二项式定理的推广及应用

1、二项式立理的推广及应用曲靖市麒麟高级中学 车保勇摘要二项式定理是在处理有关两个元素和的方幕问题时常常考虑到 的一个重要公式.深入研究二项式定理的推广及其用途，巧妙应用，能为 许多数学问题提供另类解法，同时解决一些难度较大的问题因此，进一 步探讨二项式定理的推广及应用仍是一项有意义的工作但前人得出的应 用范围仅局限于求值、近似计算、整除、求余数、证明不等式等方面，而 且在推广方面不够完善，笔者对二项式定理的推广作进一步完善，系统整 理已有用途，并给出一种前人尚未提及的用途：即用二项式定理处理特殊 极限问题.纵观全文，深入研究二项式定理的用途，不仅为一些数学问题 提供了另类解法，更重要的是拓宽了二

2、项式定理的应用范围关键词二项式定理推广方幕应用1引言二项式定理是在处理有关两个元素和的方幕问题时常常考虑到的一个 重要公式数式一项式定理表述为：(a + b)" = £C：a'rb", (n, r w N,0S) 它有着r-0十分广泛的应用，遍及初等数学和高等数学领域认真硏究问题的条件和 结构,把一些表面与二项式定理或推广定理无关的问题作适当变形，构造 出二项式定理或推广定理，再用其求解(证明),可使解题简洁明快巧妙 应用二项式定理或推广定理，不仅为许多问题提供另类解法，还能解决一 些难度较大的数学问题因此，把二项式定理进一步推广完善，并充分研 究其用途，

3、拓宽其应用范围，仍是一件有意义的工作.2问】的提出虽然学者们对二项式定理的推广及应用的研究取得了丰硕的成果，但 已有成果都存在两个不足方面：一是推广不够完善；二是应用范围不够 广针对此情况，笔者试图将其推广进一步完善，系统整理已有用途，并 提出新的用途,拓宽其应用范围.3二项式定理的推广二项式定理是在处理有关两个元素和的方幕问题时常常考虑到的一个 重要公式数式二项式定理表述为：(a + b)" =+ Ca'b + + C,t/n-rZ?r + + Cb" = £ Crnanrbr, (“, r e N ,0 < r < n)r-09其中Tr+I

4、=C>-7V叫做二项式的通项公式，C；=叫做二项式系数 r!(/7-r)!若令.则C：=三，(耐eN,且r+q二n)3.1推广一在实际应用中，除遇到二项式外还常常遇到多项式问题，为便于应用，现将其作推广.先考察二项式(a + b + c)" (mN)的展开式：(/ + /? + c)" = (a + b) + cH= + G； (a+b厂 cr + =.+c： (.+qt_ranr-qbq+.)(/+若令n-r-q = p，便得到二项式(a+h + c)n(n e N)展开式通项公式： WtRT/'cX”,。" e N且p+q+r二n),其中C：C&

5、#187; ="=斗叫三项式系数r!u?-r)! q!u?-r-q)! r!q!p!类似地可得四项式(a + b + c + d)n(n e N)通项公式为n I;apbqcrdsp.qjs e N且p+q+r+s二n) /”!q"!s!其中_称四项式系数.于是猜想m项式定理为：“!g!r!s!定理1 (旳+勺+ + )"=工 f苗苗心,(L，”wN,k = l,2,，加).nn Z1 虬!叫！在证明之前，先分析一下上述定理的结构如果像卫、三项那样展 开求和或用归纳法证明，显然十分繁琐，于是考虑用排列组合知识进行证 明证明 设（q +a2，协忙心，它的一般项可以这

6、样得到，从"个式子（勺+°2+ + ），（5 +°2+ + £“中由q个式子里取"有 C：种方法，再由剩下的斤个式子中选2个式子取有昭种方法，依次类 推，从最后的一也=,；”个式子中选入有 d-f种方法于是选 取这加个元素总共有C：iC；.CtLLf种方法，将所得元素相乘即为 "逋心t因此一般项系数为m 虫，,几）=w ctkF巳壁刃沪成立,r-0_”！Or）! （”_斤卡汕）!(17)(1+“宀疋+.+Q”)=1+:”+扌疋+ 其中=1+(£_1)“(畀_门疋+.+(罗_二)罗严那r+i _ 伙 + 1)伙 + 2)(k

7、+ f) r+| _ (A: + f) !丿+】=A =Arklrl(A + /)伙 + l)(j+i) r+l=A<(r + l)vr+,因为lim(r + l/V+1 =0 z所以 lim*+,xr+,=0 ,所以艸(1-劝(1 + 匸"+ 罗/+/+. + ：”) = (1-沪，两边同时除以l-x得 徑（1 + 匸卄罗/+/+.+小=（1-兀）-如）， 即当“ = k + l也成立综上所述，定理成立3.3推广三设加ni ,对于多项式(1+兀+工+. .+疋)"= N，约定展开式中含“项的系 数幻=佥(心)卫/易得 ®=/i(” J)0 =C< 定

