函数奇偶性的六类经典题型

1、奇偶性类型一：判断奇偶性 例1判断下列函数奇偶性1 1y =+ (1) 广一 12(厘:0且值二1)(2) I J(3)- -1 - -1 + sin r- GO5 Sy =：(4)一 ，.一 (5) 解：(i)1 2-1 + = - C2%*'1 - 4'+ 1 - 1 1-4- - = + /2 a1 -12奇函数(2) xwR ,关于原点对称/(-浦=3(-工+,1 + /)二感 7=兀十41+天=ig(A+Vi7Prr1 =/(#)奇函数(3)心一1，关于原点对称=/W = -/W= o(4)考虑特殊情况验证：既奇又偶丁无意义非奇非偶(5)五匕尺且五注0 ,关于原点对称

2、一、 ,1 L . 2x 121，尹_一万，八G为偶函数类型二：根据奇偶性求解析式1.函数f(x)在R上为奇函数，且 x>0时，f(x)=yx+1,则当 解析：: f (x)为奇函数，x>0时，f(x)=dX+1,，当 x<0 时，一x>0,x<0 时，f (x) =f(x) =-f(-X)=- (+1),即 x<o 时，f( x)=(7一 x +1)= y - x i.答案：-i2.求函数尸二/(#的解析式(1) N =，(工)为R上奇函数，XV。时，工1二皿41 , 解：五。时，f(x) = -/(-a)=-f-x)a - gin(-x) + 1 = -

3、sm x-1=. /(Q) = 0-2-4小一1SUI X 1 A > /(x) = 0x- 0-一物m(2) A =/(工)为R上偶函数，了之0时，/(行口-血x + 1 解：苫时，(X)=，(-T)=(一工> 一剑(一工)+1= / +出 1 + 1x 3U1 r +1 x > 0/二m . 1nx +sin n+ 1 a < 0类型三：根据奇偶性求参数1 .若函数f(x)= xln(x+jax2 )为偶函数，则 a=【解题指南】f(x)= xln(x+Ja x2 )为偶函数，即y ln(x Ja x2)是奇函数,利用f( x) f (x) 0确定a的值.【解析】由

4、题知y ln(x ja_x2)是奇函数，所以 ln(x Vax2) ln( x va?)=ln(a x2 x2) In a 0,解得 a=l.答案：1. x+ 1x+ a2 .函数f (x) =3为奇函数，则a=.x解析：由题意知，g(x) =(x+1)( x+a)为偶函数，a=- 1.答案：13 .已知f(x) = 3ax2+bx 5a+b是偶函数，且其定义域为 6 a1, a,则a + b=()B. 1C. 11解析：选A 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a1 + a=0,所以2=7又f(x)1 .一.、 ,一一一99.一,一一一1为偶函数，所以 3a( x) - bx-5a+ b=

5、 3ax + bx-5a+ b,解得 b=0,所以 a+b=,.4.若函数f(x) = x2 |x + a|为偶函数，则实数 a=.(特殊值法)2斛析：由题思知，函数 f(x) = x |x+a|为偶函数，则f(1) = f( 1), . 1 |1 + a| = 1 | 1 + a|) a= 0.答案：0x2+x,xW0,5 .已知函数f(x)= ax2+bxx>。为奇函数，则a+b=.(待定系数法)解析：当x>0时，x<0,由题意得f ( - x) = - f (x),所以 x2-x= - ax2 bx,从而 a= - 1, b= 1, a+ b= 0.答案：0m6 . (

6、1) / = J(M)= 1+1,端为何值时，工)为奇函数;(2)y = (月(方+援)门l为何值时，为偶函数。一、一 m . ma1 1 + (m- Qdt?/O = 1 += 1 += 答案：(1)值- 11 一值'1一口*P-1 (恒等定理)酒=2时，y - /(工)奇函数sin a cosz- cos a sin sin a-fl- sin z(恒等定理)2sin 7T- cos<x= 0 coscr = 3f(x)7.已知定义域为 R的函数(I )求a，b的值；(特殊值法)(n)若对任意的t R ,不等式解析：(I)尚解|取特殊值法2x2x1f(t2ba是奇函数。2t)

7、 f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围;因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0, 0 b即a 21 f(x)1 2x a 2xa 2.又由f (1)=-1 2x11f (x) _ -x 1 二 Tx(n)由(I)知2 22 21 ,为减函数2又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(t 2t)- 2_2_2等价于 f(t2t)f (2tk) f (k 2t ),因f (x)为减函数，由上式推得：2_ 2t 2t k 2t.易知f (x)在(f(2t2 k) 02一即对一切t R有：3t 2t k 0,从而判别式412ko k类型四：范围问题1 .已知f(x)是定义在R上的奇函数，当 x>0

8、时，f(x) =x2+2x,若f(2 a2) >f (a),则实数a的取值范围是()A.(巴1) u (2 , +oo)B . (-1,2)C. (2,1)D ( 一 oo2 ) U (1 , +oo)解析：选 C ，7(*)是奇函数，当 x<0时，f(x)=x2+2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由 f (2 a ,、1 一.f (x)>0 时,x>2或2Vx<0.即满足f (x)>0的x的集合为 11x 2<x<0 或 x>2) >f (a),得 2 a2>a,解得2vav1

