初中数学中考几何题中的新定义型题集锦

1、初中数学中考几何题中的新定义型题集锦在近年的中考试题中， 涌现出了许多创意新颖、情境熟悉的几何新定义型试题，为了便于同学们了解掌握这方面的信息，现从近年的中考试题中精选数例，供同学们参考与借鉴。一、定义一种新的几何体例1 (2001年泰州市)我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相1,甲、乙是两个不同的正方体，正方体等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体，如图 都是相似体。乙甲图I(1)下列几何体中，一定属于相似体的是(A.两个球体C.两个圆柱体(2)请猜想出相似体的主要性质：相似体的一切对应线段(或弧长)的比等于)B.两个圆锥体D.两个长方体相似体表面积的比等于相似体体积的比

2、等于(3)假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一个人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为 1.1m,体重为18kg,到了初三，身高为 1.65m,问他的体重为多少?(不考虑不同时期人体平均密度的变化)解：(1)由相似体的定义可知，应选 A。(2)相似比；相似比的平方；相似比的立方。(3)设初三时体重为 x kg,则由题意，得 x:18=(1.65:1.1 3 , 解之，得 x ： 60.75 kg故到了初三时，他的体重约为60.75kg。二、定义一种新的规则例2 (2003年安徽省)如图 与正三角形的接近程度称为“正度”2,这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把它 ,在研究“正

3、度”时，应保证相似三角形的“正度”相图21设等腰三角形的底和腰分别为a、b,底角和顶角分别为 a、P ,要求“正度”的值是非负数。同学甲认为：可用式子|a-b|来表示“正度”，|a-b|的值越小，表示等腰三角形越接 近正三角形。同学乙认为：可用式子|口-P|来表示“正度”，|汽-P|的值越小，表示等腰三角形越接 近于正三角形。探究：（1）他们的方案哪个较为合理，为什么？（2）对你认为不合理的方案，请加以改进（给出式子即可）。（3）请再给出一种衡量“正度”的表达式。解：（1）乙同学的方案较为合理。因为 |a-B|的值越小，口与P越接近60。，因而该等 腰三角形越接近于正三角形，且能保证相似三角形

4、的“正度”相等。同学甲的方案不合理。因为不能保证相似三角形的“正度”相等。如：边长为4、4、2和边长为8、8.4的两个等腰三角形相似，但 |24|=2型48|=4。（2）对同学甲的方案可改用 |a b|/ka、|a b |/kb等（k为正数）来表示“正度”。（3）还可以用 |a60口|、|P60、|c（+p_120I、卜60。/ +2（p 60。2 1/3等来 表示“正度”。说明：（2）、（3）的答案不惟一，只要符合要求的均可。三、定义一种新的线段例3 （2003年安徽省附加题）如图 3,在五边形A1A 2A 3A 4A 5中，B1是A1对边A 3A 4 的中点，连结 A1B1,我们称A1B1

5、是这个五边形的一条中对线，如果五边形的每条中对线 都将五边形的面积分成相等的两部分。求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行。证明：如图3,取A1A5的中点B3,连结A3B3、A1A3、A1A4、A3A5。因为 A3B1 =B1A4 ,所以 SAA1A3B1 =S4A1B/4。又因为四边形 A1A2A 3B1与四边形A1B1A 4A 5的面积相等，所以 S/XA1A 2A 3 =Sa A 1A 4A5f131® SA A1A 2A3 =SA A3A4A5 ,所以S A1A 4A 5 =SaA3A 4A5 ,所以AA3A4A5与A1A4A5的边A4A5上的高相等，所以 A1A3 II

6、 A4A5。同理可证： A1A2/A3A5, A2A3/ A1A4, A3A4/A2A5, A1A5/A2A4。例4 （2007年连云港市）如图4 （1）,点C将线段AB分成两部分，如果 AC: AB=BC : AC,那么称点C为线段AB的黄金分割点。A D B A DEB（P,图4某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线 l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2,如果S1 ：s=S2 ： 6 ,那么称直线i为该图形的黄金分割线。(1)研究小组猜想：在 ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图 4 (2),则

7、直线CD是4ABC的黄金分割线。你认为对吗？为什么？(2)请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交 AB于点E,再过点D作直线DF/ CE,交AC于点F,连结EF,如图4 (3),则直线EF也是 ABC的黄金分割线。 请你说明理由。(4)如图4 (4),点E是平行四边形 ABCD的边AB的黄金分割点，过点 E作EF /AD,交DC于点F,显然直线EF是平行四边形 ABCD的黄金分割线，请你画一条平行四边 形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边的黄金分割点。0)图4解：(1)直线CD是 ABC的黄金分割线，理由如

