动点最值基本模型

1、动点最值基本模型从合肥各区的模考卷来看，最值问题仍是2018中考第10或14题的热门。本文以瑶海蜀山庐阳二模卷中最值问题为例，对最值问进行简要分类和例析，欢迎指正。一、最值类型1 .饮马型：即将军饮马型，通常为两条线段之和的最值问题，利用对称性质将其中一条 线段进行转换，再利用两点之间线段最短（或三角形三边关系）得到结果。（本公众号有"解 题模型】将军饮马”）2 .小垂型：即小垂回家型，通常为一条线段的最值问题，即动点的轨迹为直线，禾I用垂 线段最短的性质得到结果。3 .穿心型：即一箭穿心型，通常为一条线段的最值问题，即动点的轨迹为圆或弧，利用 点与圆的位置关系得到结果。（本公众号有

2、“一箭穿心，圆来如此一文”）4 .转换型：即一加半型，通常为一条线段与另一条线段一半的和的最值问题，即将那半 条线段利用三角形中位线或 30。的对边等知识进行转换，再利用饮马或小垂或穿心。5 .三边型：即三角形三边关系关系型，通常利用两边之和大于第三边、两边之差小于第 三边求其最大（小）值。6 .结合型：即以上类型的综合运用，大多为饮马 +小垂【如包河一模 20题】【瑶海一模 第10题】、小垂+穿心【如庐阳二模第 10题】、饮马+穿心【如瑶海二模第 10题】饮马+转换 【如蜀山二模第10题】等二、分类例析一、饮马型例1:如图，在正方形 ABCD中，点E在CD上，CE=3, DE=1,点P在AC

3、上，贝U PE+PD 的最小值是.解析：如图例2:如图所示，正方形ABCD的面积为12, 4ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线 AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为 .例3:如图，在 RtABC中，/ C= 90° , AC= 8, BC= 6,点P是AB上的任意一点, 作PD, AC于点D, PE± CB于点E,连接DE,则DE的最小值为 .例4:如图，在边长为 4的菱形 ABCD中，Z ABC=120° , M是AD边的中点，N是AB 边上一动点，将4AMN沿MN翻折得到 A' MN ,连接A' C,则A C

4、长度的最小值是 .四、转换型例5:如图，P为菱形ABCD内一点，且P到A、B两点的距离相等， 若/ C=60° , CD=4, 则的最小值为解析：因为P到A、B两点的距离相等， 所以P在AB的垂直平分线上， 又因菱形ABCD 中/ C为60° ,所以 ABD为等边三角形，AB的垂直平分线经过点 D,如下图由/ADP=30度，可将PD的一半进行转换，即过点 P作AD的垂线。如图，即B、P、F三点共线，且 BF± AD时最短此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除本文档可自行编辑和修改内容，感谢您的支持5五、三边型例6:如图，/ MON=90° ,矩形

5、ABCD的顶点 A、B分别在边OM , ON上，当B在边 ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形 ABCD的形状保持不变，其中 AB=2, BC=1,运 动过程中，点D到点O的最大距离为 ODE中，DE为定解析：如下图因为 AB为定长，所以取其中点 E,则OE为定值，在4 值，OE为定值，根据三角形三边关系即可得到OD的最大值。例 7:如图，已知 ABC 中，/ ACB=90° , BC=4, AC=8,点 D 在 AC 上，且 AD=6,将 线段AD绕点A旋转至AD', F为BD'的中点，连结 CF,则线段CF的取值范围.解析:解法一：瓜豆原理，点 F的轨迹为圆，

6、一箭穿心便可以求出其取值范围。解法二：如下图，取 AB的中点M,连接FM,CM,由斜边上的中线等于斜边的一半得例8:如图，BA=1, BC=2以AC为一边做正方形 AEDC使E, B两点落在直线 AC的 两侧，当/ ABC变化时，求BE的最大值.解析：将 AEB以点A中心顺时针旋转90° ,得到 ACB',如下图所示，连接 BB',所 以B' C=BE,在ABB' C中，BB'为定值，BC为定值，三角形三边关系即可得到 B' C的最 大值，即BE的值.6.结合型例9:如图，正方形 ABCD中，AB=4, E为CD边的中点，F、G为AB、

7、AD边上的点，且 AF=2GD,连接E、DF相交于点 巳 当AP为最小值时，DG=解析：由 AF=2GD, AD=2DE,得 AFA DGE如下图GE± DF,那么线段AP中，A点为定点，P为动点，由/ DPE为直角，所以P的轨迹为 一以DE中点为圆心的一段弧。如下图由一箭穿心可得到 AP的最小值为 A,PM三点共线，而此时，由 DMPs FAP可得至I AP=AF即可得到结果.川G DAG D三、模考分析【庐阳二模第10题】如图，在平面直角坐标系中，A(6,0),B(0,8)，点C在y轴正半轴上，点D在x的正半轴上，且 CD=6,以CD为直径在第一象限作半圆，交线段 AB于点E、F

8、,则 线段EF的最大值为 如图，在平面直角坐标系中，A(6,0),B(0,8)，点C在y轴正半轴上，点D在x的正半轴上，且 CD=6,以CD为直径在第一象限作半圆，交线段 AB于点E、F,则 线段EF的最大值为解析：线段EF由于半圆的变化而变化，所以应将其作为弦的变化来看，而弦长又与弦 心距存在变量之间的关系，所以首先作出弦心距.如下动图，所以当 PQ最小时，EF最大。方法一：穿心+小垂(P点为以。点圆心，OP为半径的弧上)求出 OQ的最值，即PQ 的最小值，再由勾股定理和垂径定理可求得EF.方法二：三边+ 小垂（三角形 OPQ）求出OQ的最值【矍山二模第10点】如图，在平面直角坐标系中，抛物

9、线尸工一丁+2志工的顶点为A照且与天融的正半轴交于点B：P点为该掘均线H称轴上一点, 则M鼻的最小值为.乜北比字解析：由抛物线解析式可求出点 A、B的坐标分别为，所以/ OAP=30。，如下图问题是。P+LaP.转换型最值， 2即过P点作PD_LOa于点D,【饮马+小童】即。尸尸= QP+FD=刀产+ FQ 26【瑶海二模第10题】如图，矩形 ABCD中，AB=2,AD=3点E,F分别为AD,DC边上的点, 且EF=2点G为EF的中点，点 P为BC上一动点.则PA+PG的最小值为（）A.3B.4C.2V 5D.5解析：因为G为EF的中点，EF=2,所以点G的轨迹为以D为圆心DG为半径的弧，【饮 马+穿心】即 A', P, G, D四点共线时，PA+PGtM小（PA+PG=PA +PG+DG【练习1】如图，已知圆 。的半径为1