工程力学基础(讲义)

1、工程力学基础11工程力学基础目录概述3第一章物体的受力分析和静力学平衡方程 5第一节静力学基本概念 5第二节约束和约束反力 1.Q第三节分离体和受力图1.3第四节力的投影合力投影定理.16.第五节力矩力偶.19第六节力的平移 22第七节平面力系的简化合力矩定理 23.第八节平面力力系的平衡方程 3Q第九节空间平面力系 38第二章拉伸、压缩与剪切 43第一节轴向拉伸与压缩的概念和实例 4.4.第二节轴向拉伸或压缩时横截面上的内力 .4.5.第三节轴向拉伸或压缩时横截面上的内力 .4.7.第四节轴向拉伸或压缩时的变形 5.Q.第五节材料在拉伸与压缩时的力学性能 5.4.第六节轴向拉伸或压缩时的强度

2、计算 .5.9.第七节应力集中的概念 6.3第八节剪切与挤压的实用计算 64第三章扭转68第一节扭转的概念和实例 6.8第二节扭转时外力和内力的计算 .6.9.第三节纯剪切71第四节圆轴扭转时横截面上的应力 73.第五节圆轴扭转的强度计算 7.6.第六节圆轴扭转的变形和刚度计算 78.第四章弯曲79第一节平面弯曲的概念和实例 79第二节梁弯曲时的内力一剪力和弯矩 8.1.第三节剪力图和弯矩图 8.4第四节纯弯曲时梁横截面上的正应力 8.9.第五节惯性矩和弯曲截面系数 91.第六节梁的弯曲强度计算 92第七节*不作要求*96第八节弯曲变形96第五章 组合变形构件的强度计算 1.Q1.第一节点的应

3、力状态简介1Q1.第二节（第二、三节不讲） 1.Q3.第三节（第二、三节不讲） 1Q3.第四节强度理论简介1Q3.第五节组合变形的弓S度计算1.Q6.第六章交变应力1.13第一节交变应力及构件的疲劳破坏1.1.3.第二节循环特征和持久极限（二、三节合并） 115.第四节提高构件疲劳强度的措施 118.工程力学基础概 述工程力学是一门研究物体机械运动及构件强度、刚度和稳定性的科学。从工程上的应用来说，工程力学包括：质点及刚体力学，固体力学，流体力学，流变学，土力学，岩体力学等。而固体力学包括材料力学、结构力学、弹性力学、塑性力学、复合材 料力学以及断裂力学等。如按使结构产生反应的作用性质分类，工

4、程力学的许多分支都可以 再分为静力学与动力学。例如结构静力学与结构动力学。本篇包括工程力学的两个基础部分的内容：静力学和材料力学。力是物体间相互的(机械)作用。力对物体的作用效应取决于力的三要素，即力的大小、方向和作用点。是矢量，常用一个带箭头的线段来表示，在国际单位制中，力的单位牛顿(N)或千牛顿(KN)。作用在物体上的力会引起两种效应：一是引起物体机械运动状态的改变，称为外效应；二是引起物体的变形，称为内效应。静力学是研究物体在外力系作用下平衡规律的科学，即主要研究外效应。而材料力学主要是研究物体的变形规律，即主要研究内效应。为保证构件正常工作，构件应具有足够的能力负担所承受的载荷。因此，

5、构件应当满足以下要求：(1)、强度要求：即构件在外力作用下应具有足够的抵抗破坏的能力。在规定的载荷作用下构件当然不应破坏，包括断裂和发生较大的塑性变形。例如，冲床曲轴不可折断；建筑 物的梁和板不应发生较大塑性变形。强度要求就是指构件在规定的使用条件下不发生意外断 裂或塑性变形。(2)、刚度要求：即构件在外力作用下应具有足够的抵抗变形的能力。在载荷作用下，构件即使有足够的强度，但若变形过大，仍不能正常工作。例如，机床主轴的变形过大，将影 响加工精度；齿轮轴变形过大将造成齿轮和轴承的不均匀磨损，引起噪音。刚度要求就是指 构件在规定的事业条件下不发生较大的变形。(3)、稳定性要求：即构件在外力作用下

6、能保持原有直线平衡状态的能力。承受压力作用的细长杆，如千斤顶的螺杆、内燃机的挺杆等应始终维持原有的直线平衡状态，保证不被压 弯。稳定性要求就是指构件在规定的使用条件下不产生丧失稳定性破坏。如果构件的横截面尺寸不足或形状不合理，或材料选用不当，不能满足上述要求，将不能保证工程结构或机械的安全工作。相反，如果不恰当的加大构件横截面尺寸或选用高强材料，这虽满足了上述要求，却使用了更多的材料和增加了成本，造成浪费。我们可以作出以下结论：材料力学是研究各类构件（主要是杆件）的强度、刚度和稳定性的学科，它提供了有关的基本理论、计算方法和实验技术，使我们能合理地确定构件的材料和形状尺寸，以达到安全与经济的设

