2014“高教杯”全国大学生数学建模竞赛B题一等奖论文

1、2 0 14高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了 全国大学生数学建模竞赛章程 和 全国大学生数学建模竞赛参 赛规则 （以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下 载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或 其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文 引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有

2、 违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：长沙理工大学参赛队员（打印并签名）：1颜小强2彭巍3胡笛声指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）:刘仲云（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容 请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期：20

3、14年9月12日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人nnnnnnnnn评分备注一全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：创意平板折叠桌摘要本文运用解析几何与结构力学等知识，建立了描述折叠桌动态变化过程的数学模 型，经MATLAB编程求出了优化后的设计加工参数，逐层深入地解决了问题一至问题 三，最后分别设计出了问题二和问题三中折叠桌设计加工参数求解系统的GUI（分别见附录7、8），至此，基于MATLAB的GU

4、I，我们开发出了折叠桌设计软件。对于问题一，我们首先确定桌面虚拟圆的半径R=23.82cm，且将离散问题连续化处 理的思想运用于求解桌脚边缘线的参数方程当中，然后推出了桌脚边缘线的参数方程（见公式3）、桌腿木条长度和开槽长度的计算公式（分别公式5和公式4）,最后，根据题目已知条件，求出了各木条的开槽长度、各桌腿底端的坐标（分别见表5.1和附录2）,且对折叠桌的动态变化过程进行了模拟仿真（见图5.8）对于问题二，我们先对折叠桌的受力进行了分析，提出了中心三角形法则（见名词 解释）。根据该法则，我们推出了以平板尺寸和木条根数为自变量的钢筋位置函数以及 开槽长度函数（分别见公式11、14），然后以平

5、板尺寸、木条数目为自变量，在满足稳 固性、加工方便等约束条件下，建立以用材量最小的单目标优化模型，最后，分别用枚 举法和分支定界两种算法求得优化后的设计加工参数。当桌高70cm，桌面直径80cm时,得到的设计加工参数如下：用料最省的设计稳定性最优的设计枚举法分支定界法枚举法分支定界法平板尺寸（cm）169.84.3.0171.62疋80.0決3.00184.0X81.0X3.0185.50決80.0汉3.00钢筋位置（cm）40.8742.0840.4140.55总用料（cm3）42588411934471244576木条数28321818对于问题三，根据客户任意给定的折叠桌高度、桌面边缘线的

6、形状大小，我们先通 过分析与推导，建立了相关参数的数学模型，然后应用问题二建模的相同步骤，即可求 出优化后的设计加工参数。最 后 ， 我 们 给 出 日 常 会 议 桌 、 家 庭 日 常 餐 桌 、 桌 边 边 缘 线 为正六边形三种创意平板折叠桌，求出了三种折叠桌的设计加工参数（分别见表7.1、7.2和7.3），且分别画出了相应的动态变化过程示意图（见图7.4、7.5和7.6）。本文设计的描述平板折叠桌动态变化过程的数学模型具有很强的适用性，只需客户给定折叠桌高度、桌面边缘线精确的形状大小，即可直接输出设计加工参数和描述折叠 桌动态变化过程的GUI，这能够使得生产该平板折叠桌的公司提高生产

7、效率和降低生产 成本。关键词：求解系统的GUI，设计加工参数，中心三角形法则，枚举法，分支定界法一、问题重述某公司生产一种桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板的可折叠桌 子（如图1-2所示）。桌腿由两组若干根木条组成，每组各用一根钢筋将木条连接，钢 筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度（见图3）。桌子外形由直纹曲面构成，附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。试建立数学模型讨论下列问题：问题1:给定长方形平板尺寸为120cmX50cmx3cm，每根木条宽2.5cm，连接桌 腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm。

8、试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如， 桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4中红色曲线）的数学描述。问题2： 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定 的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求， 讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加 工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70cm,桌面直径80cm的情形，确定最优设计加工参数。问题3：公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌 面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状， 给出所需平板材料的形状尺寸和切实可 行的最优设计加工参数，使得生产的

9、折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的 任务是帮助给出这一软件设计的数学模型， 并根据所建立的模型给出几个你们自己设计 的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意 图。二、问题的分析2.1问题一的分析 问题一是在给定平板材料的形状尺寸、钢筋固定位置和折叠桌子高度的情况下，要 求建立模型描述折叠桌子的动态变化过程。并要求构建出设计加工参数（桌腿的开槽长 度和桌腿木条长度）和桌角边缘线的数学描述。当折叠桌子处于不同的状态，其桌角边缘线的形状不相同，因此，折叠桌子的动态 变化过程可以通过建立不同状态下桌角边缘线的形状来描述。 由于桌脚边缘线是由桌腿 木条最低点

10、勾勒形成的曲线， 采用离散问题连续化处理的思想， 建立好空间直角坐标系， 利用桌腿木条的空间关系，进行坐标变化，计算出与桌腿木条长度有关的桌脚边缘线的 曲线参数方程。在计算桌腿木条开槽长度时，通过对钢筋在桌腿木条开槽的运动轨迹进行研究发 现，钢筋在桌腿木条开槽是向下运动，且平稳放置在地面时，钢筋处于每个开槽的最低 处。所以，利用开槽两端点折叠前后的空间坐标变化关系，可以求出和桌面直径相关的 桌腿木条的开槽长度的计算公式。另外，对桌面圆直径进行讨论，得出最佳的合理值。利用桌面直径、折叠桌高度与 桌腿木条长度之间的相互关系，得出桌腿木条长度的函数公式。最后，将所给折叠桌子的相关设计参数带入关系式，

