苏教版高中数学必修二空间几何体的表面积与体积体积教案

1、让学生学会学习课题：空间几何体的体积一、教学目标：L知识目标：掌握棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积的推导方法， 理解祖的I原理，会应用棱柱、 圆柱、棱锥、圆锥的体积公式。2 .能力目标：通过学习祖附I原理，理解祖的I原理的内涵，体验空间与平面问题互相转化的方 法，体会到复杂的体积问题怎样转化为简单的体积问题而得到解决，从而提高学生的数学思维能力。3 .德育目标：学生通过学习祖附I原理， 了解我国古代数学家在这方面作出的突出成就，受到爱国主义教育，提高学习数学的兴趣。二、教学重点与难点：重点是棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式的推导方法。难点是对祖附I原理的理解和棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式的应用

2、。三、教学方法与教学手段：教学方法：本节课的课型为“新授课”。虽然学生初中已经学习了圆柱、圆锥的体积的公式， 但用的是实验验证的方法， 并没有从根本上理解圆柱、 圆锥的体积公式的由来，本课采用推导的方法，以长方体的体积公式和祖咂原理为基础推导出几种几何体的体积公式，通过不同形式的探究过程，让学生积极参与到教学活动中来，并且始终处于积极的问题探究和辨析思考的学习气氛中。教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高效率。四、教学过程：教学 环节教学内容师生互动设计意图课题 引入提出问题：(1)在初中的几何学习中，我们曾经学习过哪些几 何体的体积公式？(2)还记得初中时你们的数学老师

3、是如何验证棱柱、 圆柱、棱锥、圆锥的体积公式的吗？(3)棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式是怎样得 到的？学生积极回 忆，回答问题。 针对问题(3), 教师提出：这 是这下课要研 究的内容“如 何推导棱柱、 圆柱、棱锥、 圆锥的体积公 式”。从复习初中几 何体的体积公 式引入，自然、 得体。教学 环节教学内容师生互动设计意图我们已经学习过了长方体体积公式V Sh,其中，S表示长方体的底面积，h表示长方体的高。实际上，由长方体体积公式可以推导出求其它一些几何 体的体积公式，长方体体积公式是推导棱柱、圆柱、 棱锥、圆锥的体积公式的一个基础。我国古代对几何体的体积研究，取得过辉煌的成 就，并建立了完整

4、的理论体系，这个理论的基础是： 祖的I原理：哥势既同，则积不容异。教师提问：学生独立思 考，回答问 题，教师总 结介绍祖的 I 其人，并给 出祖的I原理 的正确解 释。(1)你对祖的I了解多少？(2) “哥势既同，则积不容异”这句话该做何解释？ 教师讲解：祖的I是我国古代南北朝时期的数学家，受父亲祖冲之 的影响，他从小就热爱科学，对数学具有浓厚的兴趣， 祖冲之在462年编制的“大明历”就是在祖的I三次建 议的基础上完成的。祖的I原理是祖咂一生最有代表性 的发现。祖晅沿用了刘徽的思想，得出“哥势既同，则积不容 异”的结论。“哥”是面积，“势”即是高，意思是， 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平

5、行于这两个 平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总 相等，那么这两个几何体的体积相等。“祖附I原理”是新 课 讲 解在独立研究的基石上得出的，17世纪由意大利数学家卡瓦列里重新发现，但比祖的I晚一千余年。祖的I原理是非常浅显易懂的，例如，取一摞纸张放在 桌面上，将它们如课本图 1-49所示改变一下形状，这 时高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，所以体 积也没有发生变化。祖咂原理是我们推导棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积 公式的又一基础。1 .关于棱柱和圆柱的体积设有一个n棱柱、一个圆柱和一个长方体，它们的底 面积都等于S,高都等于h ,它们的下底面都在同一 平面上，如下图：教师讲解的过程

