单调性与最大(最小)值

1、§ 1. 3.2单调性与最大（最小）值【教材分析】最值问题是生产、科学研究和日常生活中常遇到的一类特殊的数学问题，是高中数学的一个重点，它涉及到高中数学知识的各个方面， 解决这类问题往往需 要综合运用各种技能，灵活选择合理的解题途径.本节课利用单调性求函数的最 值，目的是让学生知道学习函数的单调性是为了更好地研究函数.利用单调性不仅仅确定函数的值域、最值，更重要的是在实际应用中求解利润、 费用的最大与 最小，用料、用时的最少，流量、销量的最大，选取的方法最多、最少等问题【教学目标】1理解并掌握函数最大（最小）值的概念及其几何意义，并能利用函数图象及 函数单调性求函数的最大（最小）值.

2、2.在求函数最大（最小）值中，提高分析问题、创造地解决问题的能力，渗透 数形结合的数学思想【教学重难点】教学重点：理解函数最大（最小）值.教学难点:利用函数的单调性求函数最大（最小）值【教学设计建议】一、导入新课1、生活中，有很多的函数变化的模型.比如某段时间的股市变化图和某市一 天24小时内的气温变化图等，分别说出股票综合指数和气温随时间变化的特点， 如相应图象在什么时候递增或递减，有没有最大（最小）值等.2、前面我们学习了函数的单调性，知道了在函数定义域的某个区间上函数 值的变化与自变量增大之间的关系.从函数图象的角度很容易直观的知道函数图 象的最高点（或最低点），如何从解析式（函数值）的

3、角度认识函数的最大（最小） 值呢？【设计意图：根据生活中的实际例子认识函数图象的变化特征，复习函数的 单调性，引出函数的最大（最小）值，并使学生分别从函数图象的角度和从解析式 的角度刻画函数的最大（最小）值,激发学生探究函数最大（最小）值的概念及其几 何意义的兴趣】二、探索新知（一）画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现 函数的什么特征？ f(x) =2x 1,x 一 1,二) g(x)=x22x f (x) = x22x, x 一1,2(二) 观察上述三个函数的图象，如何用数学符号解释：相应函数的图象有 最咼点或者最低点？函数图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值 ，

4、即函数的最大值函数图象最低点的纵坐标是所有函数值中的最小值，即函数的最小值 函数图象可能只有最高点，函数有最大值，不存在最低点，函数无最小值； 函数图象也可能只有最低点，函数有最小值，不存在最高点，函数无最大值；也 可能函数最大(最小)值都有，或者都无等等【设计意图：通过画函数的图象，特别是区间内函数的图象，先具体感知函 数图象的最高点与最低点的情况，再思考用数学符号来解释或表达函数图象的最 高点与最低点，形成思维冲突，最后师生一起交流解决 】(三) 归纳新知1、函数最大值的定义：一般地，设函数y=f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1) 对于任意的x I，都有f (x)< M

5、 ;(2) 存在xo I，使得f (xo) =M.那么，我们称M是函数y=f (x)的最 大值，记为 ymax f ( Xo).2、思考并类比函数的最大值的定义，给出函数最小值的定义一般地，设函数y=f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1) 对于任意的x I，都有f (x)> M ;(2) 存在xo I，使得f (xo) =M.那么，我们称M是函数y=f (x)的最 小值，记为 ymin f (xo).【设计意图：在画和观查函数图象、用数学符号来解释或表达函数图象的最 高点与最低点的基础上，归纳出函数最大值的定义及其数学符号的表达继续引导学生思考、类比，自己归纳出函数的最小值的

6、定义及其数学符号的表达.】三、反思提升(一) 函数最大(最小)值的定义及其几何意义(二) 函数最大(最小)值与函数定义域及值域的关系.(1 )函数的定义域为开区间或闭区间对函数最大 (最小)值的影响（2）函数不一定有最大（最小）值（3）函数的最大（最小）值是唯一的，但其对应的自变量的值不一定是唯 的.（三）数学方法与思想函数最大（最小）值与函数图象及其单调性的关系中充分体现数形结合的思 想，函数最大（最小）值的定义中体现类比的方法，分类讨论的方法.【设计意图：经历问题引入和新知探究后，师生对函数的最大（最小）值的定 义及其几何意义有了初步认识，在此基础上进行探究过程和运用到的数学思想方 法进行

