二次曲线上的四点共圆问题的完整结论

1、二次曲线上的四点共圆问题的完整结论百年前，著名教材坐标几何(Loney著)中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是2 2这四点的离心角之和为周角的整数倍(椭圆 笃 =1(a 0,b 0)上任一点A的坐标可a2 b2以表示为(acosbsinr)(r R)，角二就叫做点A的离心角)，证明方法十分巧妙，还要运用高次方程的韦达定理这一条件是否充分，一直是悬案在20世纪80年代编写数学题解 辞典(平面解析几何)时，仍未解决到20世纪年代初编写中学数学范例点评时，才证 明了此条件的充分性.1,22016年高考四川卷文科第 20题，2011年高考全国大纲卷理科第21题，2005年高考湖北卷理科第21题(也即

2、文科第22题)及2002年高考江苏、广东卷第20题都是关于二次曲线 上四点共圆的问题(见文献3,4).笔者曾由2005年的这道高考题得出了二次曲线上四点共 圆的一个简洁充要条件(其证明也很简洁但有技巧)：若两条直线 h : y -y0 = K (x -x0)(i = 1,2) 与二次 曲线2 2-:ax by cx dy 0(-= b)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是k1 k0.文献2还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周 角的整数倍” 文献5用较长的篇幅得出了下面的两个结论(即原文末的命题7、8):结论1抛物线y2=2px的内接四边形同时内接于圆的充要条

3、件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补结论2圆锥曲线 mx2 ny2 =1(mn =0,m= n)的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补请注意，文献5中所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确但不够完整，本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论4.定理 1 若两条二次曲线 ax2 by2 cx dy e =0(a = b)，a x2 b y2 cx d y e = 0有四个交点，则这四个交点共圆 .证明 过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式(,不同时为0): (ax

4、2 by2 cx dy e)订二(a x2 b y2 cx d y e) = 0式左边的展开式中不含xy的项，选'-1时，再令式左边的展开式中含x2, y2项的系数相等，得二匚E，此时曲线即b -a2 2xycxdye=O的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹而题中的四个交点都在曲线上，所以曲线表示圆这就证得了四个交点共圆定理 2 若两条直线|耳乂 + 0丫+&=00=1,2)与二次曲线 2 2-:ax by ex dy e = 0(a = b)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是 a<|b2 a2d = 0.证明由组成的曲线即(aix b

5、iy Ci)(a2X b2y C2) = 0所以经过它与丨的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式(，不同时为0):2 2 (ax by ex dy e)_(aix by Ci)(a2X b2y C2) = 0必要性若四个交点共圆，则存在厂I使方程表示圆，所以式左边的展开式中含 xy 项的系数叫玄截 a20) =0 而=0(否则表示曲线丨，不表示圆)，所以 aib? ' a?bi = 0 充分性当aib2 azbi =0时，式左边的展开式中不含xy的项，选- 1时，再令式左边的展开式中含 x2, y2项的系数相等，即 a aia b bib2，得二色blbg b a此时曲线即x2 y2

6、 ex d y e = 0的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹而题中的四个交点都在曲线上，所以曲线表示圆这就证得了四个交点共圆 2 2推论i 若两条直线与二次曲线 丨：ax by ex dy e = 0(a = b)有四个交点，贝U这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互为相反数证明 设两条直线为h : ax+0y+Ci =0(i =i,2)，由定理2得，四个交点共圆的充要 条件是 aib2 ' a2bi = 0.(i)当li /I2即aiba2b1时，得四个交点共圆的充要条件即aib a2d = 0也即ai = a：

7、 =0 或 D = b2 =0. 当ii与12不平行即ajb2 = a2b时，由 吐2 玄2“二0得ajb2 = 0,a2b = 0 ,所以四个交点共圆的充要条件即 一虫+ - a2 = 0也即直线11,12的斜率均存在且均不为0且互为j b丿.b丿相反数.由此可得欲证成立.X2y2高考题1 （2016年高考四川卷文科第 20题）已知椭圆E : -2a b 0的一a b个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点p=/3,£ |在椭圆E上.（1）求椭圆E的方程；1（2）设不过原点 O且斜率为一的直线I与椭圆E交于不同的两点 A，B，线段AB的2中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，

8、证明：MA，MB = MCMD .2解（1）（过程略）椭圆E的方程是 y2 = 1.4(2)设 A(X1,yJ，Bgy2)，线段 AB 的中点为 M(x°,y°).2 2可得凶- yj =1,生 y22 =1，把它们相减后分解因式(即点差法)，再得44(X1 綁2) 一 (yXyr)41 , aX1 X2X0kAB -2 X1 -X2-4(% y2)-4y°kCDX0 2所以kAB kCD =0，由推论1得A,B,C,D四点共圆.再由相交弦定理，立得MA MB = MC MD .竞赛题1 （2014年全国高中数学联赛湖北赛区预赛第13题）设A B为双曲线2 y2x

9、-y ='上的两点，点N1,2）为线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与双曲线交于CD两点.(1) 确定的取值范围；(2) 试判断A、B C D四点是否共圆？并说明理由.2 简解(1)用点差法可求得直线 AB的方程是y=x1，由直线AB与双曲线£ 一 L 仝2交于不同的两点，可得/1且=0.2得直线CD的方程是y = -x 3，由直线CD与双曲线x2 -上交于不同的两点，可2得/ 、一- 9 且=0.所以的取值范围是(-1,0) 一(0：).(2)在的解答中已kAB kcD =0，所以由推论1立得代B,C, D四点共圆.笔者还发现还有一道竞赛题和四道高考题及均是二次曲线上的四

