数轴上的动点问题专题讲义设计(自编版)

1、数轴上的动点问题 专题讲义设计（自编版）数轴上的动点问题讲义一.动点问 题的处理方法“点-线-式”三步二.动点问题的解题步骤1 .列点：将已知点用具体的数表示，未知动点用含t的式子表示点的左右移动：数轴上的点向 左移动用减法，移动几个单位长度就 减去几，向右移动用加法，移动几个单位长度就 加上几。点的表示：通常用含 t的式子表示数轴上的动点，可以根据动点的位置、速度和移动的方向将点表示出来。例题1: 如图，数轴上点 A表示的数为-3,点B表示的数为6,动点P从A出发向右运动，速度 2为每秒个单位长度，动点 Q从B出发向左运动，速度为每秒 3个单位长度，t秒后，求动点P、Q表示的数。P QAB2

2、 .列线：利用两点间距离的表示方法将线段用具体的数或式子表示出来数轴上两点之间的距离三种表示方式：如果两个点所表示的数的大小已知，直接用较大的数减去较小的数；如果两个点所表示的数的大小未知，则用两个数的差的绝对值表示；动点的起始点和终止点之间的线段可以用动点所走的路程表示。例题2:数轴上点A表示的数为-3,点B表示的数为6,动点P从A出发向右运动，速度为每秒 2个单位 长度，动点Q从B出发向左运动，速度为每秒 3个单位长度，t秒后，求线段 AR AQ BR PQ AR BQ的长。3 .列式：解决数轴上的动点问题的一个重要方法就是方程法，可以根据题目中的线段之间的数量关系，列出方程并解方程例题3

3、:已知数轴上A、B两点对应数分别为-2和4, P为数轴上一点，对应的数为 X。若点P到A B两 点的距离相等，求点 P对应的数。三、动点问题的常用工具1 .中点公式：如图，数轴上 A点表示的数为a, B点表示的数为b, C点表示的数为c,且B为A、C中点,a c贝U b= 22 .解绝对值方程：|a|=b ,则 a=±b|a|=|b| ,则 a=±b|x-a|+|x-b|=c（零点分段法）3 .分类讨论思想：例题4:已知数轴上两点 A、B对应的数分别为-3、5, P为数轴上的动点，其对应的数为 X。数轴上是否存 在点P,使得点P到A、B的距离之和为10,若存在，请求出x的值

4、；若不存在，请说明理由。-1 - / 20数轴上的动点问题 专题讲义设计（自编版）四、动点问题的常见题型1.点的重合问题：通常是相遇与追击问题，通过点的运动状态可以判断出两个动点重合，重合则两个点表示的数相等，将两个动点用含t的式子表示出来，并令两个式子相等。例题5 :已知数轴上有 A, B, C三点，分别代表-30, -10, 10,两只电子蚂蚁甲，乙分别从 A, C两点同 时相向而行，甲的速度为 4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒.(1)甲，乙在数轴上的哪个点相遇？(2)多少秒后，甲到 A, B, C的距离和为48个单位？(3)在甲到A B、C的距离和为48个单位时，若甲调头并保持速度不

5、变，则甲，乙还能在数轴上相遇吗？ 若能，求出相遇点；若不能，请说明理由.-30-10010L夙一，-30-10010备用图2.中点问题：题目中明确说明其中一个点为另外两个点的中点，如：A、日C三点，点A是点日C的中点，直接利用中点公式列方程题目中说三个点有一个点是另外两个点的中点，如：A、B、C三点，有一点是另外两个点的中点，分三种情况进行讨论，然后利用中点公式列方程例题6 :如图，数轴原点为 O, A、B是数轴上的两点，点 A对应的数是1,点B对应的数是-4,动点P、Q 同时从A、B出发，分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t>0）. *.#&g

6、t;_4 -3-2-1012345x（1） AB两点间的距离是 ;动点P对应的数是 （用含t的代数式表示）；动点 Q对应的数是 （用含t的代数式表示）.（2）几秒后，点 O恰好为线段PQ中点？（3）几秒后，恰好有 OQ=2PO3、线段长及线段的和、差、倍、比关系问题解题思路：题目中通常会说点与点之间的距离，即线段的长度，条件中会给出两条线段的和、差、倍数、或比例关系，先将题目中的线段用两点间的距离表示出来，然后根据具体的关系列方程，当动点之间的位置无法确定时，通常用绝对值来表示线段长度。(1)线段之长问题(线段之和问题、线段之比问题、线段倍数问题、线段相等问题)例题7:如图，已知数轴上有 A

