苏教版高中数学必修二—学同步教学案立体几何直线与平面的位置关系

1、让学生学会学习1.2.3 直线与平面的位置关系第1课时至厦门与平面平行的判定【课时目标】1.理解直线与平面平行的判定定理的含义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理；2 .能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.1. 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种:ag关系直线a在 平面a内直线a与 平面a相交直线a与 平面a平行公共点后尢数个公共点有且只介-个 公共点没有公共点符号 表小a? aaCl a= Aa/ a图形 表小我们把直线a与平面a相交或平行的情况统称为 ，记作2.直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和 平行，那么这条直

2、线和这个平面平行.用符号表不'为 a?a, b? a且a/ b? a/ a.一、填空题1 .以下说法(其中a, b表示直线，”表示平面)正确的个数为 .若 a/ b, b? a,则 a/ %若 a/ a, b / a,则 a/ b;若 a/ b, b/ a,则 a/ a;若 a/ a, b? a,则 a/ b.2 .已知a, b是两条相交直线，a/ %则b与“的位置关系是 .3 .如果平面a外有两点A、B,它们到平面a的距离都是a,则直线AB和平面a的位置 关系是 .4 .在空间四边形 ABCD中，E、F分别是 AB和BC上的点，若AE : EB=CF : FB=1 ： 3, 则对角线

3、AC和平面DEF的位置关系是.5 .过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面为 个.6 .过平行六面体 ABCD AiBiCiDi任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBBiDi平行的直线共有 条.7 .经过直线外一点有 个平面与已知直线平行.8 .如图，在长方体 ABCDAiBiCiDi的面中：(i)与直线 AB平行的平面是 ;(2)与直线AAi平行的平面是 (3)与直线 AD平行的平面是 ,9 .在正方体 ABCD AiBiCiDi中，E为DDi的中点，则 BDi与过点 A, E, C的平面的 位置关系是 .二、解答题10 .如图所示，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，E、F分别

4、是棱 BC、CiDi的中点. 求证：EF/平面BDDiBi.11 .如图所示，P是？ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE ： EA= BF : FD . 求证：EF/平面PBC.能 力 提 升12 .下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出 AB /面MNP的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号 ）13.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于 AB ,在AE , BD上各有一点 P, Q, 且AP = DQ.求证PQ/平面BCE.(用两种方法证明)直线与平面平行的判定方法(1)利用定义：证明直线 a与平面“没有公共

5、点.这一点直接证明是很困难的，往往借助 于反证法来证明.(2)利用直线和平面平彳T的判定定理：a?a, a/ b, b? ”，则all a.使用定理时，一定要说明“不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行"，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完整.因此要证明 a/平面”，则必须在平面 a内找一条直线b,使得a/ b,从而 达到证明的目的.证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比例定理等.1.2.3第1课时直线与平面的位置关系直线与平面平行的判定答案知识梳理1 .直线在平面外 a? a2 .这个平面内的一条直线作业设计1 . 0解析 a? a也可能成立；a, b还有可

6、能相交或异面；a? a也可能成立；a, b还有可能异面.2 . b / a或b与a相交3 .平行或相交4 .平行 5. 0,1或无数6 . 12解析 如图所示，与BD平行的有4条，与BB1平行的有4条，四边形GHFE的对角线 与面BB1D1D平行，同等位置有 4条，总共12条.7 .无数8 . (1)平面 A1C1和平面 DC1 (2)平面BC1和平面 DC1 (3)平面BC和平面 A1C19 .平行解析 设BD的中点为F,则EF/ BD1.10 .证明取DiBi的中点O,连结OF, OB.11- OF 触2B1C1, BE 触2B1C1, .OF 瞅 BE.，四边形OFEB是平行四边形， .

7、EF / BO. EF?平面 BDDgBO?平面 BDD iBi, .EF / 平面 BDD 1B1.11.证明连结AF延长交BC于G, 连结PG.在?ABCD中，易证BFGs DFA .或=空=PEFA FD EA'.EF / PG.而EF?平面PBC,PG?平面 PBC,.EF / 平面 PBC.12 .13 .证明 方法一 如图所示，作 PM / AB交BE于M ,作QN / AB交BC于N,连 结MN .正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB , .AE =BD.又. AP=DQ, ，PE=QB.又. PM / AB / QN ,PM_ PE QN BQ , AB= AE5