7、计要求。第一章物体的受力分析和静力学平衡方程静力学主要研究的以下两个内容：（1）力系的简化力系：同时作用在刚体上的一群力称为力系。在外力作用下，物体的形状和大小（尺寸）保持不变，而且内部各部分相对位置保持恒定（没有形变），这种理想物理模型称之为刚体。简单地说刚体就是在力的作用下不发生变形的物体。在对刚体进行受力分析时，往往可以把刚体 看成一个点（质点）来研究。等效力系：如果作用于一刚体上的力系可以用另一力系代替而不改变其对刚体的作用效 果，则称这两个力系为等效力系。力系的简化：用一个简单的等效力系代替一个复杂的力系称为力系的简化。（2）刚体的平衡条件指刚体处于平衡状态时作用于刚体上的力系应满足

8、的条件。本章将阐述静力学中的一些基本概念、静力学公理、工程上常见的典型约束和约束反力， 以及物体的受力分析。第一节静力学基本概念力的概念及作用形式力的概念产生于人类从事的生产劳动当中。当人们用手握、拉、掷及举起物体时，由于肌肉紧张而感受到力的作用，这种作用广泛存在于人与物及物与物之间。例如，奔腾的水流能推动水轮机旋转，锤子的敲打会使烧红的铁块变形等。1、力的定义 力是物体之间相互的机械作用，这种作用将使物体的机械运动状态发生变化,或者使物体产生变形。 前者称为力的 外效应；后者 称为力的内效应。2、力的三要素 实践证明，力对物体的作用效应， 决定于力的大小、方向（包括方位和指向）和 作用 点的

9、位置，这三个因素就称为 力的三要素。在这三 个要素中，如果改变其中任何一个， 也就改变了力对物体的作用效应。例如：用扳手拧螺母时，作用在扳手上的力，因大小不同，或方向不同，或作用图1-1点不同，它们产生的效果就不同（图 1-1a ）。注意：（1）力是矢量力是一个既有大小又有方向的量，而且又满足矢量的运算法则，因此力是矢量（或称向量）。矢量常用一个带箭头的有向线段来表示（图1-1b）,线段长度 AB按一定比例代表力的大小，线段的方位和箭头表示力的方向，其起点或终点表示力的作用点。此线段的延伸称为力的作用线。用黑体字 F代表力矢，并以同一字母的非黑体字F代表该矢量的模（大小）。（2）力的单位力的国

10、际制单位是牛顿或千牛顿，其符号为N,或kN。3、集中力、均布力（均布载荷）集中力：当力的作用面积很小， 可以看作是作用在一点上时，这种力称为集中力（如图1-2a）。分布力：当力的作用范围比较大时称为分布力（如图 1-2b ）。其大小用分布力集度q（x）（单位长度力的大小）表示，单位为kN/m ,当q（x）为常数时称为均布力或均布载荷（如图1-2c）。二、刚体的概念在外力作用下，物体的形状和大小（尺寸）保持不变，而且内部各部分相对位置保持恒定（没 有形变），这种理想物理模型称之为刚体。简单地说刚体就是在力的作用下不发生变形即保持 其几何形状和尺寸不变的物体。在对刚体进行受力分析时，往往可以把刚体

11、看成一个点（质 点）来研究。显然，刚体是一个理想化的模型，实际上并不存在这样的物体。但是，工程实际中的机 械零件和结构构件，在正常工作情况下所产生的变形，一般都是非常微小的。这样微小的变 形对于研究物体的外效应的影响极小，是可以忽略不计的。当然，在研究物体的变形问题时，就不能把物体看作是刚体，否则会导致错误的结果，甚至无法进行研究。三、平衡的概念1、平衡如果物体相对于地球静止或作均速直线运动，则称该物体处于平衡状态。当物体处于平衡状态时，作用于该物体上的力系称为平衡力系。力系平衡所满足的条件称为 平衡条件。如果两个力系对同一物体的作用效应完全相同，则称这两个力系互为等效力系。当一个力系与一个力

12、的作用效应完全相同时，把这一个力称为该力系的合力，而该力系中的每一个力称为合力的分力。必须注意，等效力系只是不改变原力系对于物体作用的外效应，至于内效应显然将随力 的作用位置等的改变而有所不同。图1-32、二力平衡原理及二力体当一个刚体受两个力作用而处于平衡状态时，其充分与必要的条件是：这两个力大小相等，作用于同一直线上，且方向相反。（图1-3）这个公理揭示了作用于物体上的最简单的力系在平衡时 所必须满足的条件，它是静力学中最基本的平衡条件。二力体只受两个力作用而平衡的物体称为二力体（如果为杆件则称为二力杆）。图1-4机械和建筑结构中的二力体常常统称为“二力构件”。它们的受力特点是：两个力的方

13、向 必在二力作用点的连线上。应用二力体的概念，可以很方便地判定结构中某些构件的受力方向。如图1-4所示三校拱中AB部分，当车辆不在该部分上且不计自重时，它只可能通过A、B两点受力，是一个二力构件，故A、B两点的作用力必沿 AB连线的方向。3、加减平衡力系原理在刚体的原有力系中，加上或减去任一平衡力系，不会改变原力系对刚体的作用效应。这一公理的正确性是显而易见的，因为一个平衡力系是不会改变物体的原有状态的。这个公理常被用来简化某一已知力系。依据这一公理，可以得出一个重要推论： 即力的可传性。图1-54、力的可传性原理作用于刚体上的力可以沿其作用线移至刚体内任一点,而不改变原力对刚体的作用效应。例