6、要注意强调祖咂原我们知道长方体的体积 V Sh,那么棱柱和圆柱的体 积应该如何得到呢？教师讲解：棱柱、圆柱和长方体的下底面都在同一平面上，因为 它们的上底面和下底面平行，并且高都相等，所以它 们的理的运教学内容师生互动设计意图教学环节上底面都在和下底面平行的同一平面内。用与底面平行的任意平面去截它们时，所得的截面面积S和S''都等于S ,根据祖的I原理，它们的体积相等，即棱柱、圆柱 的体积都等于长方体的体积。由于长方体的体积等于底 面积和高的乘积，于是我们得到柱体体积的计算方法： V柱体 Sh;特别地，底面半径是r,高是h的圆柱体的体积的计算公 式是:V圆柱r2h.2 .关于棱

7、锥和圆锥的体积设有一个圆锥、 一个n棱锥和一个三棱锥， 它们的底面 积都等于S ,高都等于h ,它们的下底面都在同一平面 上，如下图：新 课 讲 解问题一、它们的体积有何关系呢？教师总结答案与证明过程： 它们的体积是相等的.证明:在距底面h'(0 h' h)处做一个截面，则截面图形 与底面图形相似，图为圆锥，设截面半径为r,底面半径为R,则h_i-L ,设截面面积为 s,h R_22则 s' r2 (h h') ；SR h图(2)和图(3)均棱锥，设截面边长分别为k.t,底面连长分别为K.T,则-土，设截面面积为h K T用，使学生 初步加深 对祖附I原 理的认

8、识.学生独立 思考2-3分 钟，然后分 组讨论，交 流。讨论、 整理出本 组同学所 想至IJ的各 种思路。教 师巡视，关 注学生讨 论的层次。 一段时间 后，每组派 代表讲解 推导的过 程，教师引师生互动， 突破难点。一方面使 学生体会 整体代换 的思想；另 一方面鼓 励学生在 困难面前 要树立信 心，多角度 分析问题， 形成锲而 不舍的钻 研精神。S''.S'',由于面积比等于相似比的平方，所以_22_22S'' k (h h')S''' t (h h')22;22S K2h2S T2h2所以，S S&#

9、39;' S'''由此可见，底面枳同为S,局同为h的圆锥和棱锥，用与底面平行的任意平面去截，所得的截面面积都相同， 由祖的I原理，这样的圆锥和棱锥的体积相等，都等于底面积为S,高为h的三棱锥的体积，只要我们能求出这导学生体 会其中蕴 含的数学 思想方法， 加强对祖 附I原理的 理解。在整个交 流讨论中， 教师既要 有对正确 认识的赞 赏，又要后 对错误见 解的分析 及对本人 的鼓励。教学内容师生互动设计意图教学环节样的三棱锥的体积，就能得到底面积为 S,高为h的圆 锥以及棱锥的体积了。问题二、如何求底面积为 S,高为h的三棱锥的体积？ 分析：既然已经推导了棱柱的

10、体积 V Sh,可以构 造如下三棱柱 ABC DEF ,其底面积为S,高为h, 将此三棱柱分为三部分，每部分是一个三棱锥，设学生在合作 交流、与人 分享、探讨 的氛围中倾 听、质疑、 表述，体验 成功的喜 悦；学会合 作，并在合 作中懂得欣 赏他人。新 课 讲 解VA DEF V1 ,VA CEFV2,VA BCE三棱锥A DEF和三棱锥A BCE底面积相同，高 相同，所以V1 V3；综上，V1V2V三棱柱3Sh3三棱锥A CEF和三棱锥A BCE底面积相同，高 相同，所以V2 V3；可见，底面积为S,高为h的三棱锥的体积为 , 3从而得到底面积为S,高为h的圆锥以及棱锥的体积均为Sh,即V锥

11、体1Sh, 33特别地，如果圆锥的底面半径是r,高是h ,12, r -、e , r一V圆锥 r h .（结合课件2119学习）3教师总结：学生回答，让学生大胆这节课我们又认识了我国古代一位非常伟大的数学教师总结完发言，归纳家祖的I,学习了祖附I原理：哥势既同，则积不容异；善。总结本节课并以此原理和长方体的体积公式为基础，得到了棱的收获，教课柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式，请同学们在课下师及时点评堂 小 结加以复习、巩固。并归纳总 结，通过大 WWtB 来，使学生 对所学内容 有一个系统 的认识。教学 环节教学内容师生互动设计意图作业：(1)课本 P34 习题 1-1A 9.10(2)课本 P35 习题 1-1B 5.7帮助学生巩