10、点共圆问题，所以用以上定理的证法均可给出它们的简解.这五道题及其答案分别是：高考题2 (2014 年高考全国大纲卷理科第21题(即文科第22题)已知抛物线 C：2y =2px(p 0)的焦点为F，直线y =4与y轴的交点为 P，与C的交点为 Q，且QF =5PQ .4(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A, B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M ,N两点，且A,M ,B, N四点在同一圆上，求 丨的方程.(答案：(1) y = 4x ； (2) x-y-1=0 或 x y-1=0.)高考题3 (2011年高考全国大纲卷理科第21题(即文科的22题)如图1所示，已知O2为坐标原点，F

11、为椭圆C ：x21在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为- 2的直线2丨与C交于A,B两点，点P满足OA，OBOP=0.图1(1)证明：点P在C 上; 设点P关于点0的对称点为Q，证明：A, P,B,Q四点在同一圆上高考题 4 (2005年高考湖北卷文科第22题(即理科第21题)设代B是椭圆2 23x y二上的两点，点N(1,3)是线段AB的中点，线段 AB的垂直平分线与该椭圆交 于C,D两点(1) 确定的取值范围，并求直线 AB的方程；(2) 试判断是否存在这样的，使得A,B,C, D四点在同一圆上？并说明理由(答案：，的取值范围是(12：)，直线AB的方程是xy4 = 0 ； (2)当，12时

12、时，均有 代B,C,D四点在同一圆上.)2高考题5 (2002 年高考江苏卷第20题)设A, B是双曲线x -1上的两点，点2NN(1,2)是线段AB的中点.(1) 求直线AB的方程；(2) 如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C,D两点，那么A, B,C,D四点是否共圆？为什么？(答案：(1) y =x 1 ； (2)是.)竞赛题2 (2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题第一试第三题)如图2所示，抛物线y2 =2x及点P(1,1)，过点P的不重合的直线12与此抛物线分别交于点 A,B,C,D .证明：A,B,C,D四点共圆的充要条件是直线 |1与|2的倾斜角互补推论2 设二次曲线-：

13、ax2 by2 cx dy0( a = b)上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，在该四边形的的两组对边、两条对角线所在的三对直线中：若有一对直线的斜率均不存在，则另两对直线的斜率均存在且均互为相反数；若有一对直线的斜率均存在且均互为相反数，则另两对直线的斜率也均存在且均互为相反数，或另两对直线的斜率中有一对均不存在另一对均存在且互为相反数证明 设圆内接四边形是四边形 ABCD，其两组对边 AB与CD、AD与BC及对角 线AC与BD所中的直线分别是li : aiiX+gy +5 =0(i =1,2)l2i: a2iX b2iy q =0(i =1,2)b : ax b3i y C3i =0(i

14、 =1,2)由定理中的充分性知，若四个交点共圆，则以下等式之一成立:ai1b12 ' ai2b11 = 0, a21b22 ' a22b21 = 0,a31b32 ' a32b31 = 0再运用定理2中的必要性知，若四个交点共圆，则以上等式均成立再由推论1的证明, 可得欲证成立.推论2的极限情形是推论3设点A是定圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线和抛物线 )C上的定点但不是顶 点，E、F是C上的两个动点，直线 AE、AF的斜率互为相反数，则直线 EF的斜率为曲 线C过点A的切线斜率的相反数(定值).由推论3可立得以下三道高考题中关于定值的答案：高考题6 (2009年高考辽宁

15、卷理科第20(2)题)已知A 1,- j是椭圆C：< 2丿的定点，E、F是C上的两个动点，直线 AE、AF的斜率互为相反数，证明 EF直线的斜 1率为定值，并求出这个定值.(答案：一)2高考题7(2004年高考北京卷理科第17(2)题)如图3，过抛物线y2 =2px(p 0)上一定点P(x0,y°)(y。.0)作两条直线分别交抛物线于A(X1,yJ,B(X2, y2).当PA与PB的斜率y1yy0 -2； kAB.)y。存在且倾斜角互补时，求y1 *的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.(答案:y。图3高考题8 (2004年高考北京卷文科第17(2)题)如图3，抛物线关于X轴对

16、称，它的顶点在坐标原点，点 P(1,2), A(xi ,yi),B(X2，y2)均在抛物线上当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求 - y的值及直线 AB的斜率.(答案：yiy -4； kAB二-1.)推论4 设二次曲线:ax2 by2 cx dy 0(a = b)上的四个点连成的四边形是 圆内接四边形，则该四边形只能是以下三种情形之一：(1) 两组对边分别与坐标轴平行的矩形；(2) 底边与坐标轴平行的等腰梯形；(3) 两组对边均不平行的四边形，但在其两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数.证明 推论2中的圆内接四边形，只能是以下三种情形之一：(1) 是平行四边形.由推论2知，该平行四边形只能是两组对边分别与坐标轴平行的矩 形.(2) 是梯形.由推论2知，该梯形的底边与坐标轴平行， 两腰所在直线的斜率及两条对角线所在直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数，可得该梯形是底边与坐标轴平行的等腰梯形.(3) 两组对边均不平行的四边形.由推论2知，该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数(本文中的所有结论及部分题