9、.12 . te义在R上的奇函数y=f(x)在(0 , +°°)上递增，且f 2=0,则满足f(x)>0的x的集合为1解析：由奇函数y=f(x)在(0 , +°°)上递增，且f a =0,得函数y=f(x)在(00,10)上递增，且f 2=0,1 1答案：x 2<x<o 或 xq3 .已知函数 g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)=ln(1 x),函数f(x) =X3, xW0,若f (2x2)>f (x),则实数x的取值范围是()g x , x>0,A. ( 8, 1)U(2 , +oo)C. (1,2)B

10、.(巴2) U (1 , +oo)D . (-2,1)解析：选D设x>0,则x<0. x<0 时，g(x) = ln(1 -x),g( -x) =- ln(1 +x).又 g(x)是奇函数，g( x) = ln(1 +x)( x>0), f (x)=x3,Inx< 0,1 + x,x>0.其图象如图所示.由图象知，函数f(x)在R上是增函f (2 - x2)> f (x) , - 2-x2>x,即一2<x<1.所以实数x的取值范围是(一2,1).4 .定义在R上的奇函数f(x),当xC(0, +8)时，f (x)=log2x,则不等式

11、f(x)<- 1的解集是.一 1x 0<x<2,或x<2 解析：当 x<0 时，一x>0,.f (x) = - f ( -x) =- log 2( -x), log 2x, x>0,.f(x)= 0, x=0,一log 2( - x) , x<0.x>0,.f (x) < - 1log 2x< 1x=0,x<0,或或0<一 1一 log 2( x)< 一 15.已知f(x)是奇函数，且当x<0时,1-0<x< 2或 x< 2.f(x) =x2+3x+2.若当 xC1 , 3时,n<

12、 f(x) < m恒成立，则 m- n的最小值为()B. 21D,4解析：选A.设x>0,则x<0,+ 3x 2.所以 f(x) = - f ( - x) =- ( - x)2 + 3( - x) + 2 = - x23一.111所以在1 , 3上，当 x=2 时，f(x)max= 4；当 x=3 时，f ( x) min= 2.所以 m> 且 nW 2.故 m- n> 9. 46.已知f(x)是定义在 2,2上的奇函数，且当xC(0,2时，f(x) =2x1,又已知函数g(x)2=x 2x+m如果对于任意的 xiC2,2,都存在x2 - 2,2,使得g(x

13、87; = f(xi),那么 实数m的取值范围是.解析 由题意知，当x -2,2时，f(x)的值域为3,3.因为对任意的xiC2,2,都存在x2C 2,2,使得g(x2) =f (xi),所以此时g(x2)的值域要包含3,3.又因为g(x) max =g( -2) , g(x)min= g(1),所以 g(1) w 3 且 g( 2) >3,解得5< me - 2.类型五：奇偶性+周期性(x)是定义在 R上的奇函数，满足xf (x+2) =f (x),当 xC (0,1 )时,f (x) = 2 2,则f( logi 6)的值等于().2A. -4 B . -7 D 32解析：f

14、( log 1 6)2=-f ( log 1 6) = f (log 26)2=-f (log 26-2)6 26 c=(2log 2 2) = 421=2,故选c.2.定义在R上的偶函数f(x)满足对任意xC R,都有f(x+8) =f (x)+f(4),且xC 0,4时, f(x) =4-x,则 f(2 011)的值为.解析：f(4)=0, . f (x+ 8) = f (x) ,T= 8,.f (2 011) = f(3) =4-3= 1.类型六：求值11 .已知函数f(x)是定义在(一2,2)上的奇函数，当 xC (0,2)时，f(x) =2x-1,则f log2-3的值为()A. -

15、 2 B.2 C . 2 - 13解析：当 x (-2,0)时，-x (0,2),又,当 x (0,2)时，f(x) =2x1,，f( -x) =2-x1,又因为函数f(x)是定义在(一2,2)上的奇函数，f( x) =f(x) =2 x 1,.xe (11i .11.1cl°g23W.2,0)时，f(x) =1-2x.- 2<log2 3<0, . f(log2 3) = 1 2 3= 2.故选 A.答案：A2 .已知f(x)为奇函数，g(x) =f(x) +9, g(2)=3,则f(2) =.解析：根据已知 g( 2)=f( -2) + 9,即 3= f(2) +9,

16、即 f(2) =6.答案：63 .设f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=x+ex(e为自然对数的底数)，则f (ln 6) 的值为.由 f(x)是奇函数得 f(ln 6) =- f( -ln 6) = - ( -ln 6) e 1n 6 = In 6 -1.-1答案：ln 6 -6x1 C5.设函数f(x) xln(ex 1) -x2 3,x t,t(t 0),若函数f (x)的最大值是 M最小值是 2mi 则 M m .分析：本题是一道自编题，学生不假思索就会想到对f(x)求导.事实上，理科学生，求导得xf'(x) ln(ex 1) 1J x ,无法找到极值点，而文科学生不会对这个函数求导.因ex 1 C此，须从考祭函数 f(x)的性质下手，事实上，令 g(x) xln(ex 1) x2,易求得g( x) g(x),所以g(x)是奇函数，所以 g(x)的最大值与最小值之和是0,从而f (x)的最大值与最小值之和是6.答案是：6.6.已知定义域为 R的函数f (x) 2a ac0sx 3sin x (a、be R)