8、理 3 设(1 + x + 十)"=a0 + ax + a2x2 + +a2nx2n ,则(1) ；J-0(2) q +d?+°5+. + d2”_i =°2+。4+ + °2” ；(3) a()+ (“ + “6 + =q + “4 + °7 + "="> + a<5 + “8 + =3" 1 ；(4) 当“为可数时,4)+“4 +血+=“2 +“6+如0 +；(5) 当"为偶数时,«|+a5+<79+* = a3+«7+«!+.证明 若令X=±

9、1 ,则可得结论(1)和(2)成立(3)令 x = 0(" = i)则有7In Cd()+ + “2口血=0 r艮卩 (d。+ “3 + +) + (q + “4 + )fy + (。2 +。8 + =0 , 由复数相等的定义可知结论(3)成立下面证明结论(4)和(5):令兀曰则有ih = CIq + cii + 么2厂 + + 么2口厂打 /整理可得(5 +。4 +“8 +)一(。2 +“6 +"】()+) +(5 +色 +“9 +)一(。3 + “7 +6/11 + )"=尸 当”为奇数时，上式右边为纯虚数，所以左边实数部分为0 ,即结论(4)成立; 当为偶数

10、时，上式右边为实数，所以左边虚数部分为0 ,即结论(5)成立. 4二项式定理的应用二项式定理是代数中的一个重要定理，恰当应用二项式定理和其推广 定理可使一些复杂问题简洁化，困难问题简单化4.1在求值问题中的应用巧妙运用二项式定理可使一些看似十分困难的求值问题简单化.例1用”表示实数;V的小数部分，若= (5/13 +18)",则心的值为 多少？分析：此题表面看较为困难，但若能发现0<5713-18<1 ,且(5713 + 18)(5-18) = 1 ,便能迎刃而解解 令“(5庐-18)",因为(5V13-18)e(0,l),所以必(0,1), 由二项式定理有a

11、= (5 伍 +18)"=第(5伍)"+ C, (5 VB)98 x 18 + +匚(5伍严 x 1 & + +協(513)x189S+C18",b = (5>/13-18)"=第(5 伍)99 -C(5x/i3)98 x 18 + +(-l)r Cj (5)"_r x 1 & + +協(5屈)x 1 巒一耸 1 巒， 因为°= 2础(5応严X 18 + .+空18"是正整数， 所以何="/所以a a = (5 V13 +18)" (5>/13 -18)" = l(5

12、>/13 +18)(5>/13 -18)" = 1 在挖掘出倒数关系(5713 + 18)(5713-18) = 1的基础上，巧妙构造 /. = (5Vi3-18)w来替代何是顺利解题的关键例2若(l+X + 疋严的展开式为4)+% + (#+皎00严0 z求 绻+色+心+呗的值(2001年全国高中数学联赛题)解令X = 1 ,可得，3"XX)=珂)+ 4 + °2 + + “2000 ； (1) 令x = co ,可得,0 = (Iq + dQ + CCD + + “2000。/(其中力=-占+耳j，则6? = 1，且 "+少+1 = 0)

13、;(2)令x ,可得0 = 6/0 + cico + u-)co + +x> ； (3)以上三式相加可得310<)<)= 3(00 + 他 +。6 h 1998 ) /所以 4) +6 +“6 + * * * + 1998 = 3八"对求有关二项式系数和的问题，常用赋值法一般地，多项式门劝的 各项系数和为/，奇次项系数的和为-/(1)-/(-1);偶次项系数和为2*/(1)+/(一1)4.2在近似计算问题中的应用求近似值问题常把二项式定理展开，根据精确度决定所取项数可使计 算简捷例3求(0.997)5的近似值(精确到0.001)分析：(0.997)5=(1 0.00

14、3)5 ,简单构造二项式定理模型，展开按精确度要 求取前两项计算便得符合条件的结果解 (0.997)5 = (1-0.003)'=1 - C； 0.003 + C； (O.OO3)2C； (O.OO3)5«1-5x0.003 = 0.985 4.3在整除与余数问题中的应用二项式定理是解决整除和余数问题最有效的策略之一例4试证大于(1 + Q叫疋N)的最小整数能被2刈整除(第六届普特南数学竞赛题）分析：由（1 + Q”联想到其对偶式（1 Q2壮©I）,考虑二者之和即可. 证明因为0<1-<1 ,所以（1一折）2壮（0,1）由二项式定理可得（1 +（1一 J