7、B C三个点，它们表示的数分别是 a、b和8,0是原点，且(a+20)2+|b+10|=0(1) 填空： a=, b=;(2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点 B和C分别以每秒3个单位长度和7个单位长 度的速度向右运动.设运动时间为 t ,用含t的代数式表示 BC和AB的长；并探索：BC- AB的值是否随着 时间t的变化而变化？请说明理由.(3)现有动点P、Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点 C移动；当点P移动到B点时, 点Q才从A点出发，并以每秒 3个单位长度的速度向右移动，且当点 P到达C点时，点Q就停止移动，设 点P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，点

8、Q追上点P;当t为多少时，P、Q两点相距6个单位长度？ IIB NAB0C-5 - / 20数轴上的动点问题 专题讲义设计（自编版）4.线段定值问题：题目中给出几条线段的关系，要求判断其是否为定值，先将所给线段都用两点间的距离表示出来，然后再将题目中所给的式子用线段表示出来，化简之后可以将t消去，所得值为常数，因此可以确定是定值。例题8:如图，在数轴上A点表示数a, B点表示数b, C点表示数c,b是最小的正整数，且a、c满足|a+2|+ (c-6) 2=0.若点A与点B之间的距离表示为 AB,点A与点C之间的距离表示为 AC,点B与点C之间的距离表示为 BC.A 8C111>(1) a

9、=, b=, c=;(2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点 B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位 长度的速度向右运动，设运动时间为t秒.当 t=1 时，则 AC=, AB=;当 t=2 时，则 AC=, AB=;请问在运动过程中，3AC-4AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求 其值.动点问题练习1 .如图，直线l上有AB两点，AB=12cm点O是线段 AB上的一点，OA=2OB(1) OA=cm OB=cm；(2)若点C是线段AB上一点，且满足 AC=CO+CB求CO的长；(3)若动点P, Q分别从A, B同时出发，向右运动，点P的速度为2c

10、m/s,点Q的速度为1cm/s .设运动时间为ts ,当点P与点Q重合时，P, Q两点停止运动.当t为何值时，2OP- OQ=4当点P经过点。时，动点M从点O出发，以3cm/s的速度也向右运动.当点 M追上点Q后立即返回，以3cm/s的速度向点P运动，遇到点 P后再立即返回，以 3cm/s的速度向点 Q运动，如此往返，直到点 P, Q 停止时，点M也停止运动.在此过程中，点M行驶的总路程是多少？rh ，IJOB2.如图，将一条数轴在原点 。和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”.图中点 A表示-11,点B表示 10,点C表示18,我们称点A和点C在数轴上相距29个长度单位.动点 P从点A出发，

11、以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点。运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点。期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.设运动的时间为 t秒.IS问：(1)动点P从点A运动至C点需要多少时间?(2) P、Q两点相遇时，求出相遇点 M所对应的数是多少;(3)求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与 Q B两点在数轴上相距的长度相等.3.如图，点。为原点，A、B为数轴上两点， AB=15,且OA OB=2(1) A、B对应的数分别为、;(2)点A B分别以4个单位/秒和3个单位/秒的

12、速度相向而行，则几秒后A、B相距1个单位长度？(3)点A、B以(2)中的速度同时向右运动，点P从原点。以7个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m使得4AP+3OB- mOP为定值，若存在请求出 m值以及这个定值；若不存在，请说明理由. >R0 B4 .如图，已知数轴上点 A表示的数为7,点B表示的数为-5,点P从点A出发，沿数轴以每秒 3个单位长 度的速度向左匀速运动，同时，另一点 Q从原点O出发，也沿数轴以每秒 1个单位长度的速度向左匀速运 动，设运动时间为 t秒(t >0).BH0 1-507 '(1)线段AB的长度为 ,数轴上点P和点Q表示的数分别为 、 (用含t的

13、代数式表示)；(2)在点P和点Q的运动过程中，经过多少秒点P追上点Q?经过多少秒点 B恰为PQ的中点？(3)运动过程中，若时间 t总满足|t+7| - |5 -t|=12 ,则t的范围是.5 .已知式子 M= (a+5) x3+7x2-2x+5是关于x的二次多项式，且二次多项式系数为b,数轴上A、B两点所对应的数分别是 a和b.(1)贝U a=, b=. A、B两点之间的距离 =;(2)有一动点P从点A出发第一次向左运动 1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动 2个单 位长度，在此位置第三次运动，向左运动 3个单位长度按照如此规律不断地左右运动，当运动到2015次时，求点P所对应的有