11、并将折叠桌的动态过程进行仿 真模拟，直观生动的再现折叠桌的折叠变化。2.2问题二的分析 问题二需要从产品的稳固性、加工难易程度和节省用材三方面综合考虑，讨论出给 定桌高、桌面直径的长方形平板材料和折叠桌的最优设计参数。受第一问启发，如果可 以确定平板尺寸和钢筋位置，则可以利用桌脚边缘线的参数方程确定开槽长度。平板尺 寸可以由平板长度、木条宽度和木条数量确定。通过建立yoz投影面坐标系，钢筋的位 置如果可以找到与上述三者的关系，则可以确定钢筋位置。由第一问的离散问题连续化思想， 将第二问转化为第一问求解桌腿边缘线的参数方 程，可以得到中间与最外侧木条靠近地面最低点坐标，从而确定出中间与最外侧木条

12、相 交的两直线方程，进一步求解出钢筋的投影点位置。由于钢筋是直线，可以很容易求解 出钢筋的位置。 所以求解最优设计参数转化为求解上述三个变量， 并满足产品稳固性好、 加工方便、用材最少。桌子的稳固性与桌子的受力有关，对桌腿各组最外侧的两根木条和内侧的木条的受 力进行分析。根据力学基本原理，可知折叠桌处于其轴心位置，中间的木条受力最小， 结构合理，而其与平板长度有直接关系。桌子的加工方便程度与木条宽度有关， 木条越宽， 开槽越不容易。 对于桌子的用材， 平板尺寸越小，则用材最少。从而，可以通过建立单目标优化模型，将上述平板长度、木条宽度和木条数量的最 优值确定，给出产品在稳固性好、加工方便、用材

13、最少的条件下，最优的设计参数。2.3问题三的分析 问题三需要我们根据客户任意给定的折叠桌高度， 桌面边缘线的形状大小和桌腿边 缘线的大致形状，给出所需平板草料的形状尺寸和最优设计加工参数，并且还要使得生 产的折叠桌尽可能接近客户期望的形状。因为桌脚边缘性一开始无法确定，故我们假定 所有木条长度一致，最后在通过削减或增加桌腿的长度来使桌腿边缘形状尽可能接近客 户期望的形态，至此，便可联立问题一的模型和问题二的模型，求出相应的设计加工参 数，并给出所设计折叠桌的动态变化过程。三、模型假设3.1折叠桌子的桌腿木条的开槽长度恰为钢筋相对于木条的滑距离；3.2折叠桌子的受力结构合理，桌腿木条质量好，能够

14、平稳放置于水平地面;3.3桌腿木条至地面的距离为桌腿木条最低点至地面的铅垂高度；3.4钢筋对折叠桌用材的影响认为很小，可以忽略不计；3.5假设折叠桌放置在光滑的水平面上；3.6假设构成折叠桌的木材密度是均匀分布的。四、符号说明4.1符号说明符号含义最外侧木条的水平倾斜角桌面圆形半径水平倾斜角为日时，第k根木条的开槽长度水平倾斜角为日时，第k根木条y轴方向的坐标水平倾斜角为日时，第k根木条z轴方向的坐标第k根桌腿木条的长度最外侧木条与钢筋的交点至铰链的距离折叠桌的桌咼4.2名词解释（1）钢筋位置：最外侧木条与钢筋的交点至最外侧木条中点的距离长度。2）中心三角形法则：当折叠桌两根最内侧桌腿木条的延

15、长线与桌面连线形成以轴心 为对称轴的等腰三角形时，最内侧的木条受到的内力最小，这样的规律称为重心三角形 法则。五、问题一模型的建立与求解5.1模型的建立5.1.1桌角边缘线的动态模型折叠桌在折叠过程中，两组桌腿木条形成分别形成两个相同的直纹曲面。目前，在 指纹曲面的研究中，一般应用计算机给出造型效果图，并对曲面上的点进行分析，判断 曲面的光顺性。这对于构造动态变化的直纹曲面较为困难。通过对折叠桌子的动态变化 进一步研究，发现桌腿木条与桌面圆相接点（铰链处）的位置不变，而另一端点构成桌 脚边缘线。由问题一的分析，利用连续化思想，我们建立桌角边缘线的数学模型：如图5.1所示，建立空间直角坐标系。图

16、5.1折叠桌子示意图以图一中的yoz为投影平面进行投影，得到折叠桌子的桌腿木条折叠状态时的平面 图（见图5.2）。图5.2折叠桌子投影示意图设 B3（y；0）为y轴上任意一点，B5（yo,zo）为钢筋的所处的位置，任意桌腿木条底端 的位置为 B4（y, z）,B0B2为最外侧桌腿木条，二为最外侧桌腿木条与桌面的水平倾斜角， 为给定的常数值。由此，木条长度为：| 丄 y （1）2其中I为桌面圆形与桌腿木条相连处木块长度。由B、C两点的坐标，利用空间距离公式，可以计算出BC的长度为:因为 B3B5B4是同一根桌腿木条，所以在同一条直线上，利用欧拉距离公式，可以找B3B5与 B5B4在同一直线上，其

