°, BD=厶一6.tanBT SABC= BC?AD= 10 匚，2/ 1 B

17、C?2 匚=10 匚，2BC= 10, CD= BC- BD= 10- 6 = 4, ta ni亠=ICD 42应选：D.13如图，假设 ABCA DEF勺面积分别为 S、5,那么A. S> SB. Sv SC. S1= S2D.无法确定【分析】过 A点作AGL BC于 G,过D点作DHL EF于H.在Rt ABG，根据三角函数可 求AG在Rt ABG中，根据三角函数可求 DH根据三角形面积公式可得 S, S,依此即 可作出选择.【解答】解：过 A点作AGL BC于 G过D点作DHLEF于H.在 Rt ABG中 AG= ABsin40 °= 5sin40 °,/ DE

18、H= 180 ° - 140 ° = 40在 Rt DHE中 DH= DE?sin40 °= 8sin40S= 8X 5sin40 °+ 2 = 20sin40S2= 5x 8sin40 °+ 2 = 20sin40 那么 Si= S2.应选：c.14.如图，在5X 4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是小正方形的顶点上，那么A， ABC的顶点都在这些sin / BAC的值为【分析】过 C作CDL AB于D,首先根据勾股定理求出 AC,然后在Rt ACD中即可求出sin / BAC勺值.【解答】解：如图，过 C作CDLAB于D,那么/ AD(

19、= 90°, AC= |：|,'=' . ;:':= 5 . sin / BAC=AC 5应选：D.15 如图，要测量小河两岸相对的两点P, A的距离，可以在小河边取 PA的垂线PB上的一i点 C,测得 PC= 8 米，cos / PCA=，贝U PA等于5A. 5米B. 6米C. 7.5 米D. 8米【分析】在Rt APC中,由PC的长及cos/ PCA勺值可得出 AC的长，再利用勾股定理即可求出PA的长.【解答】解：在 Rt APC中,/ APC= 90°, PC= 8米，cos/ PCAf 5cosZPCA AC= 10 米，应选：B.二填空题

20、共5小题16. 比拟大小：sin65 °> sin55 ° 用“或 “v 填空.【分析】根据正弦函数为增函数即可得到sin65 ° > sin55 ° .【解答】解： 65°> 55°, sin65 ° > sin55 ° .故答案为.17. 在 Rt ABC中,/ ACB= 90° , BC= 1, AB= 2,那么 sin A=_ _，/ A= 30°, tan B【分析】直接利用画出直角三角形进而结合特殊角的三角函数值得出答案.【解答】解：/ ACB= 90

21、6;, BC= 1, AB= 2, sin=石，AC=|,：'=:, ta n B="=匚.BC故答案为：.；,30°,匚.£18小明沿着坡度为二的坡面向上走了 60米，此时小明所在的位置比原来的位置升高了 30 米.【分析】设出垂直高度，表示出水平宽度，利用勾股定理求解即可.【解答】解：设垂直高度升高了x米，那么水平前进了 x米.根据勾股定理可得：x2+ () 2= 602.解得x = 30,即小明所在的位置比原来的位置升高了 30米.故答案为：30.19. a是锐角丨1丨 =3,贝U a= 40 度.【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出a的值即可.【

22、解答】解：一丨，"= 3,那么 tan (a +20°)=7,故 a +20°= 60 ° ,贝U a = 40°.故答案为：40.20. 在 Rt ABC中，/ C= 90°, AB= 2 |n, tanA=1，那么 BC= 2 .3【分析】依据 Rt ABC中，/ C= 90° , tan A= ，可设BO a, AC= 3a,再根据勾股定3理列方程求解，即可得到BC的长.【解答】解： Rt ABC中，/ C= 90°, tan人=丄3可设 BC= a, AC= 3a,/ bC+aC=aB, a2+ ( 3a)

23、 2=( 2 ."H) 2,解得a=2, BC= 2,故答案为：2.21 张华为体育测试做准备，每天爬家对面的翠山，张华从西坡沿坡角为35°的山坡爬了2000米，紧接着又爬了坡角为45°的山坡800米，最后到达山顶；请你计算翠山的高度.结果精确到个位，参考数据：1.4 ,1.7 , sin35 ° 0.6 , cos35 ° 0.8 ,tan35 ° 0.7 .【分析】作EF丄BC于F, ADL BC于D, ENL AD于 N,根据正弦的定义分别求出EF DN计算即可.【解答】解：作 EFL BC于 F, ADL BC于 D, ENL

24、 AD于 N,那么四边形EFDN为矩形，DN= EF,FF在 Rt BEF中, sin B=,BE EF= BEsin B 2000 x 0.6 = 1200,在 Rt AEN中, sin / AEN='',AE AN= AE?sin / AEN« 560,翠山的高度 AD= AN+ND= 560+1200 = 1760,答：翠山的高度约为 1760米.22.如图， ABC中，/ ACB= 90°, D为AB延长线上一点，连接 CD且满足/ DCB=Z A,tan / DC丄(1)如图1，假设BC= 2,求CD的长.(2)如图2，延长CB到 E,使BC= B