14、如，图1-6中在车后A点加一水平力推车，与在车前B点加一水平力拉车，其效果是一样的。这个原理可以利用上述公理推证如下（图1-6 ）:（1）设F作用于A点（图1-6a ）;（2）在力的作用线上任取一点B,并在B点加一平衡力系（F1, F2）,使Fi = F2 = -F（图1-6b）;由加减平衡力系公理知，这并不影响原力F对刚体的作用效应;（3）再从该力系中去掉平衡力系（F, Fi）,则剩下的F2 （图1-6c）与原力F等效。这样就把原来作用在A点的力F沿其作用线移到了 B点。根据力的可传性原理，力在刚体上的作用点已为它的作用线所代替，所以作用于刚体上的力的三要素又可以说是：力的大小、方向和作用线

15、。这样的力矢量称为滑移矢量。图1-6应当指出，力的可传性原理只适用于刚体，对变形体不适用。5、力的平行四边形法则作用于物体同一点的两个力可以合成为一个合力，合力也作用于该点，其大小和方向由 以这两个力为邻边所构成的平行四边形的对角线所确定，即合力矢等于这两个分力矢的矢量和。如图1-7所不。其矢量表达式为图1-8从图1-8可以看出，在求合力时，实际上只须作出力的平行四边形的一半，即一个三角形就行了。为了使图形清晰起见，通常把这个三角形画在力所作用的物体之外。如图1-7所示，其方法是自任意点 O先画出一力矢 F1,然后再由F1的终点画一力矢 F2,最后由O点至力 矢F2的终点作一矢量 Fr,它就代

16、表Fi、F2的合力。合力的作用点仍为汇交点A。这种作图方法称为力的三角形法则。在作力三角形时，必须遵循这样一个原则，即分力力矢首尾相接， 但次序可变，合力力矢与最后分力箭头相接。此外还应注意，力三角形只表示力的大小和方 向，而不表示力的作用点或作用线。力的平行四边形法则总结了最简单的力系简化规律，它是较复杂力系合成的主要依据。力的分解是力的合成的逆运算，因此也是按平行四边形法则来进行的，但为不定解。在工程实际中，通常是分解为方向互相垂直的两个分力。例如，在进行直齿圆柱齿轮的受力分 析时，常将齿面的法向正压力Fn分解为推动齿轮旋转的即沿齿轮分度圆圆周切线方向的分力圆周力Ft,指向轴心的压力 径向

17、力Fr （图1-9）。若已知Fn与分度圆圆周 切向所夹的压力角为 a ,则有图1-9Ft= Fncos aFr = Fn sin a运用力系加减原理和力的平行四边形法则可以得到下面的推论：物体受三个力作用而平衡时，此三个力的作用线必汇 交于一点。此推论称为三力平衡汇交定理。6、作用与反作用定律两个物体间的作用力与反作用力，总是大小相等，方向相反，作用线相同，并分别作用于这两个物体。这个公理概括了自然界的物体相互作用的关系，表明 了作用力和反作用力总是成对出现的。必须强调指出，作用力和反作用力是分别作用于两个不同的物体上的，因此，决不能认为 这两个力相互平衡，这与两力平衡公理中的两个力有着本质上

18、的区别。工程中的机械都是由若干个物体通过一定的形式的约束组合在一起，称为物体系统，简 称物系。物系外的物体与物系之间的作用力称为外力，而物系内部物体间的相互作用力称为 内力。内力总是成对出现且等值、反向、共线，对物系而言，内力的合力恒为零。故内力不 会改变物系的运动状态。但内力与外力的划分又与所取物系的范围有关。随所取对象的范围 不同，内力与外力是可以互相转化的。第二节约束和约束反力凡能主动引起物体运动状态改变或使物体有运动状态改变趋势的力称为主动力。工程中常把主动力称为载荷。在空间不受限制任意运动的物体称为自由体。若物体受到某些条件的限制，在某些方向不能运动，则这种物体称为非自由体。那些限制

19、物体某些运动的条件，称为约束。这些限制条件总是由被约束体周围的其它物体构成的。为方便起见，构成约束的物体常称为约束。约束限制了物体本来可能产生的某种运动，故约束有力作用于被约束体，这种力称为约束反力。约束反力总是作用在被约束体与约束体的接触处，其方向也总是与该约束所能限制的运动或运动趋势的方向 相反。据此，即可确定约束反力的位置及方向。常见的典型平面约束有 以下几种：1、柔索约束由绳索、胶带、链条等形成的约束称为柔索约束。这类约束只能限制物体沿柔索伸长方向的运动，因此它对物体只有 沿柔索方向的拉力，如图1-10、1-11所示，常用符号为 Ft。当柔索绕过轮子时，常假想在柔索的直线部分处截开柔索

20、，将与轮接触的柔索和轮子一起作为考察对象。这样处理，就可不考虑柔索与轮子间的内力，这时作用于轮子的柔索拉力即沿轮缘的切线方向（图 1-10b）。1|P1产(a)(b)(a)(b)图 1-10图 1-112、光滑面约束当两物体直接接触，并可忽略接触处的摩擦时，约束只能限制物体在接触点沿接触面的公法线方向约束物体的运动，不能限制物体沿接触面切线方向的运动，故约束反力必过接触点沿接触面法向并指向被约束体，简称法向压力，通常用Fn表示。图1-12中A和B所示分别为光滑曲面对刚体球的约束和齿轮传动机构中齿轮轮齿的约束。图1-13为直杆与方槽在 A、B C三点接触，三处的约束反力沿二者接触点的公法线方向作

