解析几何重点题型归纳

1、解析几何重点题型归纳1、设函数f (x)x3 3x 2分别在x1、x2处取得极小值、极大值 .xoy平面上点 A B的ulu uuu坐标分别为(x1,f(x1)、(x2,f(x2),该平面上动点 P满足PA?PB 4,点Q是点P关于直线y 2(x 4)的对称点.求(I) 求点A、B的坐标； (II)求动点Q的轨迹方程.2、在直角坐标系 xOy中，以O为圆心的圆与直线 x %；3y 4相切.(I)求圆O的方程；(n)圆O与x轴相交于A B两点，圆内的动点P使| PA、| PQ、| PB成等比数列，求PA、pB的取值范围.3、已知，点在轴上，点在轴的正半轴，点在直线上，且满足，(I)当点在轴上移动

2、时，求动点的轨迹方程；(n)过的直线与轨迹交于、两点，又过、作轨迹的切线、，当，求直线的方程4、已知抛物线c： x2 2py p 0的焦点为F, A、B是抛物线C上异于坐标原点。的不同两点，抛物线 C在点A、B处的切线分别为11、l2,且1112, 11与l2相交于点D.(1) 求点D的纵坐标；(2)证明：A、B、F三点共线；3(3) 假设点D的坐标为 3, 1 ,问是否存在经过 A、B两点且与11、l2都相切的圆，2若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由225、已知椭圆C : xy 4 1(a b 0)的离心率为,过右焦点F的直线l与C相交于 a2 b23_A、B两点，当l的斜率为1时

3、，坐标原点。至M的距离为 近2(I )求a , b的值；uuu uuu uur(II ) C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时，有 OP OA OB成立?若存在，求出所有的 P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。6、双曲线的中心为原点 O,焦点在x轴上，两条渐近线分别为11, 12,经过右焦点F垂直uur uju uur于li的直线分别交11,12于A, B两点.已知 OA、AB、OB成等差数列，且uuui uuuBF与FA同向.(I)求双曲线的离心率；(n)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.7、设椭圆中心在坐标原点，A(2Q), B(0,1)是它的两个顶点，直线y

4、 kx(k 0)与AB相交于点D,与椭圆相交于 E、F两点.UUrUJLT(I)若ED 6DF ,求k的值；(n )求四边形 AEBF面积的最大值.8、如图，已知抛物线 E:y2 x与圆M:(x 4)2 y2 r2(r 0)相交于A、B、C、D四个点°(I )求r得取值范围；(II )当四边形 ABCD的面积最大时，求对角线 AC、BD的交点P坐标。2 29、已知椭圆 L 1的左、右焦点分别为 F1, F2 .过F1的直线交椭圆于 B, D两点，3 2过F2的直线交椭圆于 A, C两点，且 AC BD,垂足为P .2 2(I)设P点的坐标为(x0, y0),证明：区近1;3 2(n)

5、求四边形 ABCD的面积的最小值.解析几何重点题型归纳【答案】1、解：(I )令 f (x) ( x3 3x 2)3x2 3 0 解得 x 1或x1当 x 1 时，f (x) 0,当 1 x 1 时，f (x) 0，当 x 1 时，f (x) 0所以，函数在x 1处取得极小值，在 x 1取得极大值，故x11,x2 1, f( 1) 0, f(1) 4 所以，点 A、B 的坐标为 A( 1,0), B(1,4).(n)设 p(m,n), Q(x,y), PA?PB 1 m, n ? 1 m,4 nm2 1 n2 4n 42X1，1 一kPQ一,所以22消去m,n得x 81,又PQ的中点在y 2(