14、理数.(3)在(2)的条件下，点 P会不会在某次运动时恰好到达某一位置，使点 P到点B的距离是点P到点A 的距离的3倍？若可能请求出此时点 P的位置，并直接指出是第几次运动，若不可能请说明理由.>A 0J于6 .已知 a、b 满足(a-2) 2+|ab+6|=0 , c=2a+3b.(1) 直接写出 a、 b c 的值：a=, b=, c=.(2)若有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C,点A与点B之间的距离表示为AB,点B与点C之间的距离表示为 BC如果数轴上有一点 N到点A的距离AN=AB- BC,请直接写出点 N所表示的数；(3)在(2)的条件下，点 A、B、C在数轴上运

15、动,若点 C以每秒1个单位的速度向左运动，同时点 A和点B分别以每秒3个单位和每秒2个单位的速度向右运动.试问：是否存在一个常数m使得m?AB- 2BC不随运动时间t的改变而改变.若存在，请求出m和这个不变化的值；若不存在，请说明理由.L5-4 -3 -2 -1 61 2 3 4 57 .如图，在数轴上点AB、C表示的数分别为-2、1、6,点A与点B之间的距离表示为AR点B与点C之间的距离表示为 BC点A与点C之间的距离表示为 AC.一 ” -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7(1)请直接写出 AB BG AC的长度；(2)若点D从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，

16、点E从B点出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，点F从C点出发以每秒5个单位长度的速度向右运动.设点 D E、F同时出发，运动时间为 t 秒，试探索：EF- DE的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由.(3)若点M以每秒4个单位的速度从 A点出发，点N以每秒3个单位的速度运动从 C点出发，设点 M N 同时出发，运动时间为 t秒，试探究：经过多少秒后，点 M N两点间的距离为14个单位。8.已知数轴上有 A B、C三点，分别表示有理数-26, -10, 10,动点P从A出发，以每秒1个单位的速度 向终点C移动，设点P移动时间为t秒.(1)用含t的代数式表示 P到点A和点C的距离：PA=,

17、PC=r(2)当点P运动到B点时，点Q从A出发，以每秒3个单位的速度向 C点运动，Q点到达C点后，再立即 以同样的速度返回点 A,在点Q开始运动后，P,Q两点之间的距离能否为 2个单位长度？如果能，请求出 t 的值和此时P表示的数；如果不能，写明理由。.4 P BC -2640010-9 - / 20数轴上的动点问题 专题讲义设计（自编版）9.已知数轴上两点A B对应的数分别为-1、3,点P是数轴上一动点，P所对应的数为x(1)若点P到点A,点B的距离相等，则点 P对应的数为;(2)数轴上是否存在点 P,使点P到点A、点B的距离之和为6?若存在，请求出x的值。若不存在，请 说明理由？(3)当x

18、为何值时，点P到A的距离等于点P到B的距离的2倍(4)当x=2时，点A以1个单位每秒的速度向左运动，同时B以2个单位每秒的速度向右运动，问多长时间后P到点A,点B的距离相等(5)当点P以每分钟5个单位长度的速度从 O点向右运动时，点 A以每分钟3个单位长度的速度向右运动，点B以每分钟2个单位长度的速度向右运动，问几分钟时点 P到点A,点B的距离相等。10 .如图1,已知数轴上有三点 A B C, AC=2AB点A对应的数是 400.I . ,._cB AcB A (1)若AB=600,求点C到原点的距离；(2)在(1)的条件下，动点P、Q分别从C、A同时出发，其中P、Q向右运动，R向左运动如图

19、2,已知点Q的速度是点R速度2倍少5个单位长度/秒，点P的速度是点R的速度的3倍，经过20秒，点P、Q之 间的距离与点 Q R的距离相等，求动点 Q的速度.(3)在(1)的条件下，O表示原点，动点P、T、R分别从C。A出发，其中P、T向左运动，R向右运动如图，点P、T、R分别为20个单位长度/秒、4个单位长度/秒、10个单位长度/秒，在运动过程中，如PR OT果点M为线段PT的中点，点N为线段OR勺中点，那么PR OT的值是否发生变化?若不变，求其值；若MN变化，说明理由。11 . 一次数学课上，小明同学给小刚同学出了一道数形结合的综合题，他是这样出的：如图，数轴上两个动点M, N开始时所表示

20、的数分别为 -10, 5, M, N两点各自以一定的速度在数轴上运动，且 M点的运动 速度为2个单位长度/s .111>-1005(1) M, N两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求 N点的运动速度.(2) M, N两点按上面的各自速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距6个单位长度？(3) M, N两点按上面的各自速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发沿同方向运动，且在运动过程中，始终有 CN: CM=1 2.若干秒后，C点在-12处，求此时N点在数轴上的位置.12.点A、B C、D在数轴上的位置如图 1 所示，已知 AB=3, BC=2 CD=4.(1)若点C为原点，则点 A表示的数是(2)若点 A> B C D 分别表示有理数 a , b, c, d,则