21、用。图 1-12图 1-133、圆柱钱链约束钱链是工程上常见的一种约束。它是在两个钻有圆孔的构件之间采用圆柱定 位销所形成的连接，如图1-14所示。门所用的活页、侧刀与刀架、起重机的动臂 与机座的连接等，都是常见的银链连接。般认为销钉与构件光滑接触，所以这也是一种光滑表面约束，约束反力应通过接触点K沿公法线方向(通过销钉中心)指向构件，如图 1-15a所示。但实 际上很难确定K的位置，因此反力Fn的方向无法确定。所以，这种约束反力通常是用两个通过较链中心的大小和方向未知的正交分力Fx、Fy来表示，两分力的指向可以任意设定，如图1-14b 。b)图 1-14这种约束在工程上应用广泛，可分为三种类

22、型:图 1-15(1)固定较支座 用以将构件和基础连接，如桥梁的一端与桥墩连接时，常用这种约束，如图1-16a所示，图1-16b是这种约束的简图。b)图 1-16(2)可动较支座 在桥梁、屋架等结构中，除了使用固定较支座外，还常使用一工程力学基础14种放在几个圆柱形滚子上的钱链支座，这种支座称为可动较支座，也称为滚动较支座或辗轴支座，它的构造如图 1-176所示。由于辗轴的作用，被支承构件可沿 支承面的切线方向移动，故其约束反力的 方向只能在滚子与地面接触面的公法线 方向。图 1-17a)b)图 1-18c)*4轴承约束轴承约束是工程中常见的支承形式，它的约束反力的分析方法与钱链约束相同。（1

23、）支承传动轴的向心轴承（图 1-19a ）, 也是一种固定较支座约束，其力学符号如图1-19b所示。（2）推力轴承（图1-20a）除 了与向心轴承一样具有作用线不定的径向约 束力外，由于限制了轴的轴向运动，因而还图 1-19有沿轴线方向的约束反力（图1-20b ）。其力学符号如图1-20C所示。* （3）中间较链用来连接两个可以相对转动 但不能移动的构件，如曲柄连杆机构中曲柄与 连杆、连杆与滑块的连接。通常在两个构件连接 处用一个小圆圈表示钱链，如图1-18c所示。图 1-20工程力学基础29第三节分离体和受力图解决力学问题，关键是要进行受力分析。所谓受力分析，是指分析所要研究的物体(称 为研

24、究对象)上受力多少、各力作用点和方向的过程。工程中物体的受力可分为两类，一类称为主动力，如工作载荷、构件自重、风力等，这 类力一般是已知的或可以测量的，另一类就是约束反力。进行受力分析时，研究对象可以用 简单线条组成的简图来表示。画受力图的步骤：(1)确定研究对象，解除约束，取分离体；(2)先画出作用在分离体上的主动力，再根据约束的性质在解除约束的地方画上约束反力；(3)画物体受力图时，要利用相邻物体间的作用力与反作用力之间的关系。画受力图是解决力学问题的第一步骤，正确地画出受力图是分析、解决力学问题的前提。如果没有特别说明，则物体的重力一般不计，并认为接触面都是光滑的。下面举例说明受力图的作

25、法及注意事项。例1 (教材例1-1 , P5)例2 (教材例1-2 , P5)例3 重力为P的圆球放在板 AC与墙壁AB之间，如图1-21a所示。设板 AC重力不计， 试作出板与球的受力图。解：先取球为研究对象，作出简图。球上主动力P,约束反力有 Rd和Fne,均属光滑面约束的法向反力。受力图如图1-21b所示。再取板作研究对象。由于板的自重不计，故只有A、C、E处的约束反力。其中 A处为固定校支座，其反力可用一对正交分力Fax、FBy表示；C处为柔索约束，其反力为拉力Ft； E处的反力为法向反力 F' ne,要注意该反力与球在处所受反力Fne为作用与反作用的关系。受力图如图1-21c

26、所示。例4 图1-22所示为一起重机支架，已知支架重量 W、吊重G。试画出重物、吊钩、滑车 与支架以及物系整体的受力图。图 1-22d )。FT2 (图 1-21解：重物上作用有重量G和吊钩沿绳索的拉力Fi吊钩受绳索约束，沿各绳上画拉力FT1、FT2, FT3o （图1-22c ）滑车上有钢梁的约束反力Fri、Fr2及吊钩绳索的拉力F' T3 （图1-22f）。支架上有A点的约束反力FNAx、FNAy , B点水平的约束反力FNB及滑车滚轮的压力F' R1、F' R2,支架自重 W （图1-22e ）。1-22b ）。整个物系作用有G、W、FnB、FnAx、FNAy ,

27、其余为内力，均不显示（图图 1-22例5画出图1-23b、c两图中滑块及推杆的受力图，并进行比较。图 1-23a是曲柄滑块 机构，图1-23d是凸轮机构。解：分别取滑块、推杆为分离体，画出它们的主动力和约束反力，其受力1-23b、1-23c所示。图 1-23滑块上作用的主动力F、Fr与F的交点在滑块与滑道接触长度范围以内，其合力使滑块单面靠紧滑道，故产生一个与约束面相垂直的反力Fn , F、 Fr、 Fn三力汇交。推杆上的主动力F、Fr的交点在滑道之外，其合力使推杆倾斜而导致B、D两点接触，故有约束反力 Fnb, Fnd。画受力图时，须注意以下几点：(1)作图时要明确所取的研究对象，把它单独取

