北京导数专题汇编

1、海淀期中文科18.(本小题满分14分)已知函数f(x)ax 1(I)当a 1时，求函数f(x)的单调区间;(II)当a 0时，求函数f(x)在区间0,1上的最小值.答案18.(本小题满分14分)解：(I )当 a 1 时，f(x) J1 , x R e所以f '(x) -xv2e2 分由f'(x) 0得x 21 分f '(x), f (x)随x的变化如下:x(,2)2(2,)f '(x)+0f(x)/极大值2 分 所以f(x)的单调递增区间为(，2),单调递减区间为(2,) .1分(n)由f(x)ax得 ef'(x)ax a 1xex 0,1.1 分令

2、f'(x) 0, 因 为 a 0, 解 得1x 1 - 1.1分a当1 1V 0时，即K a。时，(*尸0对* 0,1恒成立， a所 以 f(x) 在 0,1 上 单 调 递 增 ，1分f(x)min f(0)1当0 1 1 1时，即a 1时，f'(x), f(x)在0,1上的情况如下: ax01 (0,1 -) a11 一 a1(1 一，1) a1f '(x)0+f(x)极小值/f (X)min,1f(1 -)a综上，当 1va 0 时，f (x)min 1；当 a 1 时，f(x)min q.1e a分海淀期中理科19.(本小题满分14分)1分已知函数f(x) ex

3、(x2ax a).(I )求f(x)的单调区间;(n)求证：当an 4时，函数f(x)存在最小值.海淀期末理科已知函数f(x) lnx a 1. x(I)若曲线y f(x)存在斜率为1的切线，求实数a的取值范围；(II)求f(x)的单调区间；(田)设函数g(x) 士/，求证：当1 a 0时，g(x)在(1,)上存在极小值 ln x答案19.(本小题满分14分)解：(I )由 f(x) lnx a 1 得 x1 a x a,f (x)2 2 (x 0).x x x由已知曲线y f(x)存在斜率为1的切线，所以f'(x)1存在大于零的实数根，即x2 x a 0存在大于零的实数根，因为y x

4、2 x a在x 0时单调递增，所以实数a的取值范围(-,0).(n )由 f'(x) Ja , x 0 , a R 可得 x当a 0时，f'(x) 0,所以函数f(x)的增区间为(0,);当 a 0 时，若 x ( a, ) , f '(x) 0 ,若 x (0, a) , f '(x) 0 ,所以此时函数f(x)的增区间为(a,),减区间为(0, a).In x - 1(田)由g(x) 士及题设得g,(x)x空，ln x(ln x) (ln x)由1 a 0可得0 a 1,由(II)可知函数f(x)在(a,)上递增,所以 f(1) a 1 0,取xe ,显然e

5、1,aaf (e)Ine10,ee所以存在x0 (1,e)满足f(x。)0,即存在小(1,e)满足g'(M) 0,所以g(x), g'(x)在区间(1,)上的情况如下:x(1,%)x0(%,)g'(x)0g(x)极小/所以当 1 a 0时，g(x)在(1,)上存在极小值.(本题所取的特殊值不唯一，注意到 0(x 1),因此只需要海淀一模18. (本小题满分13 分)已知函数f(x) x2 2ax 4(a 1)ln( x 1)，其中实数a 3.x 1 是否为函数f ( x) 的极值点，并说明理由；(n)若f(x) 0在区间0,1上恒成立，求a的取值范围.答案18.(本小题

6、满分13分)解：法1 ：(I)由 f(x) x2 2ax 4(a 1)ln(x 1)可得函数定义域为(1,),f '(x) 2x 2a 4(a 1)x 1_2_2x(1 a)x (a 2)x 12(x 1)x (a 2)x 1，由 f '(x) 0 得 X 1,x2 a 2 .因为a 3,所以a 2 1.当a 1时，a 21,所以f'(x), f(x)的变化如下表:x(1,1)1(1,)f'(x)0f(x)极小值/当1 a 3时，1 a 2 1,f'(x), f(x)的变化如下表:x(1,a 2)a 2(a 2,1)1(1,)f'(x)00f(x

7、)/极大值极小值/综上，x 1是函数f(x)的极值点，且为极小值点(n)易知 f(0)=0 ,由(I)可知， 当a 2时，函数f(x)在区间0,1上单调递减,所以有f(x) 0恒成立;当2 a 3时，函数f(x)在区间0, a 2上单调递增，所以f(a 2) f(0) 0,所以不等式不能恒成立；所以a 2时有f(x) 0在区间0,1上恒成立.法2:(I)由 f(x) x2 2ax 4(a 1)ln(x 1)可得函数定义域为(1,),f '(x) 2x 2a 4(a 1)x 12x2 (1 a)x (a 2)x 1令 g(x) x2 (1 a)x (a 2),经验证 g(1) 0,因 为

8、 a 3, 所 以 g(x) 0 的 判另I式22_2_(1 a)2 4(a 2) a2 6a 9 (a 3)2 0 ,说明：写明 (1 a)2 4(a 2) a2 6a 9 (a 3)2 0也可以由二次函数性质可得，1是g(x) x2 (1 a)x (a 2)的异号零点，所以1是f'(x)的异号零点,所以x 1是函数f(x)的极值点.(n)易知 f(0)=0 ,因为 f,(x) 2(x 1)x (a 2), x 1又因为a 3 ,所以a 2 1,所以当a 2时，在区间0,1上f'(x)0,所以函数f(x)单调递减，所以有f(x) 0恒成立；当2 a 3时，在区间0, a 2上

9、f'(x) 0,所以函数f(x)单调递增,所以f(a 2) f(0) 0,所以不等式不能恒成立；所以a 2时有f(x) 0在区间0,1上恒成立.海淀二模19. (本小题满分13 分)已知函数f(x) eax x .(I )若曲线y f(x)在(0, f(0)处的切线l与直线x 2y 3 0垂直，求a的值;a 1 时，求证：存在实数x0 使f (x0) 1.答案19.(本小题满分13分)解：(I ) f '(x) aeax 1 ,因为曲线y f(x)在(0, f(0)处的切线与直线x 2y 3 0垂直，所以切线l的斜率为2,所以 f'(0) 2,所以a 3.(n)法1:当

10、a 0时，显然有f(1) ea 1 0 1,即存在实数Xo使f(Xo) 1;当 a 0,a 1 时，由 f'(x) 0可得 x -ln-, a a所以在x (Jln1)时，f'(x) 0,所以函数 设)在(ln3上递减；a aa ax (1ln-,)时，f'(x) 0,所以函数f(x)在(Ln，)上递增 a aa a所以f(l|n1) 1(1 In a)是f(x)的极小值. a a a由函数f(x) eax x可得f(0) 1,由a 1可得lin 1 0 , a a所以 fpin1)f(0)1 ,a a综上，若a 1,存在实数小使f(%) 1.(n)法2:当a 0时，显然有f(1) ea 1 0 1,即存在实数X0使f(%) 1 ;当a 0,a 1时，由f'(x) 0可得x 1ln， a a所以在x ( Jin1)时，f'(x) 0,所以函数 设)在(，1 in【)上递减； a aa ax (1ln-,)时，f'(x) 0,所以函数f(x)在(1ln，)上递增. a aa a所以f(1in 1) -