数学模型--投掷标枪

1、实用文档数学建模课程设计报告标枪投掷模型学院 专业学号 姓名指导教师 成绩教师评语:指导教师签字:2014年7月16日标准文案实用文档1.1 课题的背景标枪是田径运动的投掷项目之一，对核心力量与大腿手臂力量要求严格， 但是实际上， 标球运动并不是一项只靠身体素质就能取得好成绩的运动，除了与选手的比赛状态有关 外，还与选手所采用的技术有关。而本次我们就来研究一下在确定的力量与身高下求最佳 的出手角度。进而再研究通过一定的训练使力量增加， 研究力量与出手角度和距离的关系。建立标枪掷远模型。不考虑阻力，设标枪初速度为，出手高度为h,出手角度为 (与 地面夹角)，建立投掷距离与，h,的关系式，计算在确

2、定的 ，h下，计算最佳出手角 度，进而研究出手速度与出手角度的关系。1.2 预备知识上述问题是最优化问题，首先应该考虑投掷距离与初速度、出手高度和出手角度之间 的关系，这个需要用到一定的物理知识：抛体运动的水平位移和竖直位移的计算方法。在 得到这个关系后，进而转化为初速度、出手高度一定的情况下，求解最佳出手角度。2计算机工具简介MATLA区有非常丰富的图像表达功能，它提供了丰富的作图命令，利用它们可以容易 地画出各种函数的二维或三维曲线图形，可以方便地实现数学计算的结果可视化，从中学 握函数的性质和变化趋势，从而求出模型的最优解。本模型将首先计算出虑投掷距离与初 速度、出手高度和出手角度之间的

3、函数关系式，接着在初速度、出手高度一定的情况下， 找出投掷距离与出手角度之间的关系。然后给出一组具体的初速度和出手高度，利用 MATLA睇图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系图，从曲线中掌握函数的变化趋势，最 终求出最优解。再对出手角度与出手速度都未知求它们与最远距离的关系，以及出手角度 与出手速度的对最远距离的影响关系。3模型的假设3.1 模型假设(1) 标枪运行的过程中没有任何阻力；(2)可以将标枪看作一个质点；标准文案实用文档(3)投射角度与投射初速度是两个相互独立的量；(4)设当地的重力加速度为g,且取值为9.8m/s,并在投掷的任意点都相等；(5)标枪运动轨迹在同一平面内，且地面处处

4、水平。(6)不考虑标枪的旋转。3.2 符号说明:标枪初速度；Vx： 在水平方向上的分量；Vy ： 在竖直方向上的分量；g :重力加速度；h：投射高度；:出手角度；t：标枪运行的时间；x：标枪在水平方向的位移(即为投掷距离)；y :标枪在竖直方向的位移。4模型的建立与求解一、在确定的，h下计算最佳出手角度由题目所示，再根据物理知识可得，标枪投掷轨迹为一抛物线，且初速度和出手高度h一定，因此可以建立一个平面直角坐标系，分别对水平和竖直两个方向进行分析，标 枪投掷出去后，它在水平方向作匀速直线运动，在竖直方向受重力影响作竖直上抛运动， 加速度为g o所以标枪的运动轨迹为两个运动的叠加，图像如图1所示

5、。标准文案图4.1标枪投掷轨迹图出手时的速度可以分解为:水平方向:cos垂直方向:sin则有水平位移和竖直位移分别为:cossin1. 23 gtg2 222 costan x h令方程中的y为0,有:Xi2 sin 22g2sin22g)2 2 2hcos2X22 sin 22sin2 (2g)2 2 2 h cos2舍去负根，有:取 h=1.8m,=10m/s,利用2 sin 22g（寄2 2 2hcos2MATLA肺图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系图。a = 0:0.01:1.57 x = (25.*sin(2*a)./19.6 + sqrt(25.*sin(2*a)./19.6).

6、*(25.*sin(2*a)./19.6)+ (360*(cos(a).*(cos(a)./9.8)plot(a, x)title('标枪投掷距离与出手角度的关系')xlabel('出手角度)ylabel('投掷距离)grid结果如图4.2所示：修恰Ft网由*工的"的图4.2标枪投掷距离与出手角度的关系图/Ms.%由图可知，最大值的坐标为(0.40, 6.50 )。研究不同的出手速度下最佳的出手角度当v和h一定时，研究v的变化对出手角度 的影响。X便为关于的函数，即:x(/ 、2sin2x( ) 2g求一阶导数为:2 cos2,41 v sin2 co

7、s22( 2sin2 )22g)22v2hsin22 2hcos22 sin 22g)212 2hcos22令x(1544广cos 224gh cos2(4gh 24g2h216gh 2)cos32( 4g2h2015 416gh 2)cos2 2解得:1=一 arccos2gh,2gh v所以在给定出手高度，对于不同的出手速度,1=一 arccos 2gh,2gh v为最佳出手角度。将上式代入x()sin2 1 2 sin2 2 2 2hcos2 寸 '( 2g ) g中，得:xmax2 2ghgMatlab 命令:1.在给定出手速度V下要达到最大射程时对应的角度函数文件：funct

8、ion f=fun_sv(v)f=0.5*acos(1.8*9.8/(1.8*9.8+v*v)/pi*180;绘出图像：fplot('fun_sv',0,100);xlabel('速度 V m/s');ylabel('角度')；title('v不同得到最大投掷距离时对应的角度曲线);axis(0 50 0 60);结果如图4.3所示:图4.3出手速度不同时得到最大投掷距离对应的角度曲线5模型结果5.1 模型的评价标枪的投掷模型在运动员训练比赛中经常能够遇到，在运动员身体条件大致相当的情 况下，该模型具有一定的参考价值结合实际情况对问题进行

9、求解，使得模型具有很好的通 用性和推广性，而且模型的最终计算方法简便，计算过程简单，最终得到结果与理论基本 相符。但是由于条件限制，本模型考虑得是标枪在没有任何阻力的情况下，而实际情况中 都会有一定的阻力。此外，标枪投掷的距离由很多因素决定，重力加速度也会随地域的不 同而变化。我们建立的模型只是简单地研究了这个问题，比起实际问题的复杂程度，有很 多因素没有考虑到。5.2 模型的推广本模型不仅可以用于标枪投掷问题，还可以推广到其他运动中。运用该模型的目的 就是确定出手角度和最大投掷距离。止匕外，还可以根据此来引导运动员的一些运动习惯， 从而在训练和比赛中队运动员和教练有一定的理论指导意义。结 论

10、标枪运动作为一个传统的比赛项目，对增强体质，特别是发展躯干和上下肢力量有显 著的作用。如何能够在比赛中取得更好的成绩， 是个困扰很多运动员和教练的问题。 因此, 能够通过数学模型的知识解决这个问题是很有意义的。本模型首先建立了铅球投掷的轨迹图，然后根据物理知识，把该运动分为水平和竖直 两个方向来考虑，计算出虑投掷距离与初速度、出手高度和出手角度之间的函数关系式， 接着在初速度、出手高度一定的情况下，找出投掷距离与出手角度之间的关系。然后给出 一组具体的初速度和出手高度，利用 MATLAB乍图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系 图，从曲线中掌握函数的变化趋势，最终求出最优解。得到结论是：在h=1.8m,=10m/s时，出手的角度约为0.40 （约为23度），投掷距离约为6.5m。当出手角度为 =1arccosgh时，标枪投得最远。由图4.3得，不同的出手速度对 2 gh v应不同的最佳角度，速度不断增加的时候，角