6、x 4)上，所以_y 2222 2 92、解：(I )依题设,圆O的半径r等于原点O到直线x J3y 4的距离，即r3、得圆。的方程为X2y24.(n)不妨设 A(x1,0), B(x2,0),x1 x2.由 x2 4 即得 A(2, 设P(x, y),由|PA、|PO、|PB成等比数列，得,(x 2)2 y2.(x-2)2y2即PA PB(2 x,由此得:2(y y2<1y) (2 x,2y1).所以B(2, 0)2.y)内于点P在圆。内做PA PB的取值范围为2X2X2,0).(I) 由 即， 得解:得设，则.8分10分(n)显然直线的斜率存在，设直线的方程为：设, 因为，故两切线的

7、斜率分别为由方程组 得所以 当时，所以 所以，直线的方程是4、(1)解：设点A、B的坐标分别为11、12分别是抛物线C在点A、X,y1 、 X2,y2 ,B处的切线，直线1i的斜率k1yXiXi -12, 1-k1k21,p得 X1 X2直线12的斜率k2A、B是抛物线C上的点，2 p2.2X1y1,y22p直线11的方程为2X2pX1,直线12的方程为y2X22p2X22pX2X2PX2 .2y瓦由 2p2X2y 2pX1(2)证法1X2P解得X1 x2.点D的纵坐标为F为抛物线C的焦点,0,f直线AF的斜率为kAFy12X102Xi2PXi2px1直线BF的斜率为kBFy2X2kAFkBF

8、22XiP22X2P2X2 P2p -2X22X> Xi22X2p2pX2222PXi X2PkAFkBF证法2: uur AF2pxiX1X2 Xi2pX22X2PXiX22 Pxi X2A、 B、 F三点共线.F为抛物线C的焦点,Xi，22 K 2pXi,- 2P2Xi2Xi2Xi2X22X1X2Xi2XiX2X2证法3 ：设线段AB的中点为E ,则l：y输作AA, l,BBi l ,垂足分别为Ai, B1.由（1）知点D的坐标为也也2XiX2 DE是直角梯形AA1B1B的中位线根据抛物线的定义得 AD即AB解:2pX1X222p X1 X2p X1 X2uuur BFuuur2 p

9、XjX,0.X卫 X2,22X22PX2,2X2AF / BF . A、B、F三点共线.E的坐标为Q2 yLJ2 .抛物线2 , 2:AA AF , BB1DB, E为线段AB的中点，.AF不存在.依题意得MABF .证明如下：AD, MB由 11 l2,得 AD BD .四边形MADB是正方形点D的坐标为DEC的准线为BB1 .BF , DE131AA |bbAF BF .1 ,1 DE - AB . . 一 AB22A、B、F三点共线.假设存在符合题意的圆，设该圆的圆心为BD ,且 MAAFBFADBD .1,得 p 2.把点D 3, 12的坐标代入直线11,/一 X2Xi得1 -42解得

10、X14或X111 ,，点A的坐标为4,4或 1,.1同理可求得点B的坐标为 4,4或 1,j .由于A、11,1 , B 4,4 .4AD. ADB是抛物线C上的不同两点，不妨令BD ,这与ADBDBD矛盾.，经过A、B两点且与11、12都相切的圆不存在.5、解：（I)设 F(c,0)2y c 0,由坐标原点O到l的距离为2|0 0 c、2, cc 1.又 e 一（II ）由（I ）知椭圆的方程为2C: 3a2y21 .设 A(x1, y1)、B 施 y2)由题意知1的斜率为一定不为 0,故不妨设l : x my 1代入椭圆的方程中整理得2 一.2(2 m 3)y 4my 4 0,显然0。由韦

11、达定理有：y1.假设存在点P,使y2 uuu OPuui4m，y1y2 muur342,2m 3OA OB成立，则其充要条件为:点P的坐标为（x1X2, y1y2），点P在椭圆上,(x1 x2)2(y1 y2)2整理得2为2又A、B 在c 23 y1椭2x22圆23y2 4x1x2 6 yly2即2x126。3y126,2x223y22 6432x1x2 3yly2 3将 xx2 (my11)(my2 1)2/m y1y2 m(y12y2） 1及代入解得 m24my1y2,x1、2i3m 时，P( 一 , 222132一时,P(一, l),l : x22 2x2= 2m,2-2-),l :x-

