常用放缩方法技巧

1、For personal use only in study and research; not for commercial use常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能 全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素 材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进 行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：添加或舍去一些项，如：*a 1 a ； Vn(n 1) n 将分子或分母放大(或缩小)利用基本不等式，如：lg 31g 5 (lg 3

2、21g 5)2 lg . 15 lg .16n(n 1)lg4 ；n (n 1)2二项式放缩：2n (1 1)n C0C；(5)利用常用结论：Cn,2nC0 Cn n 1,I .3的放缩： 22_ 2kk . k 12 k k 、k 1n. 1的放缩(1):111(程度大)k2k(k 1) k2k(k 1)m .工的放缩(2): J_21k2kk1IV. 1 的放缩(3): 1_4k2k24k2 11 1(L) (程度小)(k 1)(k 1) 2 k 1 k 12(1 1-)(程度更小)2k 1 2k 1v.分式放缩还可利用真(假)分数的性质：bbm(b a 0, m aamc、禾 b b m

3、 /, 八 c、0)仲 一 (a b 0, m 0)a a m记忆口诀“小者小，大者大解释:看b,若b小,则不等号是小于号，反之亦然.W.构造函数法构造单调函数实现放缩。例:f(a b) f(a b)。f(x) (x 0),从而实现利用函数单调性质的放缩: 1 x先求和再放缩例1.an ，前n项和为Sn ,求证：s； 1n (n 1)-1 n1例2. an (-),前n项和为Sn ,求证：sn 一 32先放缩再求和(一)放缩后裂项相消n 1 1一 ，一 a an ( 1) - 例3.数列an ,n ,其前(二)放缩后转化为等比数列。2例 4. bn满足：b1 1,bn1 bn(n(1)用数学归

4、纳法证明：bn n111Tn .3 b13b23b3n项和为sn ,求证:2)bn 313 bn ,求证：ns2n三、裂项放缩例5.(1)求n 2 的值 k i 4k2 1例6.(1)求证I1111 32铲(2)求证：1工工 4 1636求证：2(v'rT 1)例7.求证： 6n 1 1(n 1)(2n 1)4例8.已知a.4n 2；(2)求证：n 152k 1 k 31712 (n 2) (2n 1)2 6 2(2n 1)1114n2 24n1 11_ 2( 2n 1 1)2 J3n1159孑32,求证:T1 T2 T3T； |.a2a2四、分式放缩0,m 0)姐妹不等式：B 3(b

5、 a o,m 0)和B U a a ma a m记忆口诀”小者小，大者大”111(1 2)(14)0 6)(1工)1 也可以表示成为2n2n 12 4 6 2n 和 1 3 5(2n 1)1Y 2 n 1 .13 5(2n 1)2 4 6 2n 2n 1111例 10.证明：(1 1)(1 -)(1 -) (1 ) 33n47 3n 2五、均值不等式放缩1.例12.已知函数f(x)1bcbx1 a 2.nfn_1).求证 n(n-21)a>0,b>0,若f (1)sn(n 1)2-24,且f(x)在0, 1上的最大值为5求证：f(1) f (2) f(n) n £ 2.六

6、、二项式放缩2n (1 1)n C0 cnCn,2n Cn0 Cn例13.设n 1, n N ,求证(2尸8.3 (n 1)(n 2)例14. an 2 3n ,试证明：._0工工L 2二4n 2 a1a2an 4七、部分放缩(尾式放缩)例15.求证：工 13 13 2 1例16.设°1 1 工an 1 2T 3a八、函数放缩143 2n 1 174,a 2.求证：an 2. n例17.求证：ln2In 3In 4In 3nn-32343例18 .求证：2,In2In 3In n23n例19.求证：-1，、In(n 1) 123n 1九、借助数列递推关系例20.若a11, an 1

7、an n 1,求证：a】 a?5n 6*(n N ). 62n2 n 1 (n 2)2(n 1)-12nan2(. n 11)例21.求证：-H 1 3 522 42 4 613 5(2n 1)2 4 622n 2 1十、分类放缩解释:看b,若b小，则不等号是小于号，反之亦然. 例9.姐妹不等式ST(1小"和例 22.求证：1 1 1，Jn2 32n 12仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den persnlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l ' etude et la recherche uniquementd des fins personnelles; pasd des fins commerciales.t o Ji e k o AJiaj