28、出来分析，在取整体作为研究对象时， 有时为了简便起见，可以在题图上画受力图，但要明确，这时整体所受的约束实际上已被解 除。(2)要注意两个构件连接处的反力的关系。当所取的研究对象是几个构件的结合体时， 它们之间结合处的反力是内力不必画出。而当两个相互连接的物体被拆开时，其连接处的约 束反力是一对作用力与反作用力，要等值、反向、共线地分别画在两个物体上。(3)若机构中有二力构件，应先分析二力构件的受力，然后再分析其它作用力。画受力图可概括为：“据要求取构件，主动力画上面；连接处解约束，先分析二力件。”第四节力的投影合力投影定理、力的投影概念从力矢量F的两端AB分别向x轴作垂足a,b,线段ab称为

29、力F在x轴上的投影。用 X表示（图1-24）, x称为投影轴。若力 F与X轴正向夹角为e ,则有:X= F cos a图 1-24力在轴上的投影是代数量，其符号可直观判断。从a到b与x轴正向一致时投影为正,反之为负。并且还有：（1） 一力在互相平行且同向的轴上的投影相等。（2）将力平行移动,此力在同一轴上的投影值不变。、力在直角坐标轴上的投影过F两端向坐标轴引垂线 （图1-25）得垂足a、b、 a'、b'o线段ab和a'b'分别为F在x轴和y轴上投影的 大小，投影的正负号规定为：从 a到b （或从a'到b'） 的指向与坐标轴正向相同为正，相反为负

30、。F在x轴和y轴上的投影分别计作 Fx、Fy ,若已知F的大小及其与x轴所夹的锐角a ,则有:Fx F cosFy F sin图 1-25(1-2)如将F沿坐标轴方向分解， 所得分力Fx、Fy的值与在同轴上的投影 Fx、R相等。但须注意, 力在轴上的投影是代数量，而分力是矢量，不可混为一谈。若已知Fx、Fy值，可求出F的大小和方向，即：FFx2Fy2(1-3 )tanFy Fx合力投影定理设刚体上作用有一个平面力系F1、F2、Fn,据式（1-1 ）有FR= F1+ F2+ Fn = EF将上式两边分别向x轴和y轴投影，即有FrxExF2xFxFRyF1yF2yFnyFy(1-4)式（1-4）即

31、为合力投影定理:力系的合力在某轴上的投影,等于力系中各力在同一轴上投影tanFyFx的代数和。若进一步按式（1-3）运算，即可求得合力的大小及方向,(1-5)FR .( Fx)2(Fy)2例1 一固定于房顶的吊钩上有三个力F1、F2、F3,其数值与方向如图1-26所示。用解析法求此三力的合力。FRx = F1x + Fx + F3x解：=732 N + 0 - 2000 N X cos30 °=-1000 NFRy = F1y+ F2y+ F3y=0 - 732 N - 2000 N X sin30=-1732 N再按式（1-5 ）得Fr(Fx)2(Fy)22000 NtanFy/F

32、x 1.73260第五节力矩力偶、力矩（力对点之矩）人们从实践中知道，力的外效应作用可以产生移动和转动两种效应。由经验知道，力使 物体转动的效果不仅与力的大小和方向有关，还与力的作用点（或作用线）的位置有关。例如，用扳手拧螺母时（图1-27 ）,螺母的转动效应除与力F的大小和方向有关外，还与点O到力作用线的距离 h有关。距离h越大，转动的效果就越好，且越省力，反之则越差。 显然，当力的作用线通过螺母的转动中心时，则无法使螺母转动。图 1-27图 1-28可以用力对点的矩这样一个物理量来描述力使物体转动的效果。其定义为：力F对某点O的矩等于力的大小与点 O到力的作用线距离 h的乘积。记作 Mo

33、（F） = ±Fh式中，点O称为矩心，h称为力臂，Fh表示力使物体绕点 O转动效果的大小，而正负号 则表明：Mo （F）是一个代数量，可以用它来描述物体的转动方向。通常规定：使物体逆时针 方向转动的力矩为正，反之为负。力矩的单位为牛顿米（NI omD根据定义， 图1-27中所示的力F1对点O的矩为Mo （F1） =- F1h1=- Ehsina由定义知：力对点的矩与矩心的位置有关，同一个力对不同点的矩是不同的。因此，对 力矩要指明矩心。从几何上看。力 F对点O的矩在数值上等于三角形 OAB面积的两倍。如图1-28所示。力对点的矩在两种情况下等于零：（1）力为零；（2）力臂为零，即力的

34、作用线过矩心。前述扳手通过螺母中心的情况即属于第（2）种情况。力偶与力偶矩1、力偶的定义在日常生活及生产实践中，常见到物体受一对大小相等、方向相反但不在同一作用线上的平行力作用。例如图1-29所示的司机转动驾驶盘及钳工对丝锥的操作等。一对等值、反向、 不共线的平行力组成的力系称为力偶，此二力之间的距离称为力偶臂。力偶对物体作用的外 效应是使物体单纯地产生转动运动的变化。图 1-292、力偶矩及力偶的三要素在力学上，以F与力偶臂d的乘积作为量度力偶在其作用面内对物体转动效应的物理量，称为力偶矩，并记作 M (F, F')或M。即：M (F, F') = M = ±Fd力

