合工大电磁场与电磁波答案

1、第6章习题答案6-1在r 1、 r 4、0的媒质中,有一个均匀平面波,电场强度是E(z,t)Emsin( t kz )3假设f 150 MHz,波在任意点的平均功率流密度为0.265 w/m2,试求:(1) 该电磁波的波数 k ？相速Vp？波长？波阻抗 ？p(2) t 0, z 0的电场 E(0,0) ？(3) 时间经过0.1 之后电场E(0,0)值在什么地方？(4) 时间在t 0时刻之前0.1 ms,电场E(0,0)值在什么地方？2 f解：(1) kJ V r 2 (rad/m)cvp c/. r 1.5 108 (m/s)1 (m)kI =120 J工 60 (Q)- r0.265 10

2、6Em0/、12(2)SavEm2Em 1.00 10 2(V/m)_3E(0,0)Em sin8.66 10 (V/m)3(3)往右移 z v t 15 m p(4)在O点左边15 m处6-2 一个在自由空间传播的均匀平面波,电场强度的复振幅是E 104ej20zex 10 4e%20z)ey 伏 / 米 试求：(1)电磁波的传播方向？(2) 电磁波的相速Vp ？波长 ？频率f ？(3) 磁场强度H ？(4) 沿传播方向单位面积流过的平均功率是多少？解：(1)电磁波沿z方向传播.(2) 自由空间电磁波的相速 V. c 3 108m/s p20k 20c20 c f 10c 3 109Hz21

3、7j(20 z )H1ez E2.6510 7(e2 ex e j20 zey)(A/m)Sav1Re(EH*)-ez2.65 10 11ez(W/m2)2 26-3证实在均匀线性无界无源的理想介质中,不可能存在E E0e jkzez的均匀平面电磁波.证- E jkE0e jkz 0 ,即不满足Maxwell方程-不可能存在E E0e jkzez的均匀平面电磁波.6-4在微波炉外面附近的自由空间某点测得泄漏电场有效值为1V/m,试问该点的平均电磁功率密度是多少？该电磁辐射对于一个站在此处的人的健康有危险吗？(根据美国国 家标准,人暴露在微波下的限制量为10 2W/m2不超过6分钟,我国的暂行标

4、准规定每8小时连续照射,不超过 3.8X 10 2W/m2.) 解：把微波炉泄漏的电磁辐射近似看作是正弦均匀平面电磁波,它携带的平均电磁功率密 度为av13772.65 10 3W/m2可见,该微波炉的泄漏电场对人体的健康是平安的.6-5在自由空间中,有一波长为12cm的均匀平面波,当该波进入到某无损耗媒质时,其波长变为8cm,且此时E 31.41V/m , H0.125A/m.求平面波的频率以及无损耗媒质的r和r.解：由于 0 / . r r ,所以 r r (12/8)29/42一一.EE又由于 120 J,所以 0.4443H . rr 120 Hr 1 , r 2.256-6假设有一个

5、点电荷在自由空间以远小于光速的速度v运动,同时一个均匀平面波也沿v的方向传播.试求该电荷所受的磁场力与电场力的比值.解：设v沿z轴方向,均匀平面波电场为 E ,那么磁场为1Hez E0电荷受到的电场力为Fe qE其中q为点电荷电量,受到的磁场力为Fm= qv B q °vez H 3eqVoE0重Ec故电荷所受磁场力与电场力比值为Fm VFe c6-7 一个频率为f 3GHz , ey方向极化的均匀平面波在2.5 ,损耗角正切值为10 2的非磁性媒质中,沿正 ex方向传播.(1) 求波的振幅衰减一半时,传播的距离；(2) 求媒质的波阻抗,波的相速和波长；(3) 设在x 0处的E 50

6、sin 6109t ey ,写出H (x,t)的表示式.3解：(1) tan 10 2,这是一个低损耗媒质,平面波的传播特性,除了有微弱的损耗引起的衰减之外,和理想介质的相同.其衰减常数为0.49710 2 一 10 2 23 1092.582223 108由于 e 11/2,所以 l 1.40m(2)对低损耗媒质,V /120 /寸2.5 238.4 Q相速v13 1081.90 108m/s2.5波长v/ f 0.0632(m) 6.32(cm)(3)6L 2.5 99.3H (x,t) 50e 0.5xsin(6109t x -)e,0.21e 0.5xsin(6109t 99.3x -

7、)ez (A/m)2.45GHz频率的微波加热食品, 在该频率上,牛排的等效6-8微波炉利用磁控管输出的复介电常数r40(1 0.3j)o求：(1) 微波传入牛排的穿透深度,在牛排内8mm处的微波场强是外表处的百分之几？(2) 微波炉中盛牛排的盘子是发泡聚苯乙烯制成的,其等效复介电常数4).说明为何用微波加热时,牛排被烧熟而盘子并没有被毁.121.03(1 j0.3 10解：(1)120.0208m 20.8mmEE°e z/ e 8/20.868%(2)发泡聚苯乙烯的穿透深度2 3 10822.45 109 0.3 10 4 .1.0331.28 10 (m)可见其穿透深度很大,意