17、斜率必定相等。由上述关系,I（y -y）2z2二丨y - y。y。- y （2）0 _ Z。z。_ Z方程组（2）是一组隐函数方程，根据斜率与 二的关系，可以转化为如下参数方程: 对方程组（2）求解，进一步化简得到两组求解结果：第一组解:y y。:yy y。上式中：因为选取的任意点是位于yoz轴的第三象限，第二组解的y坐标始终为正数，所以 只能取两组解的第一组求解结果。同时，将第一组解的第一个方程带入第二个方程得到：所以，桌角边缘线的参数方程为：y,（3）_ （yy）z。z-：I y - y。由公式（3）可以看出，其与桌腿木条长度有关。5.1.2折叠桌木条开槽长度计算由于每根桌腿木条的长度不相

18、等， 钢筋始终是直线， 所以每根桌腿木条的开槽长度 也不相等，但都为固定值。所以可以通过折叠前后的坐标变化求得其开槽长度。如下图 所示建立坐标图。图5.3折叠桌子折叠示意图如图5.3所示，设桌腿木条距离桌面圆心的水平距离为|OD|=x，折叠桌子的桌面 圆形半径为R，A、B分别为桌腿木条开槽的终点和起点，则将桌腿开槽长度利用坐标 来表示。根据圆的方程计算公式，可以得出：C点的坐标为：（x,-、R2-X2,0），B点的坐标为：（x,yo,zo）折叠桌子处于平铺状态时，有如下关系：当折叠桌子折叠一个角度时，由于桌腿木条的开槽长度始终不变，则腿木条的起点 与铰链的距离在折叠桌子动态变化过程中固定不变。

19、所以可以得知：AB| |AB，BC| |BC到其与桌腿木条长度的关系可以列出一个方程组：2第二组解:根据上述关系，可以得到：BD = .（y . R2-x2）2z。2+ ., R2一x2题中给出钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，所以|AD可以根据平板尺寸、AB和CD之间的关系求出：AD二丄也JR2X2）+JR2X2，同时根据AD与BD的距离关系，可以求得：2 2AB =*（?JR2x2） J（y。+JR2_7）2十z。2= AB（4）式中：lo为长方形平板的长度。5.1.3桌腿木条长度计算桌腿木条的由于和桌面圆相接，所以每根桌腿木条的长度是不相等的。为了更好的 得出桌腿木条的计算公式，如图5

20、.4所示，本文做如下定义：图5.4桌腿木条长度示意图将木条分为两部分，在桌面虚拟圆内侧的木条称为内侧木条，第k根内侧木条的长 度记为 lk;在桌面虚拟圆外侧的木条称为外侧木条（即桌腿木条），第k根外侧木条的 长度记为1。设木条的宽度为 wi，折叠后桌子的高度为h，桌面虚拟圆的直径为 w。由勾股定理 可以计算出 lk的长度公式：从图5.4可以看出，桌腿木条的长度为折叠桌子长度的一半减去内侧木条的长度， 则其计算公式为：7 （ 5）2从公式（3）（4）（5）可以看出，桌腿边缘线、折叠桌木条开槽长度、桌腿木条 长度的确定都需要先求出桌面虚拟圆的半径。图5.5汇出了桌面虚拟圆的示意图。由于题中并未给出

21、桌面虚拟圆的直径，所以需要对其进行讨论。图5.5桌面虚拟圆示意图假设桌面虚拟圆刚好处于图5.5的外边圈位置（大圆位置处），利用公式（5）计 算发现，l/ =49.1cm，折叠后底层桌面距离地面的高度为50cm（桌子的厚度为3cm） 根据三角不等式定义，在三角形中，必然有两边之和大于第三边。所以如果桌面虚拟圆 位于外边圈位置即 R 25cm，折叠桌子的桌面高度与题目所给必然矛盾。假设桌面虚拟圆的半径为图5.5的R2，则折叠桌子最外侧四根木条交织在一起， 并没有与桌面虚拟圆连接在一起（如图5.6所示），所以桌面虚拟圆的半径不能取R = 22.5cm。所以桌面虚拟圆的半径的取值范围为：22.5cm：

22、R 25cm,由图5.5可知， 桌面圆取OB为半径较为合理。由图5.5中的几何关系可知：图5.6桌面虚拟圆取R= 22.5cm折叠桌子示意图5.2模型求解根据5.1所建立的数学模型，运用公式（3）（5）和题目所给的折叠桌子平板尺 寸、木条宽度、折叠后桌子高度等设计参数，用计算机将折叠桌的动态过程进行仿真模 拟，得到折叠桌的动态变化过程图。并可以求得折叠桌子桌腿木条的长度和桌腿木条的 开槽长度两个加工参数。算法的流程图如图5.7。图5.7问题一求解算法流程图利用MATLAB件进行计算机仿真模拟，得到问题一中给定设计参数的折叠桌在不 同水平倾角二的动态变化过程（图5.8），动态图见附件中的问题一的