8、 DC= BD ,.PM 瞅 QN.，四边形PQNM是平行四边形.PQ/ MN .又MN ?平面BCE, PQ?平面BCE, PQ / 平面 BCE .方法二 如图(2)所示，连结AQ并延长交BC(或其延长线)于K,连结EK._ DQ AQ _. KB/AD, .言=会 - AP=DQ, AE = BD , .BQ = PE.DQ APAQ AP=一.=一. . PQ EK.BQ PEQK PE又 PQ?面 BCE, EK?面 BCE,，PQ/ 面 BCE.第2课时直线与平面平行的性质【课时目标】 1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的 性质定理.2.能运用直线与平面

9、平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题.直线与平面平行的性质定理：经过一条直线和一个平面 ,经过这条直线的平面和这个平面 ,那么 这条直线就和交线.(1)符号语言描述： .(2)性质定理的作用：可以作为 平行的判定方法，也提供了一种作 的方法.一、填空题1 .已知直线1/平面%直线m? a,则直线l和m的位置关系是 .2 .若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面a的距离相等，且 A、B、CD/C a,则面ABC与面a的位置关系为.3 .若直线m不平行于平面 “且m?a,则下列结论成立的是 (填序号).a内的所有直线与 m异面；a内不存在与m平行的直线；a内存在唯一的直线与 m平行

10、；a内的直线与m都相交.4 .如图所示，长方体 ABCD AiBiCiDi中，E、F分别是棱 AA i和BBi的中点，过 EF 的平面EFGH分别交BC和AD于G、H,则HG与AB的位置关系是 .5 .直线a/平面 ”内有n条直线交于一点，则这 n条直线中与直线a平行的直线条数 为.6 .如图所不平面aCl 3= li , aCl产12 , 3rl产13, 11 / 12,下列说法正确的是 （填 序号）.11平行于13,且12平行于13；li平行于13,且12不平彳T于13；11不平彳T于13,且12不平彳f于13；11不平彳T于13,但12平行于13.7 .设m、n是平面a外的两条直线，给出

11、三个论断：m/n;m/ a;n/ a,以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题： .（用序号表示）8 .如图所示，ABCD A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱 A1B1, B1C1的中点，P是上底面的棱 AD上的一点，AP = a,过P, M, N的平面交上底面于 PQ, Q3在CD上，则PQ=.9 .如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC/平面 EFGH,BD/平面 EFGH,AC = m, BD=n,当四边形 EFGH是菱形时，AE : EB二、解答题10 . ABCD是平行四边形，点

12、 P是平面 ABCD外一点，M是PC的中点，在 DM上取一 点G,过G和AP作平面交平面 BDM 于GH ,求证：AP / GH .EFGH .11 .如图所示，三棱锥 A BCD被一平面所截，截面为平行四边形 求证：CD/平面EFGH.能 力 提 升12 .如图所示，在透明塑料制成的长方体ABCD AiBiCiDi容器中灌进一些水，将固定容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有以下命题：水的形 状成棱柱形；水面 EFGH的面积不变；AiDi始终水面EFGH平行.其中正确的命题序号 是.13 .如图所示，P为平行四边形 ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中

13、点, 平面PAD n平面PBC= l.(1)求证:BC/1;(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论.直线与平面平行判定定理和直线与平面平行性质定理经常交替使用，也就是通过线线平复杂的题目还可继续推下去.可有如线线平行行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，下示意图：I一 I在平面内作I八、.一一 经过直线作或找平线线平打 > 线面平打 >I丁1I或找一直线I式闺丁1I面与平面相交的交线第2课时直线与平面平行的性质答案知识梳理 a/ a平行相交平行 a? 32 aH b3rl a= b直线和直线平行线作业设计1.平行或异面2.平行或相交3.4 .平行解析 .E、F分别

14、是AAi、BBi的中点，.EF/AB.又 AB ?平面 EFGH , EF?平面 EFGH , .AB / 平面 EFGH .又AB ?平面 ABCD ,平面 ABCD n 平面 EFGH = GH , .AB / GH .5 . 0 或 1解析 设这n条直线的交点为 P,则点P不在直线a上，那么直线a和点P确定一个平面 3,则点P既在平面”内又在平面3内，则平面“与平面3相交，设交线为直线 b,则直线b 过点P.又直线a/平面/，则a/b .很明显这样作出的直线b有且只有一条，那么直线 b可能在这n条直线中，也可能不在，即这n条直线中与直线 a平行的直线至多有一条.6 .解析ll / 12,