8、下：设AB边上的高为 h,则由 AD : AB=DB : AD ,得 ADh /2:ABh /2=DBh /2:ADh / 2,即 SZADC : SA ABC -SACDB : SA ADC ,由黄金分割线的定义知：CD是 ABC的黄金分割线。(2)三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线。(3)证明：设 DC与EF的交点为O。因为 DF / CE,所以 SA DOF SACOF ,所以S aef =Saadc , Sacdb =S四边形 CFEB。因为 SA ADC : SA ABC SACDB : SA ADC ,所以S AEF : SA ABC =S四边形 CFEB : SA AEF

9、， 所以直线EF是 ABC的黄金分割线。(4)画法不唯一，如：画法1 如图5 (1)取EF的中点G,过点G作一条直线分别交 AB、DC于M、N点, 则直线MN就是平行四边形 ABCD的黄金分割线。"F C INF CE 廿 8 A E B(I)图5'画法2在DF上取一点N,连结EN,过点F作FM / EN交AB于点M ,连结MN ,则 直线MN就是平行四边形 ABCD的黄金分割线，如图 5 (2)。四、定义一种新的点例5(2006年安徽省实验区)如图6,凸四边形ABCD ,如果点P满足/ APD= / APB= ct , 且/ BPC=/CPD=P,则称点P为四边形ABCD的

10、一个半等角点。(1)(2)(3)在图8的正方形在图9的四边形 若四边形ABCD图ABCD内画一个半等角点,ABCD中画一个半等角点, 有两个半等角点P1、P2且满足¥ P。保留画图痕迹（不需写出画法）（如图7）,证明线段P1P2上任意一点也是它的半等角点。8解：（1）如图8,连接PB、 PD,则点P为正方形AC,在AC上（点A、C、AC的中点除外）任取一点 P,连结ABCD的一个半等角点。，图8(2)如图9所示。B图9(3)连结；AP1、P1D、P1B 和 P2C、P2D、P2B,则由题意，得/APD = /APiB, /DP1P2 =/BRP2 ,故 2(/AP1D +ZDP1P2

11、 )=360，所以 NAP1D +2DP1P2 =180',所以Pi在AP2上，同理P2在PC上，所以A、P1、P2、C在同一条直线上。在 DP1P2和 BP1P2 中，因为/ DP1P2 =/BPF2, / DP2P1 =/BP2P1 , RP2 为公共边，所以 DP1P2 三BP1P2,所以 DP1=BP1, DP2=BP2,于是B、 D关于AC对称，设P是P1P2上任一点，连结 DP、BP,则由对称性知/ DPA= / BPA , / DPC= / BPC,所以点P是四边形ABCD的一个半等角点。例6 ( 2007年宁波市)四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点

12、的距离不相等，但到另一对角线的两端点的距离相等，则称这个点为这个四边形的准等距点，如图10 (1),点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB, PA#PC,则点 P为四边形ABCD的准等距点。 (3)(4)图10.(1)如图10 (2),画出菱形 ABCD的一个准等距点；(2)如图10 (3),作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不 要求写作法)(3)如图10 (4),在四边形 ABCD中，P是AC上的点，PA#PC,延长BP交CD 于点E,延长 DP交BC于点F,且/ CDF=/CBE, CE=CF,求证：点 P是四边形 ABCD 的准等距点；(4)试

13、研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明)。解：(1)如图10 (2)所示，点P即为所求(答案不唯一，点P不能画在AC的中点上)。(2)如图10 (3)所示，点P即为所求作的点(答案不唯一)。(3)证明：如图10 (4),连结DB。因为4DCF 三ABCD (AAS),所以 CD=CB ,所以/ CDB= / CBD,故/PDB、/PBD,所以 PD=PB 0因为PAW PC,所以点P是四边形ABCD的准等距点。(4)当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一条对角线或者对角线互相平分且不垂直时，准等距点的个数为0个；当四边形的对角线既不垂直，又不

14、互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角 线的中点时，准等距点的个数为1个；当四边形的对角线既不垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个；准等距点有无当四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一条对角线时，数个(注意点P不能画在对角线的中点上) 五、定义一种新的三角形例7 (2005年天津市)在 ABC中，/ A、/B、Z C所对的边分别用 a、b、c表示。a2 = bb + c )；图11(I)如图 11,在 ABC 中，Z A=2 Z B,且/ B= 60°,求证;(II)如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，

