高三期中理科试题参考答案及评分标准

1、高三期中理科试题高三期中理科第2页共7页1.5,92.四3.4.匚1,25.28.纟9.cosx10.f-oc,211.125212.n 13.【0,214.(111 -oC , 131 2-tT15.解：(1)vm =(b , cosB )，n = (2a c , cosC ),m / /n ,6. 8bcosC =(2a c posB .7.216. sin BcosC =2sin AcosB -sinCcosB ,即 sin BcosC +sinC cosB =2sin AcosB , sin(B + C )=2sin AcosB , - sin A =3sin AcosB ,1 又 s

2、in A 工0cosB=-.2又 B 忘(0 ,n B =3sin A +sin C =sin A+sin (互一A )=sin A + cos A +-sin A =3sin A +色cosA = 73 !国sin A +-cosA=73sin (A +n 22V22 丿'6兀J 2 nn J n 5 n. B=,0，- , A+, 33666- sin (A + n 户(-,1 6 2- sin A + sinC的取值范围是 f弓，73证明：(1)v三棱柱 ABC-ABiG的侧棱垂直于底面,-AAi 丄面 Ai BiG . AAi 丄 AiBi .在三棱柱 ABC ABG 中，NB

3、AC =90° , NB1AC1 =90 , ACA1B1 ./ AA1CAC1=A , AAU 面 ACC1A1, A1C 面 ACC1A1, AiBi 丄面 ACCiA ./ ACS面 ACGA ,10分12分14分二 ABi 丄 AG .5分高三期中理科 第2页共7页（2）取AC的中点D，连结ND , AiD .点 N , D 分别是 BC , AC 的中点， ND /AB ,1且 ND =AB .2在三棱柱ABCABiC中，M是ABi的中点,- AM / /AB ,且 AiM =1AB .2Bi/AiMCi- ND/AM ,且 ND =AM ,四边形AiMND是平行四边形./

4、 AiDU 面 ACCiAi , MN<t 面 ACCiAi, MN /平面 ACGA .i0分解：（3）以点A为空间直角坐标系原点， 建立如图所示的空 间直角坐标系.由题，A(0,0, 0 ), M(1,0, 2 ), N(1，2,0 ),AM =(1,0, 2 ), AN =(1, -,0 ).设；=（x,y ,z堤平面MAN的法向量，则£丽0，即 r"2001 AN =0X +2 yI则 0=(2 , -4 , -1 )是平=0，取 一1 ,面MAN的一个法向量.12分由题，AA丄面ABC，故e2 =AA =（0,0 2 ）是平面严? 02-2cos 01 ,

5、/ 硏妬 X221由图可知，二面角M - AN - B的余弦值为姮2i17(i )由 Sn = (t myN（第i6题（2）图）_>DzAiCiMBi/仇! VI / 认/洋一DyC（第16题（3）图）xNBAN的一个法向量.ai =Si =2t 中114分a2 =S S =(6t +1 )(2t)=4t +1 .高三期中理科第6页共7页因为等差数列an的公差d =1，故a2 -a1 =1,即(4t+2 )(2t +； )=1，解得 t=2 .所以首项a1 =2t +2=3 .所以 an 諾+(n 1)X1= n+1 .（2）由（1）知 t =；，故 Sn =2n2 +n .故bl =2

6、 n +2n n所以Tn(n +2)n +2丄2+片4)+5 鬥>6+(3-22n +3(n 则n+2)-23 >1，即 k2 -k -4 >0 , (k +V(k+2n+1叫一n+211分<7或2凹口 .2 2 "N* ,k 33，即k的最小值为3 ._ a_5所以，f(X )=ax +374 -X ,55解得因为所以18.解：（1）13分15分据题意可知,X、=- X +3 J4 -x .5定义域为0,4 .(2 )令 t=4X，则 t壬 10,2 , X=4t2 .故f(X )=旦X5+_ J4 -x5+3t+4a，55记 y = at25W 0,2 .