35、偶矩的大小也可以通过力与力偶臂组成的三角形面积的二倍来表示，如图1-30所示,即：M = ± 22AB一般规定，逆时针转动的力偶取正值，顺时针取负值。力偶矩的单位为 N m或N mm力偶对物体的转动效应取决于下列三要素：(1)力偶矩的大小。(2)力偶的转向。(3)力偶作用面的方位。图 1-30凡是三要素相同的力偶则彼此等效，即它们可以相互置 换，这一点不仅由力偶的概念可以说明，还可通过力偶的性质作进一步证明。3力偶的性质性质1力偶对其作用面内任意点的力矩恒等于此力偶的力偶矩，而与矩心的位置无关。证明：设在刚彳某平面上 A、B两点作用一力偶 M = Fd ,现求此力偶对任意点 。的力矩

36、。取x表示矩心O到F之垂直距离，按力矩定义，F与F'对O点的力矩和为Mo (F) + Mo (F') = F (d -x) + Fx= Fd即Mo (F) + Mo (F') = M ( F, F')不论O点选在何处，力偶对该点的矩永远等于它的力偶矩，而与力偶对矩心的相对位置无关。性质2由图1-31可见，力偶在任意坐标轴上的投影之和为零，故力偶无合力，力偶不 能与一个力等效，也不能用一个力来平衡。力偶无合力，故力偶对物体的平移运动不会产生任 何影响，力与力偶相互不能代替，不能构成平衡。因此， 力与力偶是力系的两个基本元素 。由于上述性质，所以对力偶可作如下处理：

37、(1)力偶在它的作用面内，可以任意转移位置。其作用效应和原力偶相同，即力偶对于刚体上任意点的力偶矩值不因移位而改变。(2)力偶在不改变力偶矩大小和转向的条件下，可以同时改变力偶中两反向平行力的大 小、方向以及力偶臂的大小。而力偶的作用效应保持不变。各图中力偶的作用效应都相同。力偶的力偶臂、力及其方向既然都可改变，就可简明图 1-32地以一个带箭头的弧线并标出值来表示力偶，如图1-32d所示。第六节力的平移作用在刚体上A点处的力F,可以平移到刚体内任意点。，但必须同时附加 一个力偶，其力偶矩等于原来的力 F对新作用点O的矩。这就是力的平移定理。 如图1-33所示。证明如下：根据加减平衡力系公理，

38、在任意点。加上一对与F等值的平衡力F'、F （图1-33b）,则F与F为一对等值反向不共线的平行力，组成了一个力偶，其力偶矩等于原力F对。点的矩，即M = Mo (F) = Fd于是作用在A点的力F就与作用于。点的平移力F'和附加力偶M的联合作用等效，如图2-19c所示。力的平移定理表明了力对绕力作用线外的中心转动的物体有两种作用，一是平移力的作用，二是附加力偶对物体产生的旋转作用。如图1-34所示。圆周力F作用于转轴的齿轮上，为观察力F的作用效应，将力 F平移至轴心O点，则有平移力 F'作用于轴上，同时有附加力偶M使齿轮绕轴旋转。再以削乒乓球为例（图 1-35）,分析

39、力F对球的作用效应，将力 F平移至球心，得平移 力F'与附加力偶，平移力 F决定球心的轨迹，而附加力偶则使球产生转动。图 1-34不能和原力系等效，它被称为原力系的主F Rx F仅 F2xFnxFxF RyF1yF2yFnyFy第七节 平面力系的简化合力矩定理如果力系中所有的力的作用线都在同一个平面内，则称该力系为平面力系。、平面力系的简化设刚体上作用有一平面一般力系Fi、F2、Fn,如图2-22a所示，在平面内任意取一点O,称为简化中心。根据力的平移定理，将各力都向O点平移，得到一个汇交于 O点的平面汇交力系F'1、F'2、F'n,以及平面力偶系Mi、M2、M

40、n,如图1-36b所示。(1)平面汇交力系F' 1、F' 2、F' n,可以合成为一个作用于O点的合矢量F' R,如图1-36c所示。F r= 22 F，= 22 F它等于力系中各力的矢量和。显然，单独的 F' R图 1-36矢。将式上式写成直角坐标系下的投影形式:因此主矢F' R的大小及其与x轴正向的夹角分别为:R(2-12)(2)附加平面力偶系 M1、M2、Mn可以合成为一个合力偶矩 Mo,即Mo = M1+ M2+ Mn = 12 Mo ( F)显然，单独的Mo也不能与原力系等效，因此它被称为原力系对简化中心O的主矩。综上所述，得到如下 结

