数学物理方程期末试卷

1、6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分）d2U 2八一丁二。一7 + COSX,OO < X < +oo f > 0sg,%。=0< dt2 dx2，=。=d2u _ dxdy 4=0 =产0 =7、用积分变换法求解定解问题（10分）:l,x > 0, y > 0y+L1,8、用积分变换法求解定解问题（10分）：二q R t > 0I /1人人“JI w（x50） =sinx,%（x,0） = 09、用格林函数法求解定解问题（10分）:d2u d2u+dx2 之0,y <0,一 00 V X V 4-00.10、写出格林函数公式

2、（三维）及满足的条件，并解释其物理意义。（10分）考试内容分析用数理方程研究物理问题的一般步骤;数理方程的建立（导出），包括三类典型 方程的建立（导出）推导过程。这里的1, 2两道题就是考察学生在实际物理背 景下能否写出定解问题。这些定解问题并不复杂，主要就是让学生了解一下。3, 4两道题主要考察分离变量法的精神、解题步骤和适用范围。第3题是最 基本的分离变量法的运用，分离变量法的主要思想：1、将方程中含有各个变 量的项分离开来，从而原方程拆分成多个更简单的只含1个自变量的常微分 方程；2、运用线性叠加原理，将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的 方程；3、利用高数知识、级数求解知识、以及其

3、他巧妙方法，求出各个方程 的通解；4、最后将这些通解“组装”起来。第4题是非齐次方程，主要考察 学生对非齐次方程的处理能力。5, 6两道题是考察行波法。第5题就是书本中一维波动方程的D'Alembert 公式的推导，是最最基础的东西，在这里考察学生平时的基础，题目不难但 是能很好的考察学生对行波法的理解。第6题考察了 D? Alembert公式的应用, 同时又因为方程式非齐次的，也考察了方程的齐次化。 第7, 8两道题是对积分变换法的考察。第7题是对拉普拉斯变换的考察拉普 拉斯变换的基本概念以及常见函数的拉普拉斯正变换；利用拉普拉斯变换的 基本定理，拉普拉斯变换表以及部分分式展开法对常

4、见函数进行拉普拉斯反 变换。第8题主要考察傅里叶变换的基本定理及其性质。9, 10两道题是考察格林函数法。第9题有些难度，是一道二维拉普拉斯的狄 利克雷问题，主要考察对第二格林公式的理解及其应用。第10题看似比较简 单，但是也是大家比较容易忽略的问题，不一定能将其完整的解答。这里还 要求你写出其物理意义，意图当然不言而喻了，就是想体现数学物理方程这 门课的意义，将数学与物理结合起来，了解古典方程的类型，明白其物理意义 和现象。答案及分析1、解：这是弦的自由振动，其位移函数(XJ)满足=/取，(2 分)其中标=二.由于左端开始时自由，以后受到强度为Asind的力的作用，所以 P(0,0) = 0

5、,r (0 J) + A sin 由=0,f > 0,因此仆(0 J)= -号丝,r>0.(2分)乂右端系在弹性系数为A的弹性支承上面，所以-Tux(/,/)-ku(l,t) = 0,即 Tux(l,t) + ku(l,t) = 0. (2 分)而初始条件为矶=0=奴x)，q|,=o="(x>(2分)因此，相应的定解问题为I。=a2ur.0<x</,t>0.< K (01)二 _ A sm ", TU(,1)+ kuQ ,i)= 0,r>0.(2 分)'J=。 双X)，/*VQ)2、解：侧面绝热，方程为ut = a2i

6、i .0<x<I,t > 0（3 分）IL，边界条件为（。=。，/1 =，>0（3 分）初始条件为L° = ，O<x</（3 分）因此，相应的定解问题为：（1分）3、解令（W） = X（x）丁金分），代入原方程中得到两个常微分方程：7 （0 + 27（0 = 0 Xx） + AX（x） = 0（2 分），由边界条件得到X（。） = X（4） = 0,九=伊=R-对之的情况讨论，只有当义> °时才有非零解，令4 =/,得到4-为特征值，特征函数X"一纥s1n7（1分），再解”），得到（2Xn2zt（x，f） = Z（C1 1

7、6 Sin ?，分），于是 皿4（ 1分）再由初始条件得到C, = - 4 2x sin -xdx = （-1）n+14“4 乃 （1分），所以原定解问题的解为X 1 rM 开?（中）=£ 一（-l）”"e 16 sin 与，,0 兀4（1 分）（1分）（1分）4、解：令 u（x, f） =+ W（x）将其代入定解问题可以得到：Vii=a2V0<x<l,t>0)< V(0j) = 0,V(/,r) = 0.(1)V(x,0) = 3 l + y j-W (x),匕(x, 0) = sin xMW"(x) + sin xcos x = 0/(