15、 12? T, ll?Y,1 1 11 / 丫.又 11? 3, 3n k 13,1- 1 1 / 131-11/ 13/ 12.7 .？（或？）解析 设过m的平面3与a交于1.m / a, 1. m / 1, m / n, ，n/1,n? a, 1 ? a, n / a.8 - 232a解析 MN /平面AC ,平面 PMN n平面 AC = PQ,一，2a.MN / PQ,易知 DP=DQ=w， 3故 PQ = JPD2+DQ2 =#DP=W2a.39 . m ： n角军析 AC / 平面 EFGH , EF / AC, GH / AC ,EF = HG= m , 同理 EH = FG=

16、n BAAB EFGH 是菱形，m BE= n AE,.AE : EB=m : n.10.证明 如图所示，连结 AC交BD于O,连结MO , . ABCD是平行四边形， .O是AC中点，又M是PC的中点， .AP / OM .根据直线和平面平行的判定定理，则有PA /平面BMD . 平面 PAHGA 平面 BMD = GH,根据直线和平面平行的性质定理，PA / GH .11 .证明 二.四边形EFGH为平行四边形，.EF / GH.又GH?平面BCD , EF?平面BCD .EF / 平面 BCD .而平面 ACD n平面BCD = CD , EF?平面 ACD , .EF / CD.而 E

17、F?平面 EFGH , CD?平面 EFGH ,.CD / 平面 EFGH .12 .13 . (1)证明 因为 BC/AD, AD?平面 PAD, BC?平面PAD,所以BC/平面PAD.又平面 PAD n平面PBC=l, BC?平面PBC, 所以BC / l.(2)解 MN / 平面 PAD.证明如下：如图所示，取DC的中点Q.连结MQ、NQ.因为N为PC中点，所以 NQ / PD.因为PD?平面PAD, NQ?平面PAD,所以 NQ /平面PAD.同理 MQ /平面PAD. 又NQ?平面 MNQ , MQ?平面 MNQ , NQAMQ=Q，所以平面 MNQ/平面PAD.所以MN /平面P

18、AD.第3课时 直线与平面垂直的判定【课时目标】1.理解直线与平面垂直的定义.2.掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用.1 .如果直线a与平面a内的,我们就说直线 a与平面a互相垂直, 记作：.图形如图所示.2 .从平面外一点引平面的垂线，这个点和 间的距离，叫做这个点到这个平面的 距离.3 .直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条 直线垂直, 那么这条直线 于这个平面.图形表不：用符号表示为：一、选择题1 .下列命题中正确的是 （填序号）.如果直线l与平面a内的无数条直线垂直,则 l，a；如果直线l与平面a内的一条直线垂直，则 1，a；如果直线1不垂直于a,则a内没有与

19、1垂直的直线；如果直线1不垂直于 %则a内也可以有无数条直线与1垂直.2 .直线a,直线b, b,平面3,则a与3的关系是.3 .若a、b、c表示直线，”表示平面，下列条件中能使a, “为.（填序号）a,b, b± c, b? a, c? a; a, b, b / a;anb=A, b? a, a±b； a/ b, b± a.4 .如图所示，定点 A和B都在平面a内，定点P?a, PB± a, C是平面a内异于A和B 的动点，且PCX AC ,则4ABC的形状为 三角形.5 .如图所示，在正方形 SGiG2G3中，E、F分别是边 G1G2、G2G3的中点

20、，D是EF的 中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体 （如图使Gi、G2、G3三点重合于一 点G）,则下列结论中成立的有 （填序号）.SG，面 EFG; SD，面 EFG; GF，面 SEF;GD，面 SEF.6 . AABC的三条边长分别是 5、12、13,点P到三点的距离都等于 7,那么P到平面ABC 的距离为 .7 .如图所示，PAL平面ABC , AABC中BC LAC ,则图中直角三角形的个数为8 .在直三棱柱 ABCAiBiCi中，BC = CCi,当底面 AiBiCi满足条件 时，有 ABiBCi（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）.9 .如

21、图所示，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，M、N分别是棱 AAi和AB上的点，若/ BiMN 是直角，则/ CiMN =.二、解答题10 .如图所示，在正方体 ABCDAiBiCiDi中，E、F分别是棱BiCi、BiB的中点.求证:CF，平面 EAB .11 .如图所示，在四棱锥 PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F 分别是AB , PC的中点，PA=AD .求证：(1)CD，PD;(2)EF,平面 PCD.能 力 提 升12 .如图所示，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，P为DDi的中点，。为ABCD的中心, 求证BiO,平面PAC.13 .如图所示， A