41、论：平面一般力系向平面内任一点简化可以得到一个力和一个力 偶，这个力等于力系中各力的矢量和，作用于简化中心，称为原力系的主矢；这个力偶的矩 等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和，称为原力系的主矩。原力系与主矢 F'麻口主矩M。的联合作用等效。主矢F' R的大小和方向与简化中心的选择无关。主矩 Mo的大小和转向与简化中心的选择有关。平面一般力系的简化方法，在工程实际中可用来解决许多力学问题，如固定端约束问题。固定端约束是使被约束体插入约束内部，被约束体一端与约束成为一体而完 全固定，既不能移动也不能转动的一种约束形式。工程中的固定端约束是很常见的，诸如：机床上装卡加工工件的卡盘

42、对工件的约束（图1-37a ）;大型机器中立柱对横梁的约束（图1-37b ）;房屋建筑中墙壁对雨篷的约束（图 1-37c）;飞机机身对机翼的约束（图 1-37d ）。固定端约束的约束反力是由约束与被约束体紧密接触而产生的一个分布力系，当外力为平面力系时，约束反力所构成的这个分布力系也是平面力系。由于其中各个力的大小与方向均难以确定，因而可将该力系向A点简化，得到的主矢用一对正交分力表示，而将主矩用一个反力偶矩来表示，这就是固定端约束的约束反力，如图 1-38所示。图 1-37图 1-38平面一般力系简化结果的讨论由前述可知，平面一般力系向一点O简化后，一般来说得到主矢 F' r和主矩M

43、o,但这并不是简化的最终结果，进一步分析可能出现以下四种情况：（1） F r= 0 , Mo w 0;说明该力系无主矢，而最终简化为一个力偶，其力偶矩就等于力系的主矩，此时主矩与 简化中心无关。（2） F'吐 0, Mo=0;说明原力系的简化结果是一个力，而且这个力的作用线恰好通过简化中心，此时F' R就是原力系的合力Fr=（3） F' rW0, MoW0；这种情况还可以进一步简化，根据力的平移定理逆过程，可以把F'环口 Mo合成一个合力Fr。合成过程如图1-39所示，合力Fr的作用线到简化中心 O的距离为：Mo可图 1-39（4） F' r= 0, M

44、o=0;这表明：该力系对刚体总的作用效果为零，即物体处于平衡状态。、平面江汇交力系及其平衡条件设刚体上作用有一个平面汇交力系F1、F2、Fn,各力汇交于 A点（图1-40a）。根据力的可传性，可将这些力沿其作用线移到A点，从而得到一个平面共点力系（图 1-40b ）。故平面汇交力系可简化为平面共点力系。a)b)图 1-40连续应用力的平行四边形法则，可将平面共点力系合成为一个力。在图1-40b中，先合成力Fl与F2（图中未画出力平行四边形），可得力Fr1 ,即Fr1 =F1+F2；再将Fr1与F3合成为力FR2,即FR2= FR1+ F3；依此类推，最后可得Fr= Fi+ F2 + - + F

45、n=汇 F式中Fr即是该力系的合力。 故平面汇交力系的合成结果是一个合力，合力的作用线通过汇交点，其大小和方向由力系中各力的矢量和确定。因合力与力系等效，故平面汇交力系的平衡条件是该力系的合力为零。四、平面力偶系的合成与平衡方程作用在物体上同一平面内的若干力偶，总称为平面力偶系。1、平面力偶系的合成设在刚体某平面上有力偶 Mi、M2的作用，如图1-41a所示，现求其合成的结果。图 1-41在平面上任取一线段 AB= d作为公共力偶臂，并把每个力偶化为一组作用在 A、B两点的 反向平行力，如图1-41b所示，根据力系等效条件，有MiM2F1, F2 丁于是在A、B两点各得一组共线力系，其合力为F

46、r与R',如图1-415c所示，且有R=FR=F1 F2Fr与Fr为一对等值、反向、不共线的平行力，它们组成的力偶即为合力偶，所以有M = Fr d = (F1-F2) d =M1 + M2若在刚体上有若干个力偶作用，采用上述方法叠加，可得合力偶矩为M = M1+ M2+- - + Mn = EM上式表明：平面力偶系合成的结果为一合力偶，合力偶矩为各分力偶矩的代数和。2、平面力偶系的平衡条件由合成结果可知，要使力偶系平衡，则合力偶的矩必须等于零，因此平面力偶系平衡的 必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即12M=0平面力偶系的独立平衡方程只有一个，故只能求解一个未知数。例

47、1 四连杆机构在图1-42所示位置平衡，已知 OA = 60 cm , O1 B = 40 cm ,作用在摇 杆OA上的力偶矩 M1 = 1 N - m不计杆自重，求力偶矩 M2的大小。图 1-42解：1）受力分析先取OA杆分析，如图1-426b所示，在杆上作用有主动力偶矩 Mi,根据力偶的性质，力偶只与力偶平衡，所以在杆的两端点 O、A上必作用有大小相等、 方向相反的一对力 Fo及Fa ,而连杆AB为二力杆，所以 Fa的作用方向被确定。再取 OiB杆分析，如图1-42c所示，此时杆上作用一个待求力偶 M2,此力偶与作用在 Oh B两端点上的约束反力构成的力偶平衡。 2）列平衡方程M-FaxO