15、我们称这样的三角形为“倍角三角形”，本题第(I)问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对任意的倍角三角形2ABC ,其中/ A=2ZB,如图12,关系式a =b(b+c谩否仍然成立？并证明你的结论；/ID图12 尸一(III)试求出一个倍角三角形的三条边长，使这三条边长恰好为三个连续的正整数。(I)证明：因为/ A= 60°, /A=2/B,所以/ C=90°,所以在 RtAABC 中， b =c/ 2 , a = 43c/ 2 ,于是 a2 =3c2 / 4 , b(b +c )=c(c/2 +c J 2 =3c2 /4 ,所以 a2 = b(b + c)。(II)关系

16、式a2 =b(b+c明然成立。证明：如图12,延长BA到D,使AD=AC ,连结CD,则4 ACD为等腰三角形。所以/ BAC=2 ZD, 因为/ BAC=2 ZB, 所以/ D=/B,所以BC=CD。因为/ D为4ACD与4CBD的公共角，所以 ACDA CBD, 所以 AD : CD=CD : BD , 即 b:a =a: b c , 所以 a2 =b(b +c )。(III)解：若 ABC是倍角三角形，由/ A=2/B,知a2 =b(b+c),且a>b ,当 a>cb时，设 a = n+1, b=n1, c = n (n 为大于 1 的整数)代入 a2 =b(b + c),

17、得(n +1 2 =(n -102 n -1 ),解之得n = 5。故a =6 , c=5, b=4,可以证明这个三角形中，/A=2 / B。当c Aab&a >b >c时，均不存在三条边长恰为三个连续正整数的倍角三角形，所以 边长为4、5、6的三角形为所求。六、定义一种新的矩形例8 (2005年资阳市)阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图13所示,矩形ABEF即为 ABC的“友好矩形”，显然，当 ABC是钝角三角形时，其“友好矩形

18、” 只有一个。图13(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”。(2)如图14,若4ABC为直角三角形，且/ C= 90 0 ,在图14中，画出 ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；图14(3)若 ABC是锐角三角形，且 BC>AC>AB ,在图15中画出 ABC的所有“友好 矩形”，指出其中周长最小的矩形，并加以证明。£ X ; DG 图 15 .'解：(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件： 三角形的一边与平行四边形的一 边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形

19、”。(2)此时共有两个“友好矩形”，如图14所示的矩形BCAE和矩形ABFM ,易知矩形 BCAE、ABFM的面积都等于 ABC面积的2倍，所以 ABC的“友好矩形”的面积相等。(3)此时共有三个“友好矩形”，如图15所示的BCDE、CAFG及ABHK ,其中矩形 ABHK的周长最小，证明如下：易知这三个矩形的面积相等， 令其为S,矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为11、 12、13, ABC 的边长 BC=a , CA=b, AB =c，则 11 =2S/a+ 2a, 12=2S/b+2b, 13 =2S/c+2c。因为 li2 =2(a_bNab_Syab,而 ab>S,

20、a>b ,所以 li 12 >0,即 11AI2,同 理可证12 >13,所以13最小，即矩形 ABHK的周长最小。七、定义一种新的四边形例9 (2006年北京市)我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个 四边形为等对角线四边形。请解答下列问题：(1)写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；(2)探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对60角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。解：(1)答案不唯一。如正方形、矩形或等腰梯形、矩形等。(2)结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角60呻寸，这对60口角所对

21、的两边之和大于或等于一条对角线的长。已知：四边形 ABCD中，对角线 AC、BD交于点O, AC=BD ,且/ AOD= 60*。求证：BC+AD之AC。证明：过点 D作DE/AC,连结CE、BE,则/ EDO= 60 ,四边形 ACED是平行四边 形，所以 BDE是等边三角形，故CE =AD , DE=BE=AC 。当BC与CE不共线时，如图 16,在 BCE中，图】6有 BC+CE a BE ,所以BC十AD >AC。当BC与CE共线时，如图17,则0317.BC +CE =BE ,即 BC +AD =AC。综合、，得BC +AD之AC。故所得结论成立。例10 (2007年北京市课标

22、卷)我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类 似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。(1)请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称。(2)如图18,在 ABC中，点D、E分别在 AB、AC上，设CD、BE相交于点 O, 若/ A=60。，/ DCB= / EBC= / A/2。请写出图中一个与/ A相等的角，并猜想图中哪个四 边形是等对边四边形；图18(3)在4ABC中，如果/ A是不等于60口的锐角，点D、E分别在AB、AC上，且/ DCB= / EBC= / A/2 ,探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结 论。解：(1)答案不唯一，如正方形、矩形、菱形、等腰梯形等。(2)与/ A相等的角是/ BOD (或