22、BC中，/ ABC =90°, SA，平面ABC ,过点A向SC和SB弓I垂线, 垂足分别是 P、Q,求证：(i)AQ,平面SBC;(2)PQ±SC.1 .直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义.(2)利用线面垂直的判定定理.(3)利用下面两个结论：若a/ b, a± %则b± ”；若all 3, a± %则a± &2 .在线面垂直的问题中，通过直线与直线垂直，可以证明直线与平面垂直；直线与平面 垂直后，直线和平面内的任何直线都垂直.这样，就形成了线线垂直与线面垂直连环使用的 思维形式，它对解题方法、策略乃至人们的思

23、维，无疑都是一种提示.第3课时直线与平面垂直的判定答案知识梳理1.任意一条直线都垂直 a± a 2.垂足3 .相交 垂直 m, n? a, m A n= O, l ± m, l ± n? l ± a 作业设计1 . 2. a? 3或 a/ 3 3.4 .直角解析 易证AC上面PBC,所以AC ±BC.5 .解析P到平面7. 4由P到三个顶点距离相等.可知，P为4ABC的外又4ABC为直角三角形,ABC的距离为h=PD =解析PA,平面ABCBC?平面ABC? PA± BC ? BCL 平面 PAC? BCXPC, AC ±B

24、C，直角三角形有 PAB、APAC> AABC > PBC.8. /AiCiBi=90°解析如图所示，连结BiC,由 BC=CCi,可得 BCiXBiC,因此，要证 ABiXBCi,则只要证明 BC平面ABiC,即只要证ACBCi即可，由直三棱柱可知，只要证 ACLBC即可.因为 A1C1 /AC, B1C1/BC, 故只要证AiCdBiCi即可.（或者能推出 AiCBiCi的条件，如 /AiCiBi = 90°等）9. 90°解析BiCd面 ABBiAi, -BiCi± MN .又. MN ±BiM ,MN，面 C1B1M ,.-

25、.MN ±CiM ,CiMN =90°.10. 证明 在平面BiBCCi中，E、F分别是BiCi、BiB的中点，BBiEA CBF,BiBE= / BCF, ./BCF+/ EBC=90°, .1.CFXBE,又 AB，平面 BiBCCi, CF?平面 BiBCCi, .-.AB ±CF, AB A BE= B,，CF，平面 EAB.ii.证明（i）： PAL底面 ABCD , CDXPA.又矩形 ABCD 中，CDXAD ,且 ADAPA=A, .CD,平面 PAD , CDXPD.(2)取PD的中点G,连结 AG, FG.又二 G、F分别是PD, P

26、C的中点, 1，GF 触CD, GF 瞅 AE,四边形AEFG是平行四边形，AG / EF.,. PA=AD , G是PD的中点， AG XPD, EFXPD,. CD，平面 PAD , AG?平面 PAD. CDXAG . .1.EFXCD. . PD nCD= D, ，EF，平面 PCD.12.证明连结 ABi, CBi,设 AB =1.AB i = cb i = V2,. AO = CO, - BiOXAC .连结PBi.-OB2=ob2+bb2=3，ccc 9PB2=PD2+BiD2=",ccc 3OP2= pd2+ DO2=3,4，OB2+OP2=PB2.BiOXPO,又.

27、POnAC = O, ，BiOL平面 PAC.13.证明 (1).SAL平面ABC , BC?平面ABC , SAXBC.又. BCLAB , SA A AB = A , .BC，平面 SAB .又. AQ?平面SAB ,.-.BC ±AQ ,又AQSB, BC n SB= B, AQ，平面 SBC.(2)AQ,平面 SBC, SC?平面 SBC, AQXSC.又. APLSC, AQ A AP=A , .SC±¥面 APQ . . PQ?平面 APQ,PQXSC.第4课时 直线与平面垂直的性质【课时目标】 1.掌握直线与平面垂直的性质定理.2.会求直线与平面所成

28、的角.1 .直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线该定理用图形表示为：用符号表示为：.2 .直线和平面的距离：一条直线和一个平面 ,这条直线上 到这 个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.3 .平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面规定：若直线与平面垂直，则直线与平面所成的角是 .若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面所成的角是 的角.一、填空题1 .与两条异面直线同时垂直的平面有 个.2 .若m、n表示直线,m / n？ n, a；m± aa表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为m± a? m