25、E过C作AB的垂线，垂足为 F,交AE于G假设设BD长为a,请你用含a的代数式表示 DBC勺面积，并直接写出 DBCW CGE面积的比值.【分析】(1)先根据三角函数定义可得 AC= 4,由勾股定理计算得 AB= 2 ：，证明 DBCDCA 得 DC= 2BD 设 BD= x，贝U DC= 2x，可得 CD的长;由厶 DCBA DCA 得：X=3a, x =3a，可得 DBC的面积，过 B作BML CD于 M过G作GHL CE于 H,由三角函(2)设BC= x, AC= 2x,根据同角的三角函数可得数表示 tan / CAB= tan / EC* - ； , BC= BE= x, AC= 2x

26、,代入面积公式可得 DBC与厶CGE面积的比值.【解答】解：(1 ) ABC中, Z ACB= 90° ,tan Z A=-,ACZ DC=Z A, BC= 2,1 2 tan Z DCB=-=,2 AC- AC= 4,由勾股定理得：AB=. ： . j = 2« A, Z DC=Z A,Z D=Z D, DBg DCA.DC _BD = BC = 2农=门=-, DC= 2BD设 BD= x,那么 DC= 2x , =-, x =；3 CD的长为：'3(2)如图 2, v tan / DCB= tan / CA& 2 BC 1=一AC 2设 BC= x,

27、AC= 2x,/ tan / CAB 丄=一AF 2 cm 兀 x,5/ DCBA DACBD =CDcF"ada _2乱2a V5 x+aSBCD=I.' *= _2Vgx5过 B 作 BML CD于 M 过 G作 GHL CE于 H,4-<2S cbd=Ct?BM= 2513/-: V =，BM= a,/ CAB/ AB(=Z ECG/ ABC= 90°, / CAB=/ ECGtan / CA= tan / ECG=， 2 CH/ BC= BE= x, AC= 2x, AC= EC/ ACE= 90° , / E= 45° , GH=

28、 EHABDC551弘竝 £ceGH223. 2021年4月23日是中国人民解放军海军成立70周年纪念日，届时将在青岛举行盛大的多国海军庆祝活动为此我国海军进行了屡次军事演习如图，在某次军事演习时，舰艇A发现在他北偏东22°方向上有不明敌舰在指挥中心O附近徘徊，快速报告给指挥中心，此时在舰艇 A正西方向50海里处的舰艇 B接到返回指挥中心的行动指令，舰艇B迅速赶往在他北偏东 60°方向的指挥中心处，舰艇B的速度是80海里/小时，请根据以上信息，求舰艇 B到达指挥中心 O的时间.(结果精确到0.1小时，参考数据：(sin22 °0.37 , cos22 &

29、#176; 0.93 , tan22 ° 0.40 ,_ = 1.73 )【分析】作OCL AB交BA的延长线于 C,设OE x海里，根据正切的定义用 x表示出BG OB AC根据题意列出方程，解方程求出x,计算即可.【解答】解：作OCLAB交BA的延长线于C,由题意得，/ OBC= 30°,/ AOC= 22°,设OC= x海里，在 Rt OBC中,/ OBC= 30°那么 OB= 2OC= 2x, BC= ：x,tanZOBC在 Rt OAC中,/ AOC= 22°,那么 AC= OCtan / AO® 0.4 x,由题意得，“J

30、.fX 0.4 x= 50,解得，x= 37.59 ,OB= 2x= 75.18 海里，那么舰艇B到达指挥中心O的时间为：75.18 - 80 1 小时答：舰艇B到达指挥中心O的时间约为1小时.24. 在小水池旁有一盏路灯如图，支架 AB的长是0.8 m A端到B地面的距离 AC是4m支架AB与灯柱AC的夹角为65°小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角是45°,在水池的内沿 E测得支架A端的仰角是50°点C, E, D在同一直线上，求小水池的 宽 DE 结果精确到 0.1 参考数据：sin65 ° 0.9 , cos65 ° 0.4 , tan

31、50 ° 1.2 【分析】作 BF丄AC于F,作BGLCD于 G贝卩CG= BF, BG= CF在Rt ABF中，由三角函数得出 BF= ABX sin65 ° 0.72 , AF= ABX cos65 ° 0.32 ,得出 BG= CF= AF+AC=Ar0.32+4 = 4.32 , CG= BF= 0.72，在 Rt ACE中 ,由三角函数得出 CE= 3.333 ,tanSO证明 BDG!等腰直角三角形，得出DG= BG= 4.32 ,求出CD的长，即可得出答案.【解答】解；作 BF丄AC于 F,作BGLCD于 G如下图：贝U CG= BF, BG= CF,RR吓在 Rt ABF中，/