48、A = 0(a)FA M1 167 NOA3）对受力图1-42c列平衡方程EM = 0,Fb xO1Bsin30 M2 = 0Fb= G = 1.67 N(b)因故由式（b）得M2=FaXO1 b X 0.5 = 1.67 N X 0.4 m X 0.5 =0.33 N - m五、合力矩定理在计算力系的合力对某点的矩时，除根据力矩的定义计算外，还常用到合力矩定理，即：平面汇交力系的合力对平面上任一点之矩，等于所有各分力对同一点力矩的代数和。证明：如图1-43所示，设力F1、E作用于刚体上的 A点，其合力为Fr,任取一点O为矩心，过O作OA之垂线为x轴，并过各力矢端 B、C D向x轴引垂线，得垂

49、足 b、c、d,按投影法则有Ob=cd = Ex, Oc= Fx , Od = FRx按合力投影定理，有：Od = Ob + Oc各力对O点之矩，可用力与矩心所形成的三角形面积的两倍来表示，故有若在A点有一平面汇交力系Fl、F2、Fn作用，则多次重复使用上述方法，可得Mo (Fr) = E Mo (F)上述合力矩定理不仅适用于平面汇交力系，对于其它力系，如平面任意力系、空间力系 等，也都同样成立。在计算力矩时，当力臂较难确定的情况下，用合力矩定理计算更加方便。例2 图1-44a所示圆柱直齿轮的齿面受一啮合角a =20°的法向压力Fn=1 kN的作用,齿面分度圆直径 d = 60 mm

50、。试计算力对轴心 O的力矩。解1 :按力对点之矩的定义，有dM°(Fn) Fnh Fn cos28.2 N m2解2:按合力矩定理将Fn沿半径的方向分解成一组正交的圆周力Ft=f与cos a与径向力Fr= Fn cos a 。有Mo (Fr) = Mo (Fl) + Mo (F2)=R r + 0 = Fn cos a r= 28.2 N - ma)b)图 1-44例3 一轮在轮轴B处受一切向力 F的作用，如图1-45a所示。已知F、R、r和“求此力对轮与地面接触点 A的力矩。工程力学基础36图 1-45解：由于力F对矩心A的力臂未标明且不易求出，故将F在B点分解为正交的 R、Fy

51、,再应用合力矩定理，有Ma (F = Ma (Fx) + Ma ( Fy)Ma (R) =- FxCA=-Fx (OA - OC)=Fcos a (R - rcos a )Ma (R) = R rsin a=Fsin a rsin a.2=Frsin a2Ma (F) = Fcos a (R - rcos a ) + Frsin a=F ( r - Rcos a )例4 (教材例1-3 , P10) 例5 (教材例1-4 , P10)第八节 平面力力系的平衡方程1、平面一般力系的平衡方程(1)基本形式由上述讨论知，若平面一般力系的主矢和对任一点的主矩都为零，则物体处于平衡；反之, 若力系是平衡

52、力系，则其主矢、主矩必同时为零。因此，平面一般力系平衡的充要条件是Fr( Fx)2 ( Fy)2 0Mo Mo(F) 0故得平面一般力系的平衡方程为Fx 0Fy 0Mo(F)0上式满足平面一般力系平衡的充分和必要条件，所以平面一般力系有三个独立的平衡方程，可求解最多三个未知量。用解析表达式表示平衡条件的方式不是唯一的。平衡方程式的形式还有二矩式和三矩式两种形式。(2)二矩式Fx 0Ma(F) 0(3)Mb(F)0附加条件：AB连线不得与x轴相垂直。(3)三矩式Ma(F) 0Mb(F) 0(4)Mc(F) 0附加条件：A、B、C三点不在同一直线上。式(3)和(4)是物体取得平衡的必要条件，但不是

53、充分条件，读者可自行推证。(4)几个平面特殊力系的平衡方程A、平面汇交力系：平面力系中所有力的作用线汇交于一点的力系称为平面汇交力系。平面汇交力系结果为一合力，故自然满足式(2)的第三式，所以列平衡方程时只列其中的第一、第二式即可。B、平面平行力系：平面力系中所有力的作用线互相平行的力系称为平面平行力系。如果选择直角坐标轴时使其中一个与各力平行(如y轴)，则第一式自然满足，只要列其它两式即可。2、平面一般力系平衡方程的解题步骤(1)确定研究对象，画出受力图。取有已知力和未知力作用的物体，画出其分离体的受力图。(2)列平衡方程并求解。适当选取坐标轴和矩心。若受力图上有两个未知力互相平行，可选垂直

54、于此二力的坐标轴，列出投影方程。如不存在两未知力平行，则选任意两未知力的交点为矩心列出力矩方程，先行求解。一般水平和垂直的坐标轴可画可不画，但倾斜的坐标轴必须画。例1图1-46所示一圆柱体放置于夹角为a的V型槽内，并用压板 D夹紧。已知压板作用于圆柱体上的压力为 F。试求槽面对圆柱体的约束反力。解：(1)取圆柱体为研究对象，画出其受力图如图1-46b所示；(2)选取坐标系xoy；(3)列平衡方程式求解未知力，由汇Fx=0得：cos FNC cos 0(B)2 NC 2FNBsin fnc sin F 022由式(A)Fnb = FnCFnbFnc由式(B)2 sin 一2(4)讨论由结果可知Fnb与Fnc均随几何角度a而变化，角度a愈小，则压力Fnb 或 Fnc就愈大,因此，a 角不宜过小。b)图 1-462图1-47所示为一简易起重机。 利用绞车和绕过滑轮的绳索吊起重物，其重力G =20 kN ,各杆件与