23、文件。具体的仿 真模拟程序见附录1。动态变化过程1动态变化过程2动态变化过程3动态变化过程4图5.8折叠桌变化过程图通过建立的数学模型（式4）和所给数据，按照图5.7所示流程，运用MATLA软件 求解得到折叠桌一组木条的开槽长度（见表5.1）和木条长度（见表5.2），另一组由 于对称，所以不重复列出。（具体计算程序见附录1）表5.1桌腿木条的开槽长度单位（cm）木条编号12345开槽长度0.004.187.329.87:11.95木条编号678910开槽长度13.5914.8515.7316.2616.43木条编号1112131415开槽长度16.4316.2615.7314.8513.59木

24、条编号1617181920开槽长度11.959.877.324.180.00表5.2桌腿木条长度单位单位（cm）木条编号12345木条长度52.1947.0743.8541.5039.73木条编号678910木条长度38.3937.4036.7236.3236.18木条编号1112131415木条长度36.1836.3236.7237.4038.39木条编号1617181920木条长度39.7341.5043.8547.0752.19六、问题二模型的建立与求解6.1模型的建立6.1.1钢筋位置的确定由问题二分析可知，钢筋位置的确定是解决本问题的关键环节之一。由于钢筋的位 置影响着折叠桌子的稳固

25、性，因此，有必要先对平稳放置于桌面上的折叠桌子的受力情 况进行分析。桌子放置在桌面上时，桌腿木条的受力分析主要分为以下两种情况：（1）内侧任意木条受力分析。内侧木条与桌面铰链和钢筋相接，只有两端受力， 是一根典型的二力杆。根据力学基本原理，二力杆受力有如下性质：i.杆件两端所受的力与杆件平行；ii.杆件两端所受的力大小相等，方向相反。其受力情况如图6.1所示。图6.1内侧任意木条受力示意图由以上分析可知：内侧木条在A B端受到的力相加为0,即 FABFBA。（2）外侧桌腿木条受力分析。如下图5.2所示，外侧桌腿木条总共受到5个力的作用， 在 x 轴方向，FBX*氐=0 ；在y轴方向，FA- F

26、cyFB0，所以外侧木条在A、B、C三点所受的合力也为0。图6.2外侧桌腿木条受力示意图为了更加清楚分析其受力情况，将折叠桌子的三维示意图6.3绘制出来。将所有内n侧杆件的合力加起来，可得FFBA。由力学知识可知：只有当杆件DE与对边相对杆件的延长线相交于一点0,即DO与两杆件形成一个以轴心为对称轴的等腰三角形， 那么杆件DE与对边相对杆件在0,的合力偶距为0。此时，杆件DE受到的内力最小。本 文将这个规律称为中心三角形法则。图6.3折叠桌中心三角形示意图问题二的桌高与桌面直径虽然不确定，但能够确定的是其为需要给定的参数。依照 问题一的离散问题连续化处理思想，我们可以如图6.4所示建立以yoz

27、为投影面的直角坐标系。图6.4折叠桌yoz平面投影示意图由问题二分析可知，本文利用问题一求解桌脚边缘线的方法，对问题二的设计参数 进行模型构建。设平板长为I，木条宽度为 wi，木条数量为 n，并且桌面圆半径为R，桌高为h。 其中R、h为已知值。根据中心三角形法则，和几何知识可得到如下关系：R W,R w 鳥k - -Rsin（arccos（）， ln= Rsin（arccos（）R2R1hl1l1，二-arcsin（_）2l1则，B点的坐标根据桌面半径R和桌高h与B点的空间几何关系，可以确定出:y1二-h -11COST（6）z -h由于D点与桌面圆相接，所以根据空间几何关系，可得出D点空间坐

28、标为：_nn?（ 7）z4= 0根据直线DC的欧氏距离公式和斜率公式，由式（6）、（7）联立方程组：（丫2-丫4）2（Z2-Z4）2二（2l弓）2_yi =y（8）i hz2+ h求解式（8），并化简可得：hy4；(4lnh)2(1-l) (hl)2y422h因为A、B两点坐标已经求出，所以直线AB的方程可以求出。因为E点为直线AB和直线CD的交点，所以E点的坐标通过联立方程组:y2二z2=(9)1乙(y-y4)y4z-(iyjz-(1yj -zy- y4)z-(l乙丫4乙)2(l %) -乙(y- y4)由A、E两点坐标，可以计算得出线段AE的长度 r :r =J（y3+）2+%-（12）此

29、时，已经确定出钢筋的位置，即E点的坐标。6.1.2木条开槽长度的计算因为桌角边缘点到桌面的距离（从外侧桌腿木条到中心内侧木条）为单调递增时，折 叠桌才能保持其稳固性。 由问题一求解过程可知， 桌腿木条开槽长度的确定需要确定出 桌角边缘线的方程。将E点的坐标带入方程组（3）可得：Z2z - (y-y4)y2- y4(10)求解式（10）并化简可得:(11)(13)其中：和问题一的求解过程类似，折叠桌的开槽长度为:AB| =丄（丄JR-X-） （yo+VRX+zo-（14）2 26.1.3单目标优化模型由上述分析可知，所有要给出的最优加工参数都转化为求解平板长度 和木条数量 n。综合考虑产品稳固性