7、由a ：>0可知，二次函数y =at2555当0 C 3 <2时，即2a亠3、ja'丿a3时，二次函数4+_4a开口向下，对称轴t=2 .2a+ 4 a在！ O,"3 上递增5 I 2a 丿at2+3t55在！ ,2 1上递减，故当时,2aymax4=-a5+2,20a即当x=4-上i时,4af(X max =754a+旦；20a10分当>2时,2a即0 caW3时，二次函数4y=-t2 +mt+4a在(0,2 )上递增，故555高三期中理科第10页共7页13分当 t =2 时，ymax6，即当 X=0 时，f（Xhax£ .55综上所述，当0 c

8、a兰-时，全部投资乙种商品 4万兀时，所得总利润最高，最高值为f"45万元；当最高值为a？时，投资甲种商品4-2 万元，乙种商品 2 万元时，所得总利润最高, 44a4a4a +2万元；520a15分佃.解：（1）当a =0时，f（x）=xl nx,定义域为（0 , +处）.1f'(x)=lnx+1，令 f'(x) = 0,可得 x=-x(0,-) e1 e1（-，代） ef'(X)一0+f(x)单调递减极小值f c）e单调递增列表:11所以，函数f（x ）的最小值为f（' ）=-1 .ee（2 ） 由题意可知，导函数 f'（x 在 （0，+比

9、）上有两个不同的零点Xi , X2 .即f '（X ）=ln X 2ax +1在（0, +处）上有两个不同的零点xi ,X2 .记 y=f'(x) = lnx-2ax+1 , (0，+比)，y'=-2a, x（i）当a兰0时，y' >0, y =（x ）在（0，+处）上单调递增,故 f，（x 在 0,+比）上至多有一个零点，不符题意；1（ii）当a:>0时，令y'=0，可得x=，列表:2aX（0，+）2a12ay'+0一y单调递增极大值y （才）单调递减1所以，当x=时，y = f'（x取最大值.2a要使得f'（x）

10、= l nx2ax +1在（0，+乂）上有两个不同的零点 为,x?,1则 y()>0,2a11111即 In -2a +10, In 一 >0 , 一 >1 , Oca.2a2a2a2a2110分综上(i)(ii),实数a的取值范围是0ca c1 2由题意，k=f0Ff(X2)= X1(In 一込宀。nX2_aX2Xi -X2Xi -X222(X1lnx1 X2ln X2 )(ax1 ax? ) x1In -x2 Inx2( *)=afx + X2 ).()X1 X2X1 X2由可知，f'(x) = l nx2ax+1在(0，+处)上有两个不同的零点 人,x?,即 I

11、n Xi =2axi 1;In X2 =2ax2 1 ,将式两边同乘以2Xi 得 Xi In Xi =2aXi 羽；将式两边同乘以2X1 得 In X2 =2ax2 -x2 ；将式-式得,X In xx2 Inx2 =(2ax12 -x (2ax/ -x = 2xx-(x -x2 ),2a(x12 -X22 (羽 一X2 代入(*)式，得 k ='a(X1 +% ) = a(X1 +x2 )1 .X1 X213分又 f '(xo )=ln Xo -2ax0 +1 =ln-a(为 +x2 )+1 ,所以 a (x1 +x2 )1 =1 n 为 2 冷一a( x +x2 )+1 ,

12、即 In 写=2a(X1 +X2 )2 .将式 + 式得，In X1 +1 nx2 =2a(X1 +X2 )2 .所以 In m=ln x1 +ln x ,2刖,X1 +X2,X1 +X2比 M 1 + 1 _c即 In=ln X1X2，故=X1X2，所以一+ =2 .22人16分X220.解：(1)由题意，(Sn+1 pn =(Si +1 R十,an >0 , S. > 0 .鱼=§匸口，即数列)§匚口 '为常数数列.an +anan又 a1 =1 ,二口=2，即 Sn =2an 1 .3分aian-Sn 卡=2an+ 1 .高三期中理科 第12页共7

13、页得， an + = 2a 2an，即 a =2an .数列aj是首项为Q =1,公比为q=2的等比数列，an=2n-.b? =a2 =2 , Q =a4 =8 .数列bn为等差数列,bn = n .(2 )由(门可得，冷n'n +2nn+1当nk2时，丑=上=2+丄1,Cnn 2n 2 2n2n数列cj从第2项开始依次递减.假设存在正整数 m , k, r ( m vk vr ),使得务,Ck, g成等差数列.由 Cm+CCk 可得，辭 一2 .( * )Ck(I)当 m>2 时，若 k-m>2，贝U C > -Cmm2mCkCm -2m +2如=2 + 2(m2L2 ,m +2m +2n C故+丄2 , (*)式不成立，所以k -m =1 ,Ck即 k =m +1 .10分CkCr设r=k+i(iN* )，即r =m +什i，则由数列qJ的通项可知,另一方面，由Cm+Cr=2Ck可得,Cr =2Ck Cm =2Cm+ Cm =2(m+1 ) m2m存在 m =2宀一i 一1 , k =2'十一i