12、2万y 1.32Ty所谓“算”，主要讲的是算评析：处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够。理和算法。算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质。有时算理和算法并不是截然区分的。例如:222m (m d)三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分 来算？在具体处理时，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入 点O6、解：（i）设OA m d , AB m, OB m d由勾股定理可得：（m d）/曰 1bAB得：d m, tan AOF tan AOB tan 2 AOF 4aO

13、A由倍角公式2b a 21 p a1 、一 一,则离心率 2(n)过F直线方程为yb(xc),与双曲线方程24 1 联立，将a 2b, c J5b b215 c代入，化简有5x2 4b28 5xb21 0,21 a(x1 %)2 4x1x2b将数值代入，有2 x367、(I)解：依题设得椭圆的方程为直线AB, EF的方程分别为x 2y 如图，设 D(%, kxo), E(x1, kx1), 其中x1 x2,且X, x2满足方程(1xix224 ,4k2)x21 b32 J5b515故 x2x12uur uur由ED 6DF知1 4k2X xi6(x2%),得方1亍(6x25xi) 7x2_10

14、_71 4k22由D在AB上知xo 2kxo 2,得x0 1 2k.所以22k_10_ 71 4k22.2化简得24k2 25k 6 0 , 解得k 一或k3(n)解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点hi|xi 2kxi 22(1 2k Ji4k2)5(1 4k2)，h2x22 kx25E,2F到AB的距离分别为2(1 2k 1 4k2)5(1 4k2)AB 7221 J5 ,所以四边形AEBF的面积为又1当2k 1,即当k 时，上式取等号.所以 22(1_2k)J 4k21 4k2 4k1 4k2S的最大值为202 . 12分解法二：由题设，BO 1, AO 2 .设y1kx，y2kx2

15、,由得 x2 0 , y2y10 ,故四边形AEBF的面积为SSzX BEFSAAEFx22 y2二(x2 2y2)2当x22 y2时，上式取等号.所以S的最大值为M 4y2 4x2y2 Wj2(x； 4y2)2近2 212分8、分析：(I)这一问学生易下手。将抛物线E: y2 x与圆M :(x 4)2 y2 r2(r 0)的方程联 立，消去y2 ,整理得x2 7x 16 r2 0 . . . ( *)抛物线E:y2 x与圆 222 .M :(x 4) y r (r 0)相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：万程(*)有两个15不相等的正根即可.易得r (,4).考生利用数形结合及函数和方程

16、的思想来处理也可2以.(II )考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代 入的方法处理本小题是一个较好的切入点.设四个交点的坐标分别为 A(X1,")、B(X1, 历、C(x2, JX2)、D(x2,JX2)。则由(I )根据韦达定理有X1x27, X1X2 16 r , r (-, 4)1., 一 一、2 2 | X2X1 | ( X1, X2 )| X2 X1 | (. X1X2 )S22(X X2)4X1X2KX X22 X1x2) (7 2,16 r2)(4r2 15)令,16 r2 t,则 S2 (7 2t)2(7 2t)卜面求S2的最大值。

17、方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。S2 (7 2t)2(7 2t) 1(7 2t)(7 2t)(14 4t)-(7 2t 7 2t 14 4t22当且仅当7 2t 14 4t,即t 7时取最大值。经检验此时6方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略。,4)满足题意。)3 I 号)3卜面来处理点P的坐标。设点P的坐标为:由A、P、C三点共线，则X1X2XiP(Xp,0)-得 Xp vxxXP7，、一 八一。以下略。69、证明：(I )椭圆的半焦距的圆上，故2Xo2.yo 1,所以,C2X23BD的斜率k存在且1 ,2 Xo20时,2-1, 2并化简得(3k22)x2 6k2x3k2Xi X26k2，X1X23k 2由AC ± BD知点y2122P在以线段F1F2为直径BD的方程为y k(x 1)