15、5）2” =2（3” +C；3”t +.）是偶数，记为2k（k已N）,则大于（1 + Q"的最小整数为又因为2 = （1 + x/3）2n +（1-V3）2n = （1 + 苗尸 n（l- >/3）2n=2"（2+孙+（2-州,由二项式定理知（2 +孙+（2-孙是偶数,记为2kg N）,所以2k = 2”化即命题得证.例5今天是星期日，再过10-天后是星期几？分析：此题实质是求1（T除以7后的余数问题解 10,l,o=1005<, =（98+2）50=C；）°98'° + C*O9849x2 + -. + C98x249 + C250

16、 ,因为前50项都能被7整除，只需考查兰除以7所得余数.250 =4x248 =4x816 =4x（7 + l）16= 4C汀6+©7巧+ C；7 + C；：于是得余数为4 ,故10“”天后是星期四4.4在不等式问题中的应用利用二项式定理证明不等式，是二项式定理的一个重要应用一般情 况，在二项式展开式中取舍若干项，即可将相等关系转化为不等关系，从 而获得相关不等式特别在有关幕不等式和组合不等式方面有独特作用例6 求证:25（1 +丄）"53 占,0疋”）证明由二项式定理得=1 +1 + C; - + >2又（i+y+c冷+c：*+.+c；占=2 + 丄（1 一丄）+

17、丄（1 一丄）（1-?） + + 丄（1 一丄）（1 一？）（1巴二!） 2! n 3! n n n n nnr 111< 2 + + + ?!干1川1S 2 + + + -r + + -弓2223 2心"-干根据实际需要进行实际取喬相关项是这类题的关键例7设心疋,z ,求证:斗织字r乙乙分析：设a = s + d , b = s-d , （s,deR且s>）,则a+h = 2s ,再用一项式定理解题证明 设 a = s + d , b = sd , （s,化片且s > d）,于是有a" +b” =（$ + ）"+"-）“=2（cy+c

18、y2j2+.>2sn ；a+b = 2s ,a， + b"、2s" a+ b ”-；-n = r =l2 2 2又因为所以即题目得证.此题表面看似乎与二项式定理无关，但做换元后便露出其本质它的 结论也可以写成片厶竽在高中数学教材不再介绍数学归纳法的情 况之下,二项式定理是证明这一不等式简捷且有效的途径&均例8设心疋,且1 + 1 = 1 .求证:对每个自然数皿“都有a b + b）"-a"-bll>22n-2l,+i（1998年全国高中数学竞赛题）分析：因为gbw疋t且丄+丄=1 ,所以皿； a b(a + b)n-anbn =| (

19、anlb+abn-' )C* + (an2b2 + a2bn2 )(?；+ + (abnx + 严 b)C；J 再利用均值不等式求证.证明由=丄 + N 2_ => Jab > 2 ,a b y/ab及二项式定理得 a + b)n-an-bn=cy + C；Z + + C；“I严 + C；：b” - an- b1'=Canlb + C；a'-2b2 + + C；3b" + C；lab"-'=-(an-lb + ab"-l)C；, +(an2b2 +a2bn2)C； + + (“"" +Z)C：“2n7

20、F(c；+c；+.+c,)>2n(2n-2) = 22n-2n+,本题一般用数学归纳法证明，但用二项式定理结合基本不等式证明更简捷 明快.4.5在多项式问题中的应用在实际应用中，除遇到二项式问题外还常常遇到多项式问题，利用推 广定理可使解题方便快捷.例10求(3x + 2y-z)7的展开式中含宀的项.解 直接应用推广定理1有(3“2)，-沪的展开式中/叼项为71一 (3x)3(2y)2(-z)5 =-378x3/z5 .3!2!5!例11求(2a；-x-1)8中F的系数.分析：直接展开项数太多，显得冗长复杂，利用定理1可快速解决解 (2x3-x-1)8 的通项为(2x)/,(-x)<

21、;/(-l)r = 2p(-l)r pqrpqr于是有方程组2/? +(/ = 4,p + q + r =其非负整数解为P = q = 2 , <故(2)8中F的系舉/r = 58!P = 2 q = 0 r = 62° (- l)s -21- + 2(-1)7 + 22 (-1)6 = -154 0!4!4!1!2!5!2!0!6!5结论本文首先将二项式定理进行推广，然后系统整理了二项式定理已有的 用途，同时提出不同于前人成果的用途，即求解一些特殊极限问题再以 典型实例说明了二项式定理有着十分广泛的应用二项式定理在中学教材中占有的篇幅并不大，但其有着十分广泛的应 用，可以从初等数学跨到高等数学中，可使一些困难问题简洁化.深入挖 掘二项式定理及推广定理的应用，不但为教师教学提供参考，提供一种新 的解题途径，且拓宽了二项式定理的应用范围本文存在着两方面的局限：一是推广没有从本质上突破前人的成果， 只