30、能、加工难易程度和用材多少，由问题二的分析, 本文建立如下单目标函数，确定出平板的尺寸参数。目标函数：mi nV =时 nT （15）约束条件： 符号说明V :平板的体积；T:木条的厚度；n : n 表示如图5.1所示，从 x 正半轴最外侧木条开始编号，起始编号为1；h. 1表示第k根桌腿木条边缘点至桌面的铅垂高度;h.；:表示第k，1根桌腿木条边缘点至桌面的铅垂高度。目标函数说明式（15）为单目标约束函数，表示：桌子体积最小情况下，求出平板的长度、木条 的宽度、木条的宽度和木条的数量。其中木条的厚度通过查阅相关文献和该折叠桌的设计理念，为了便于携带和木条承 受力度的考虑，本文取T =3cm约

31、束条件说明式（16）表示：木板长度的一半减去与桌腿木条相连木块的长度必须大于桌高的长 度。即桌腿木条的长度和桌高必须满足三角不等式原则，才能保证折叠桌能够折叠。式（17）表示：最外侧木条边缘点至桌面轴线的距离必须大于中间木条至桌面圆心 的距离。目的是使得桌腿木条的投影面积大于桌面的投影面积，从而让折叠桌更加稳固。式（18）表示：中间木条桌角边缘点的至轴心的距离要大于钢筋至轴心的距离，从 而保证钢筋能够穿过所有木条。式（19）表示：桌面虚拟圆的需要位于平板内切圆与外切圆之间。式（20）表示：外侧桌腿木条至桌面的铅垂高度要大于内侧桌腿木条至桌面的铅垂 高度，该约束是使得铅垂高度单调递增，从而保证折

32、叠桌的稳定性。6.2模型的求解由问题二模型的建立可以得知，折叠桌的最优设计参数需要先计算出平板长度、木 条宽度和木条数量，而这些参数可以通过求解式（15）得知。本文采用枚举法和分支定界法求解单目标优化模型，并通过比较结果的精度来获得更为合理的解。这两种算法的流程框图见图6.6。图6.6枚举法与分支定界算法流程框图根据上述算法流程，利用MATLAB写程序（具体程序见附录3），可以计算出桌高70cm，桌面直径80cm的折叠桌用两种算法求得的最优设计参数（见表6.1、表6.2、 表6.3和附录4）。表6.1枚举法与分支定界法计算出最优设计参数的比较用料最省的设计稳定性最优的设计枚举法分支定界法枚举法

33、分支定界法平板长度（cm）169.0171.62184185.5木条数28321818木条宽度（cm）3.02.54.54.5总用料（cm3）4258841193.3994471244575.65l，木条宽度 W1平板尺寸（cm）169.0汉84.0汉3.0171.62汉80.01汉3.00184.0汉81.0汉3.0185.50汇80.0仆3.00钢筋位置（cm）40.87142.0840.40840.554表6.2分支定界法用料最省木条开槽长度单位：（cm）木条编号12345678开槽长度0.00 :4.207.88P 11.2114.2316.96P 19.4021.56木条编号9101

34、11213141516开槽长度23.4425.0626.4227.5228.3728.9829.3429.46木条编号1718192021222324开槽长度29.4629.3428.9828.3727.5226.4225.0623.44木条编号2526272829303132开槽长度21.5619.4016.9614.2311.217.884.200.00分支定界法确定的最稳定设计的折叠桌的开槽长度和枚举法确定的折叠桌开槽长 度，以及其他相关参数，由于版面关系，详细数据见附录4。从表6.1和表6.2可以看出，用两种算法都可以得到两种设计方案，这两种方案的 稳定性都可以满足折叠桌子平稳放置于地

35、面，但是通过程序的计算，发现出现两种最佳导致出现两种方案的原因，是因为折叠桌的稳固性最好与用材最省之间存在效益背 反原则，用料最少，折叠桌的稳固性必定下降；稳固性最好，折叠桌的用材必定会增加。 图6.7可以很好的说明这个问题。图6.7折叠桌的两种设计方案分析图当最外侧桌腿木条在水平面投影形成的四边形刚好与桌面虚拟圆相切 (桌面虚拟圆 的圆心到边界线的垂直距离为L1)时，折叠桌刚好能够平稳放置在水平地面上， 折叠桌 的用料最省；当桌面虚拟圆的圆心到边界线的垂直距离为L2时，折叠桌的稳固性最好。七、问题三的建模与求解7.1模型的建立假定客户给出的折叠桌的高度为h，桌面边缘性的参数方程为设木板长度为

36、1，木条宽度W1，条数为n，如图所示，通过几何知识可得：II每个入均可以求出，所以11.ln均可以求出根据问题一中的模型，可得这些参数已知，该问题便转化成了问题二中的模型，根据问题二中模型的的算法， 便可的得到平板桌面的长度、宽度、折叠桌的钢筋位置、每根开槽的开槽长度等最优设 计加工参数、并且 也可得到各桌腿的底端的坐标，设第k根桌腿底端的坐标为Xk，yk，Zk，根据客户所描述的桌腿边缘线的大致形状，可以估计出第k根桌腿底端的III坐标为 Xk,yk,Zk，木板宽度和木条数给定之后它们在 X 轴上的坐标是相等的，设 易知厶越小，桌腿边缘线的形状越接近与客户所期望的形状，此时可以通过削减和 增加