29、/ n;n± am± a? m±n;n / am / a? n± a.m± n3.已知直线PG,平面 大小关系是a于G,直线EF? a,且PFEF于F,那么线段 PE, PF, PG的4. PA垂直于以AB为直径的圆所在平面， C为圆上异于A, B的任一点，则下列关系正确的是(填序号). PALBC;BC，平面PAC;AC，PB; PSBC.5. P为ABC所在平面外一点， 。为P在平面ABC内的射影.6. P到4ABC三边距离相等，且 O在4ABC的内部，则。是 ABC的 心；7. )若 PAXBC, PB± AC,则。是4ABC

30、的 心；8. )若PA, PB, PC与底面所成的角相等，则 。是4ABC的 心.6 .线段AB在平面a的同侧，A、B至Ij a的距离分别为3和5,则AB的中点到a的距离 为.7 .直线a和b在正方体 ABCD -A1B1C1D1的两个不同平面内，使a/ b成立的条件是.(只填序号)a和b垂直于正方体的同一个面； a和b在正方体两个相对的面内，且共面； a和b 平行于同一条棱；a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直.8 .在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，(1)直线A1B与平面(2)直线A1B与平面(3)直线A1B与平面ABCD所成的角是ABC1D1所成的角是AB 1C1D

31、所成的角是9 .如图，在正三棱柱 ABCAiBiCi中，侧棱长为 J2,底面三角形的边长为 1,则BCi 与侧面ACCiAi所成的角是 .（正三棱柱：侧棱与底面垂直，底面为正三角形的棱柱）二、解答题10 .如图所示，在正方体 ABCDAiBiCiDi中，M是AB上一点，N是AiC的中点，MN， 平面AiDC.求证：（i）MN /ADi；（2）M是AB的中点.11 .如图所示，设三角形 ABC的三个顶点在平面 a的同侧，AA '，”于A' , BB ' ± a 于 B' , CC'，a于 C' , G、G'分别是 ABC 和AA&

32、#39; B' C'的重心，求证： GG'，a.能 力 提 升12 .如图， ABC 为正三角形，EC，平面 ABC, DB，平面 ABC, CE=CA = 2BD, M 是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN /平面ABC .13 .如图所示，在直三棱柱 ABC AiBiCi中，AC ± BC , AC = BC=CCi, M , N分别是 AiB, BiCi的中点.(1)求证：MN,平面AiBC;(2)求直线BCi和平面AiBC所成的角的大小.1 .直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链 中，实现平行与垂直的相互

33、转化，即线线垂直？线面垂直？线线平行？线面平行.2 .求线面角，确定直线在平面内的射影的位置，是解题的关键.因为只有确定了射影的 位置，才能找到直线与平面所成的角，才能将空间的问题转化为平面的问题来解.第4课时直线与平面垂直的性质 答案知识梳理3 .平行 a± a, b± a? all b4 .平行任意一点5 .所成的角 直角 0°作业设计1. . 02. 3解析 正确，中n与面a可能有：n? a或n / a或相交(包才n n± a )3. PE>PF>PG解析 由于PG，平面a于G, PF± EF,，PG 最短，PF<PE,

34、 PE>PF>PG.4. 解析 PAL平面ABC,得PAX BC,正确；又 BCAC,，BC，面 PAC,.-.BC ±PC,、均正确.5. (1)内(2)垂(3)外6. 4解析 由直线与平面垂直的性质定理知AB中点到a距离为以3和5为上、下底的直角梯形的中位线的长.7. 解析 为直线与平面垂直的性质定理的应用，为面面平行的性质，为公理4的应用.8. (1)45 ° (2)30 ° (3)90 °解析(1)由线面角定义知 /AiBA为AiB与平面 ABCD所成的角，/ABA = 45°.(2)连ZAiD、ADi,交点为 O,则易证A

35、iDXW ABC 1D1,所以A1B在面ABC iDi内的射影为 OB,，AiB与面ABC1D1所成的角为ZAiBO, 1_C- A1O = 2A1B, / AiBO=30 . AiBABi, AiBBiCi,，AiB，面 AB1C1D,即 AiB 与面 AB1C1D 所成的角为 90°.9. 30°解析 取AC的中点E,连结CiE, BE,则/ BCiE即为所求的角.又由 BCi = V3,3BE=，1所以 sin/BCE=2，/BCiE= 30 .10. 证明 (1); ADD iAi为正方形， -ADi±AiD,又CD，平面 ADD 1A1, .-.CDXADi.-AiD nCD = D