实际问题与二元一次方程组经典例题(学生版)

1、v1.0可编辑可修改实际问题与二元一次方程组经典例题列方程组解应用题中常用的基本等量关系1.行程问题：(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段，用图便于理解与分析。其等量关系式是：两者的行程差=开始时两者相距的路程；速度建时乐强路程二速度乂时间. 町间. 速度(2)相遇问题：相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和=总路程。“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速

2、度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离.(3)航行问题：船在静水中的速度+水速=船的顺水速度；船在静水中的速度-水速=船的逆水速度；船的顺水速度船的逆水速度=2 X水速。注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。2 .工程问题：工作效率X工作时间 =工作量.3 .商品销售利润问题：利闰率=售叱普X130%利润=售价成本(进彳(2)进世；(3)利润=成本(进价)X利润率；(4)标价=成本(进价)X (1 +利润率)；(5)实际售

3、价=标价X打折率；(5) 注意：“商品利润=售价一成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。(例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十)(6) 4.储蓄问题：(1)基本概念(8) 本金：顾客存入银行的钱叫做本金。利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。(9) 本息和：本金与利息的和叫做本息和。 期数：存入银行的时间叫做期数。(10) 利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。利息税：利息的税款叫做利息税。(11) (2)基本关系式(12) 利息=本金X利率X期数(13) 本息和=本金+利息=本金+本金x利率x期数=本金x(1 +利率x期数

4、)(14) 利息税=利息x利息税率=本金X利率X期数X利息税率。11v1.0可编辑可修改月利率年利率式一(15) 税后利息=利息X (1 利息税率)年利率=月利率X 1212。(16) 注意：免税利息=利息(17) 5.配套问题：(18) 解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。(19) 6.增长率问题：(20) 解这类问题的基本等量关系式是：原量X (1 +增长率)=增长后的量；(21) 原量X (1 减少率)=减少后的量.(22) 7.和差倍分问题：(23) 解这类问题的基本等量关系是：较大量=较小量十多余量，总量=倍数X倍量(24) 8.数字问题：(25

5、) 解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n为整数时，奇数可表示为 2n+1(或2n-1),偶数可表示为 2n等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数 二十位 数字X 10+个位数字(26) 9.浓度问题：溶液质量X浓度=溶质质量.(27) 10.几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式(28) 11.年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的(29) 12.优化方案问题：(30) 在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般

6、都要运用方程解答，得出最佳方案。(31) 注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳TzT 7K o(32)知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、设、找、歹h解、检、答”七步.即：(1)审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数；(2)设：根据题意设元(3)找：找出能够表示题意两个相等关系；(4)歹U：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；(5)解：解这个方程组，求出两个未知数的值；(6)检：检查所求的解是否符合实际问题；(7)答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基

7、础上，写出答案 要点诠释:22v1.0可编辑可修改(1)解实际应用问题必须写 “答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；(2) “设”、“答”两步，都要写清单位名称；(3) 一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组分析、一柳一五解答步骤简记为：问题 > 万程组> 解答(4) 列方程组解应用题应注意的问题弄清各种题型中基本量之间的关系；审题时，注意从文字，图表中获得有关信息；注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程组时，不要带单位；正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；在寻找等

8、量关系时，应注意挖掘隐含的条件;列方程组解应用题一定要注意检验。经典例题透析类型一：列二元一次方程组解决一一行程问题.甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发 半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米2在某条高速公路上依次排列着A B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米.分别在 A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在 B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同

9、的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往 B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上.问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少【变式1】甲、乙两人相距 36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发小时后相遇；如果乙比甲先走 2小时，那么他们在甲出发 3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？33v1.0可编辑可修改【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用 14小时，逆流用20小时，求船在静 水中的速度和水流速度。跟踪训练1、 甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙的西边 300米，若甲、乙两人同时向东走

10、30分钟后,甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2分钟后相遇，问甲、乙两人的速度是多少甲乙两人以不变的速度在环形路上跑步，相向而行每隔两分钟相遇一次；同向而行，每隔6分相遇一次，已知甲比乙跑的快，求甲乙每分钟跑多少圈类型二：列二元一次方程组解决一一工程问题 1 一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做 9天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件V 2某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产4能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的4 ;

11、现在工5厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产 25套，求订做的工作服是几套要求的期限是几天6周完成需工钱万元；若甲公举一反三:【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作44v1.0可编辑可修改司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司请你说明理由跟踪训练1、<一千零一夜中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就