37、每根木条的长度来控制 厶的大小，由于时间原因，我们暂且不对如何通过控制每根 木条的长度来控制厶的大小来建立具体的数学模型进行讨论。为了使平板折叠桌能够很好的应用于实际生活中，在圆形桌面的基础上，我们总共 给出三种不同的平板折叠桌，具体如下面平板折叠桌的简图：图7.1第一种折叠桌简图图7.2第二种折叠桌简图图7.3第三种折叠桌简图第一种即桌面边缘线为圆中嵌入一个长方形，可当做即日常用的会议桌。第二种即桌面边缘线为椭圆，可当做家庭日常餐桌。第三种即桌面边缘线为n正边形，这里以正六变形为例。7.2模型的求解根据建立的数学模型，对客户任意设定的折叠桌高度、以及桌面边缘线的参数方程， 即可求得三种平板折

38、叠桌的最优设计加工参数。具体如下：在给定圆的半径为40cm，嵌入长方形的长为40cm,折叠桌高度为40cm时，通过建立的数学模型，通过MATLAB程计算得到其相应的设计加工参数(详见附录5)。表7.1第一种创意平板折叠桌的主要设计加工参数表设计加工参数平板长度(cm)211.61木条数32木条宽度(cm)2.5总用料(cm3)24680平板尺寸(cm)211.61x80.02x3.00钢筋位置(cm)40.871支撑角(rad )1.2第一种创意平板折叠桌的动态图如图7.4所示其他相关的设计加工参数见附录6。图7.4第一种创意平板折叠桌动态示意图在给定长半轴为60cm,短半轴为40cm,高度为

39、70cm时，通过MATLABS程计算得到 其相应的设计加工参数(详见附录5)。表7.2第二种创意平板折叠桌的主要设计加工参数表设计加工参数平板长度(cm)257.12木条数32木条宽度(cm)2.5总用料(cm3)39584平板尺寸(cm)257.12汇80.01疋3.00钢筋位置(cm)37.65支撑角(rad )1.2其他相关的设计加工参数见附录6。第 二 种 创 意 平 板 折 叠 桌 的 动 态 图 如 图7 . 5所 示 ， 由 于 版 面 限 制 ， 只 给4张 动 态 图 ,具体动态图见附件2。图7.5第二种创意平板折叠桌动态示意图7.2.3第三种创意平板折叠桌的设计加工参数的求

40、解在给定正六边形的边长为40cm,折叠高度为70cm时通过建立的数学模型，通过MATLA编程计算得到其相应的设计加工参数(详见附录5)。表7.3第三种创意平板折叠桌的主要设计加工参数表设计加工参数平板长度(cm)155.90木条数30木条宽度(cm)2.67总用料(cm3)37532平板尺寸(cm)155.90X80.25X3.00钢筋位置(cm)43.57支撑角(rad )1.153其他相关的设计加工参数见附录6。第 三 种 创 意 平 板 折 叠 桌 的 动 态 图 如 图7 . 6所 示 ， 由 于 版 面 限 制 ， 只 给4张 动 态 图 ,具体动态图见附件中的问题2文件。图7.6第

41、三种创意平板折叠桌动态示意图八、模型的评价与推广8.1模型的优点本文用解析几何的知识建立了描述折叠桌的动态变化过程的数学模型，简单易懂， 适用性很强。在分析和建模时，最大可能地避开了折叠桌内部受力的复杂情况，单纯从 数学方面以及基本的结构力学知识来考虑折叠桌的设计加工参数， 这一定程度上降低了 问题的求解难度。对于问题一时， 我们将离散型问题进行了连续化处理， 这是一种大胆的试探与突破， 大大降低了该模型的复杂性，用初等几何知识建立了描述折叠桌的动态变化过程，且给 出了折叠桌的动态变化过程进行了模拟仿真。对于问题二，我们根据结构力学知识，创新性地定义出了中心三角形法则，根据这 一法则，精确建立

42、了以用材最小为目标的优化模型，运用了枚举法和分支定界算法来进 行求解，最终求出了较优的最优设计加工参数。对于问题三，运用本文建立的数学模型，只需给定折叠桌高度、以及桌面边缘线的 参数方程即可得到折叠桌面的一组满意的设计加工参数，具有很强的推广型，对于任意 的多边形以及圆形、 椭圆形等常见曲线， 可以精确地描叙出这些折叠桌的动态变化过程。8.2模型的缺点 对于问题一，我们所采用的离散问题连续化处理思想会导致求出的设计加工参数都存在一定范围的误差。 对于问题二，在建立的优化模型中，我们假定了木条的厚度为一个常数，忽略了木材的应许力以及折叠桌能承受的重力等对折叠桌质量起关键作用的约束条件。同时，采

43、用枚举法和分支定界算法求出的设计加工参数只是一个满意解。对于问题三，我们只是较为简单地提出了如何满足客户所期望的桌腿边缘线形状的 方法，没有建立起具体的数学模型来进行具体的讨论，而且我们建立的数学模型需要客 户给出精确的桌面边缘线形状大小，这一定程度上给客户带来了不便。8.3模型的推广 本文关于平板折叠桌的数学模型具有很强的适用性， 而且求解设计加工参数的算法 也有一定的优越性。总之，只需客户给定折叠桌高度、桌面边缘线精确的形状大小，即 可给出较优的设计加工参数，并且可以用计算机模拟出折叠桌的动态变化过程。可给生 产该平板折叠桌的公司减少一定的生产成本九、参考文献1 RobertvanEmbr