7、反思提升，强调函数最大（最小）值与函数图象、函数单调性、函数定义域 和函数值域的内在关系.】四、反馈例练（一）基础例练例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花在距地面高度h m与时间t s的之间的关系为h（ t）=4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1 m）?解：作出函数h （t） = 4.9t2+14.7t+18的图象.显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶 点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时 距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数h（t） = 4.9t2+14

8、.7t+18, 我们有：当t=- 2 1（4-1.9）=1.5时，函数有最大值,h=4W9)勺814.72 294x(49)于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m.【例2求函数 尸一在区间2，6上的最大值和最小值x 12分析：由函数y=（x2, 6）的图象可知，函数x T6 上递减.所以，函数丫=丄在区间2, 6的两个端点x -1上分别取得最大值和最小值解：设X1、X2是区间2, 6上的任意两个实数,222( X2 - 1) - (Xi -1)2(X2 - x<|)且 X1< X2,则 f(Xl) f(X2)= l 2 丿 1' 2 v

9、.x1 _1X2 -1g _1)(x2 -1) X _1)(x2 _1)由 2 W X1 < X2 W 6，得 X2 X1 > 0 , f X1 1 ) f X2 1 )> 0 , f f X1) f f X2 )> 0，即 f f X1 ) > f f X2).所以，函数y= 2是区间2, 6上的减函数.x 1因此，函数y=2 在区间2, 6的两个端点上分别取得最大(最小)值，即x 1在x=2时取得最大值，最大值是2,在x=6时取得最小值，最小值是04(二)巩固例练例1:求下列函数的最值f 1) y = x23x 1, x t，t 1， t R;f2) y =

10、x22ax 5, x 2,3，a R.1例2:已知函数f (x) =x -,x 0,xf 1)证明当0<x< 1时，函数f f x)是减函数；当X1时，函数f fx)是增 函数.1f 2)求函数f(x)二x ,x 0的最小值.X分析：f 1)利用定义法证明函数的单调性；(2)应用函数的单调性得函数的 最小值.f 1)解：任取 X1、X2( 0, +x)且 X1< X2，贝Uf(X1)-f(X2)=(X1 丄)-(X2 丄)=(X1-X2)+3=X1X2X-1X2X1 x2 X1< X2，二 X1 X2<0, X1X2>0.当 0< X1< X2&

11、lt; 1 时，X1X2-1<0,.°. f f X1) -f f X2)> 0. f fX1) > f fX2),即当0<x<1时，函数f fx)是减函数.当 1 W<1< X2 时，X1X2-1>0,： f f X1) -f f X2)< 0. f f X1 ) > f f X2),即当X1时，函数f f x)是增函数.1f2)由f 1)得当x=1时，函数f(xx 1 ,x 0取最小值.X1 又f(1) =2,则函数f(x)二x ，x 0取最小值是2.x点评：本题主要考查函数的单调性和最值.定义法证明函数的单调性的步骤：

12、作差、判号、结论；三个步骤缺一不可 .禾I用函数的单调性求函数的最值的步骤：先判断函数的单调性 ，再利用其 单调性求最值； 当然对于简单的函数， 也可以画出其函数图象， 依据函数最值的 几何意义，借助图象写出最值 .【设计意图： 先安排教材上的两个例题， 师生一起例练， 可以先让学生思考 练习，老师适当点拨讲评，然后安排两个巩固例练，以二次函数的背景，简单的 含参数的二次函数动区间和动轴的最大最小值问题， 以及再一次巩固 “双钩”函 数的单调性证明，然后利用单调性求函数的最大最小值 . 】五、课后作业1、教科书 P32 5、P39 A 5 、B 1、2 2、校本教辅资料相应练习【教学设计感悟 】 本节课看似简单，但为了达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点 .在探索概念阶段 ,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的知 过程，完成对函数最大（最小）值定义的认识 ,使得学生对概