12、是整个鸽群的1/3 ,若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了。"你知道树上、树下各有多少只鸽子吗类型三：列二元一次方程组解决一一商品销售利润问题>1 一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少他 2有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%乙商品的利润率为 4%,共可获利46元。价格调整后，甲商品的利润率为 4%乙商品的利润率为 5%共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元思路点拨：做此题的关键要知道：利润=进价X利润率举一反三：【变式1 （2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利 1800

13、0元,其中甲种蔬菜每亩获利 2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利 6万元，其进价和售价如下表:AB进价（元/件）12001000售价（元/件）13801200（注：获利=售价 一进价） 求该商场购进 A B两种商品各多少件;55v1.0可编辑可修改跟踪训练1、打折前，买60件A商品和30件B商品用了 1080元，买50件A商品和10件B商品用了 840元，打折后，买50件A商品和50件B商品用了 960元，比不打折少花多少钱2、有甲、乙两种债券，年利率分别是10%与12%,现有400元债券，一

14、年后获利 45元，问两种债券各有多少类型四：列二元一次方程组解决一一银行储蓄问题 4.小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为的教育储蓄， 另一种是年利率为的一年定期存款， 一年后可取出元，问这两种储蓄各 存了多少钱（利息所得税=利息金额X 20%教育储蓄没有利息所得税）举一反三：【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息元.已知两种储蓄年利率的和为 %问这两种储蓄的年利率各是百分之几（注：公民应缴利息所得税=利息金额X 20%思路点拨：扣税的情况：本金X年利率X（1-20%） X年数

15、=利息（其中，利息所得税 =利息金额 X20% .不扣税时：利息=本金X年利率X年数.【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了 4000元钱.第一种,一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息%第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为 .三年后同时取出共得利息元 （不计利息税），问小敏的爸爸两种存款各存 入了多少元？类型五：列二元一次方程组解决一一生产中的配套问题66v1.0可编辑可修改78 1 .某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的

16、损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰 好配套研某厂共有12,每个工人每天可生小25个或螺母20个,如螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套【变式1现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子,问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子【变式2】某工厂有工人 60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如

17、果1立方米木料可以做桌面 50个，或做桌腿300条。现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿,恰好配成方桌能配多少张方桌类型六：列二元一次方程组解决一一数字问题©8.两个两位数的和是 68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数;v1.0可编辑可修改在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大 2178,求这两个两位数。举一反三：【变式1】一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23;这个两位数除以它的各位数字之和，商是5,余数是1,这个两位数是多少【变式2】一个两位数，

18、十位上的数字比个位上的数字大5,如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9,求这个两位数？【变式3】某三位数，中间数字为 0,其余两个数位上数字之和是 9,如果百位数字减1,个位数字加1,则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。跟踪训练1、一个两位数字，个位数字比十位数字大5,如果把这两数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143,求这个两位数.3、甲乙两盒中各有一些小球，如果从甲盒中拿出10个放入乙盒，则乙盒球就是甲盒球数的 6倍，若从乙盒中拿出10个放入甲盒，乙盒球数就是甲盒球数的3倍多10个，求甲乙两盒原来的球数各是多少

19、88v1.0可编辑可修改类型七：列二元一次方程组解决一一增长率问题6.某工厂去年的利润（总产值一总支出）为 200万元，今年总产值比去年增加了 20%总支出比去年减少了 10%今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元【变式1】若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元【变式2】某城市现有人口 42万，估计一年后城镇人口增加%农村人口增加%这样全市人口增加 1%求这个城市的城镇人口与农村人口。类型八：列二元一次方程组解决一一年龄问题勖 1.今年父亲的年龄是儿子的 5倍，6年后父亲的年龄是儿子的 3倍，求现在父亲和儿子的年龄 各是多少总结升华：解决年龄问题，要注意一点：一个人的

20、年龄变化（增大、减小）了，其他人也一样增大或减小，并且增大（或减小）的岁数是相同的（相同的时间内）。【变式1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄99v1.0可编辑可修改类型九：列二元一次方程组解决一一和差倍分问题（2011年北京丰台区中考一摸试题）“爱心”帐篷厂和“温暖”帐此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的倍、倍,恰好按时完成了这项任务.求在赶制帐篷的一周内,“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千篷厂原计划每周生产帐篷共 9千顶，现某地震灾区急需帐篷 14千顶，两

21、厂决定在一周内赶制出这批帐篷.为顶？举一反三：【变式1】（2011年北京门头沟区中考一模试题 ）“地球一小时”是世界自然基金会在2007年提出的一项倡议.号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六 20时30分一21时30分熄灯一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活.中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动.【变式2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多 1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？1010v1.0可编辑可修改类型十：列二元一次方程组解决一一几何