44、icqs,Risingtablesize,。2肖勇刚、唐雪松，结构力学M,人民教育出版社，2012。3姜启源，数学模型（第三版），高等教育出版社，2003。4王建伟，MATLAB7.X?序设计，中国水利水电出版社，2007。5胡运泉，运筹学教程，清华出版社，1998。6韩佳成，观点：平板折叠桌边桌J,设计2012.08:708-71附录附录1问题一计算程序MATLAB码主程序：clear;clc globalRlwh;h=50;w=50;R=sqrt(25A2-23.75A2+22.5A2);l=120;c=2.5;x=(-w/2+c):c:0; x=x-x(end:-1:1); n=leng

45、th(x);y=-sqrt(R.A2-x.A2);len1=y(1)+l/2cz=;cy=;z=x*0;r=len1/2+y(1); times=20;%out=0.20.50.81.1asin(h/len1); forcita=0:asin(h/len1)/times:asin(h/len1)%fork=1:5%cita=out(k);%计算桌脚点坐标fori=1:nyk(i)zk(i)=f1(cita,y(i);end%判断桌脚点正负fori=2:nif(yk(i)-yk(i-1)0&(i*20fori=flag:n-flag+1yk(i)=f2(cita,y(i);endend%

46、画桌脚曲线drawnow; axis(-50,50,-50,50,-60,0);%axissquare;holdon;cla;plot3(yk,x,zk,g);%plot3(yk,x,zk,go); xlabel(y);ylabel(x);zlabel(z);title(sprintf(桌脚边缘线轨迹0=%.4f(单位:cm),cita);%画桌顶边缘线plot3(y,x,z,b);fori=1:n/2;plot3(yk(i)y(i),x(i)x(i),zk(i)z(i),r); plot3(yk(i)y(i),x(i)-cx(i)-c,zk(i)z(i),r); plot3(yk(i)yk(

47、i),x(i)-cx(i),zk(i)zk(i),r);plot3(y(i)y(i),x(i)-cx(i),z(i)z(i),r);endfori=(n/2+1):n; plot3(yk(i)y(i),x(i)x(i),zk(i)z(i),r); plot3(yk(i)y(i),x(i)+cx(i)+c,zk(i)z(i),r);plot3(yk(i)yk(i),x(i)+cx(i),zk(i)zk(i),r); plot3(y(i)y(i),x(i)+cx(i),z(i)z(i),r);endplot3(-yk,x,zk,g);%画桌顶边缘线plot3(-y,x,z,b);%画条纹曲面for

48、i=1:n/2;plot3(-yk(i)-y(i),x(i)x(i),zk(i)z(i),r); plot3(-yk(i)-y(i),x(i)-cx(i)-c,zk(i)z(i),r); plot3(-yk(i)-yk(i),x(i)-cx(i),zk(i)zk(i),r);plot3(-y(i)-y(i),x(i)-cx(i),z(i)z(i),r);plot3(y(i)-y(i),x(i)x(i),z(i)z(i),k); if(i=1)plot3(y(i)-y(i),x(i)-cx(i)-c,z(i)z(i),k);end endfori=(n/2+1):n; plot3(-yk(i)-

49、y(i),x(i)x(i),zk(i)z(i),r); plot3(-yk(i)-y(i),x(i)+cx(i)+c,zk(i)z(i),r);plot3(-yk(i)-yk(i),x(i)+cx(i),zk(i)zk(i),r); plot3(-y(i)-y(i),x(i)+cx(i),z(i)z(i),r); plot3(y(i)-y(i),x(i)+cx(i)+c,z(i)z(i),k);endy0z0=find_cus(cita,0);cy=cyy0;cz=czz0;%saveas(1,sprintf(cita=%.4f.png,cita);%if(find(out=cita)%导出数

50、据到EXCEL %output;%endend%钢筋位置示意图%figure%holdon;%title(钢筋运动轨迹图)%fori=1:length(cz) %plot3(cy(i)cy(i),-2525,cz(i)cz(i),r-); %end functiondis=distence(x0,y0,z0,x1,y1,z1);%计算空间两点距离dis=sqrt(xO-x1).A2+(yO-y1).A2+(zO-z1)42); endfunctionyz=f1(cita,yy)%计算桌脚点1globalRlwh;l1=l/2-sqrt(R.A2-22.5A2); yO=-l1/2*cos(ci

51、ta)-(l/2-l1); zO=-l1/2*sin(cita);a=1+(zO.A2)./(yy-yO).A2;b=(yy+l./2).A2;y=-sqrt(b/a)+yy; z=-abs(yy-y)*zO/(yy-yO);endfunctionyz=f1(cita,yy)%计算桌脚点2globalRlwh;l1=l/2-sqrt(R.A2-22.5A2); yO=-l1/2*cos(cita)-(l/2-l1); zO=-l1/2*sin(cita);a=1+(zO.A2)./(yy-yO).A2; b=(yy+l./2).A2;y=sqrt(b/a)+yy; z=-abs(yy-y)*z

52、O/(yy-yO);endfunctionyOzO=find_cus(cita,yy) %计算钢筋坐标l=12O;w=5O;R=23.75;l1=l/2-sqrt(R.A2-22.5A2);yO=-l1/2*cos(cita)-(l/2-l1); zO=-l1/2*sin(cita);endoutput.m%数据输出numb=1:n;%木条编号len=l/2+y;%木条长度head=x;y;z;%桌顶边缘foot=x;yk;zk;%桌脚点坐标kc_st=o nes(1, n)*(r-y(1);%开槽起点kc_go=-y+diste nce(x,y,O,x,yO,zO);%开槽终点kc_dis=