8、2)W(0) = 3,W(/) = 6（1分）I24 乃(x、的解为：W(x) = -sin x + 3 1 + -(2 分)327rcrI IJ对于(1),由分离变量法可得一般解为n7rat i .兀at、. n7rx/O zvxV(x，f)=* %cos+ /?sinsin(2 分)=i I I1)1由初始条件可求得：、( I24乃4I . 4乃4.1 . 4ttx以八、V(x,t)= -cosf +sm sm(2 分)I 32/r。- I 4/ra I J I所以，原定解问题的解为：I232/4兀acos，+I . 7TClt . 4ttx I2 . 4万J. xsm sin+sm x

9、+ 3 1 + 4 兀。 I ) I 32/r。- I1(1分)5、解：u (x, t) =F (x-at) +G (x+at)（2分）令 x-at=0 得例x)=F (0) +G (2x)（2分）令 x+at=0 得 以x)=F (2x) +G(0)分)XY所以 F(x)=(-)-G(0). G (x)二例二)-F(0). 22且 F (0) +G(0) = (0) = (0).rrKIz 、/ x + atx /x-at八所以 u (x, t)=叭+ () -。(0)即为古尔沙问题的解。（2（2分）（1分）（1分）6、解令（皿）=代中）+卬。）（1分），代入原方程中，将方程齐次化，因此d2

10、v rd2v ., “八1-=-+ W(X) + COSX =>。-卬(X)+ COSX = 0 => w(x) = - COSX0广 及-。-(2分)，再求d2v 2 S2vr = a r J>0 dt2 dx2定解问题r=0sin2x-4-cosxw(x),|1=00,得 到 以 上 问（2分）由达朗贝尔的 解 为z/(x，0 = snixcosf/r-cosxcosm + Losx.cr(1分)v(x, t) = sui2(x + at) -cosz + at) + siii 2(.v - at)-与cos(y - at) + 02。-1=sinxcos。/-cosxc

11、osat(4分)cr7、解对y取拉普拉斯变换4心，,'）="k）（1分），对方程和边界条件同时对dU _ 1 .11P-j-=Mx = + y取拉普拉斯变换得到dx P P- P （3分），解这个微分方程得到,、 1 11U（x,p） = -x+ + P P P （3分），再取拉普拉斯逆变换有（儿'）=冲+>' + 1（2分）所以原问题的解为"（m）'）=a+）'+i.（1分）8、解：对于初值问题关于x作Fourier变换，得:（2分）（2分）- + 4S（6V）,无 £ RJ >0<d/-/3,0）=/（

12、sinx），43,0） = 0该方程变为带参数0的常微分方程的初值问题。解得6（。/）=+ ge-于是(公0) = F(sni X)= G + C2,iiJ卬,0) = ja co(Ci - C2) = 0( 2 分)则由G = G=；F(smx),得：= ；/6111乃(才心+"用")。(2 分) 作像函数力（。，1）的Fourier逆变换u(x,t)=/ TG(0,f)= L / TF(sinM(g + e-s )= -sm(x-at) + sin(x+at)22=sinxcos。/（2分）9、解：设M°（x°，k）为下半平面中任意一点。已知二维调和

13、函数的积分表达式 为r d Im(A/0) = -J («(M)(hi )-hi-2叫on "，1 du.mm。加)dS(1分)设I，为调和函数，则由第二格林公式知jj（i/V2v-vV2w）Jcr = 0r(2)（1） + （2）可得（%）=伽,（加）（£一工£（11】 r on 2 4 on若能求得U满足111 -v)K/5MM。 加(2分)V2v = O,y < 0I 1 .1vl=111.2 )7- v/MM。(3),v=0则定义格林函数=u,则有小）=干幽架s(2分)由电象法可知，"1（%,-汽）为加0（%,比）的象点，故可取(1分)显然其满足（3）o从而可得格林函数-lii -In dG dGdn1 d八=(InX 27J-111A/A/o)=( TH) + 21(x-xQ)2 +(y-yQ)2一（y+）'o）(x-x0)2+(y+y0)2)（3分）故而“卜部一二5左四（1分） 10、解：（1）格林函数公式（三维）为：G （M, Mo ）