53、kc_go-kc_st;%开槽距离dir=ata n(zk(1)-z)./(yk-y)/pi*180;%水平倾角dis=kc_dis(1);kc_dis=kc_dis-dis;kc_st=kc_st+dis;fori=1: nif(dir(i)2*R)&(n*w1y2)continue;end%两木条未相交%disp(木条未相交检查完毕);r=sqrt(y3+ll1)A2+z3A2);y0=-r*cos(cita)-ll1;z0=-r*sin(cita);%木条位置初始化x=;y=;z=;yk=;zk=;x=(-w/2+w1):w1:0;x=x-x(end:-1:1);y=-sqrt(

54、R.A2-x.A2);z=x*0;%计算桌脚点坐标fori=1:nyk(i)zk(i)=f1(cita,y(i),y0,z0);end%判断桌脚点正负fori=2:nif(yk(i)-yk(i-1)0&(i*20 fori=flag:n-flag+1 yk(i)=f2(cita,y(i),y0,z0);end end if(yk(1)y4)continue;end %disp(稳定性检查完毕); if(zk(1)zk(2)continue;end %寻找用料最小解if(VminV)Vmin=V;lmin=l; wmin=w; w1min=w1; nmin=n;Cmin=cita;tit

55、=用料最小解; output;plotpic; %saveas(1,tit.png);end %寻找最稳定解%if(Cstrcita) %Cstr=cita;%Vstr=V;%lstr=l;%wstr=w; %w1str=w1;%nstr=n; %y1str=yk(1);%tit=最稳定解;%output;%plotpic; %saveas(1,tit.png); %end end end end end%disp(计算完毕);%disp(用料最省的设计：);木板尺寸%.1f*%.1f*%.1f(cm),lmin,wmin,T);木条数%d,nmin);每根木条宽度%.1f(cm),w1min

56、);总用料%.3f(cmA3),Vmi n);支撑角%.3f(rad)n,Cmin);木板尺寸%.1f*%.1f*%.1f(cm),lstr,wstr,T);木条数%d,nstr);每根木条宽度%.1f(cm),w1str);总用料.3f(cmA3)：Vstr);支撑角%.3f(rad)n,Cstr);functionlmin,wmin,T,nmin,w1min,Vmin,Cmin=q2_Major(R,h) globallw;T=3;h=h-T;lmin=inf;wmin=inf;nmin=inf;w1min=inf;Vmin=inf;Cmin=inf;esp=0.05;L=2*(sqrt(

57、RA2+hA2)+R); forw1=2.5:esp*0.5:5 forn=10:2:40 if(n*w12*R)&(n*w1Vmin)break;endl1=l/2-ll1;cita=asin(h/l1);y1=-ll1-l1*cos(cita);z1=-h;Ln2=R;y4=-Ln2;z4=0; z2=-(y4+(4*Ln2A2*hA2-4*Ln2*hA2*l+hA2*lA2+y4A2)A(1/2)/(2*h);y2=y4*(z2+h)/h;y3=(ll1*y2*z1-ll1*y4*z1+ll1*y4*z2+y1*y4*z2)/(ll1*z2+y1*z2-y2*z1+y4*z1);

58、z3=(z2*(ll1*z1+y4*z1)/(ll1*z2+y1*z2-y2*z1+y4*z1);if(y3y2)continue;end%两木条未相交%disp(木条未相交检查完毕);r=sqrt(y3+ll1)A2+z3A2); y0=-r*cos(cita)-ll1;z0=-r*sin(cita); %木条位置初始化clearxyzykzk;x=(-w/2+w1):w1:0;x=x-x(end:-1:1); y=-sqrt(R.A2-x.A2);z=x*0; %计算桌脚点坐标fori=1:nyk(i)zk(i)=f1(cita,y(i),y0,z0); end%判断桌脚点正负fori=2

59、:nif(yk(i)-yk(i-1)0&(i*20 fori=flag:n-flag+1 yk(i)=f2(cita,y(i),y0,z0);end end if(yk(1)y4)continue;end %disp(稳定性检查完毕);if(zk(1)zk(2)break;end%disp(轨迹单调性检查完毕，开始绘图); %寻找用料最小解if(VminV)Vmin=V; lmin=l;wmin=w; w1min=w1; nmin=n; Cmin=cita; tit=用料最小解; plotpic;%saveas(1,tit.png); output;endendendendend%di

60、sp(计算完毕);%disp(用料最省的设计：);%disp(sprintf(木板尺寸%.2f*%.2f*%.2f(cm),lmin,wmin,T);%disp(sprintf(木条数%d,nmin);%disp(sprintf(每根木条宽度%.2f(cm),w1min);%disp(spri ntf(总用料%.3f(cmA3),Vmi n);%disp(sprintf(支撑角%.3f(rad)n,Cmin);%toc画图程序%画桌脚曲线drawnow; axis(yk(1),-yk(1),x(1),x(n),zk(1),0);axissquare;holdon;cla;plot3(yk,x,zk,g);%plot3(yk,x,