8、味着微波在其中传播的热损耗极小,所以不会被烧毁.6-9海水的 4S/m,f 10kHz的平面电磁波时,试求：r 81,1 ,在其中分别传播f？ ？Vp ？100 MHz 或解：当f1100MHz 时,8.88故f2而f1(1)10kHz 时,8.8 10410kHz时,媒质可以看成导体,可以采用近似公式, 2100MHz时媒质是半电介质,不能采用上面的近似公式.当 f1 100MHz 时()2 1 37.5(Nep/m)1 ()2 1 42.0(rad/m)p11(2)当 f2222p2一 0.149 108(m/s)120.149(m)110kHz 时220.3970.397(Nep/m)0

9、.397(rad/m)5-1.58 10 (m/s)2215.8(m)26-10证实电磁波在良导电媒质中传播时,场强每经过一个波长衰减54.54dB.,22证：在良导体中,故 由于 E E°e lE°e匀所以经过一个波长衰减20lg 旦 20lg(e 2 ) 54.57(dB)E06-11为了得到有效的电磁屏蔽,屏蔽层的厚度通常取所用屏蔽材料中电磁波的一个波长,即d 2式中 是穿透深度.试计算(1) 收音机内中频变压器的铝屏蔽罩的厚度.(2) 电源变压器铁屏蔽罩的厚度.(3) 假设中频变压器用铁而电源变压器用铝作屏蔽罩是否也可以？(铝:3.72 107S/m , r 1 ,

10、 r 1；铁：107S/m , r 1, r 104, f=465kHzo)解:一4-7.60 10 (m)0.76(mm)(1) 铝屏蔽罩厚度为,2465 103 410 7 3.72 107(2) 铁屏蔽罩厚度为 250 410 7 104 10731.41 10 (m) 1.41(mm)(3) d 铁d铝. 2465 103 410 7 104 1072250 4 W 7 3.72 1077.331.47 10 5(m) 14.7( m)2.10 (m) 73(mm)用铝屏蔽50Hz的电源变压器需屏蔽层厚73mm,太厚,不能用.用铁屏蔽中周变压器需屏蔽层厚14.7 m ,故可以选用作屏蔽

11、材料.6-12在要求导线的高频电阻很小的场合通常使用多股纱包线代替单股线. 面积的N股纱包线的高频电阻只有单股线的-X .N证实,相同截证：设N股纱包中每小股线的半径为单股线的半径为R,那么R2单股线的高频电阻为r ,N r2,即 R JNr12 R其中为电导率,为趋肤深度.R1N股纱包线的高频电阻为Rn12 rNRnR - Nr 1R1rN rN . N6-13群速与相速的关系是dVpVg Vp 9 p d式中是相移常数,证实下式也成立dVpVg Vp d/ /2dvp vdvpvgvp(2r)dp d2d证：由 得d 2 d(1)6-14判断以下各式所表示的均匀平面波的传播方向和极化方式(

12、1)EjE1kzexjEejkzey(2)HEe jkxeyH2e jkxez( Hi H20)(3)EE0e jkzexjE0e jkzey(4)Eejkz(E0exAE°ej ey) ( A 为常数,0,)(5)HE 化(切e jkyeE .,xjHe%)(6)E(z,t) Emsin( t kz)ex Emcos( t kz)ey(7)E(z,t) Emsin( t kz )exEm cos( t kz -)ey44解：(1) 一 z方向,直线极化.(2) +x方向,直线极化.(3) +z方向,右旋圆极化.(4) + z方向,椭圆极化.(5) +y方向,右旋圆极化.(6) +z

13、方向,左旋圆极化.(7) + z方向,直线极化.6-15证实一个直线极化波可以分解为两个振幅相等旋转方向相反的圆极化波.证：设沿z方向传播的直线极化波的电场矢量方向与ex方向夹角为,贝U E = Ei(cos ex sin ey)e j zEi(ejexej2jey)e jzE,E,1 j _- jj z 1 j _(e ex je e y )e(e e x22. j j z je e y)e=E右圆+ E左圆6-16证实任意一圆极化波的坡印廷矢量瞬时值是个常数. 证：设沿z方向传播的圆极化波为E(z,t)Emcos( t kz一)ex Emcos( t kz)ey那么坡印廷矢量瞬时值E E

14、ezE ez2222Em cost kzEm cos t kz2ezE；ez6-17有两个频率相同传播方向也相同的圆极化波,试问：(1) 如果旋转方向相同振幅也相同,但初相位不同,其合成波是什么极化？(2) 如果上述三个条件中只是旋转方向相反其他条件都相同,其合成波是什么极化？(3) 如果在所述三个条件中只是振幅不相等,其合成波是什么极化波？解：(1)设 EiE0(ex jey)ej 1e jkzE2 E°(ex jey)ej 2ejkz贝 U E E1 E2E°(ex jey)(ej 1 ej2)ejkz故合成波仍是圆极化波,且旋转方向不变,但振幅变了.(2) 设 EiE

15、°(ex jey)ej1ejkzE2 E°(ex jey)ej1ejkz贝U E E1 E22E°exej 1e jkz故合成波是线极化波.(3) 设 EiEm® jey)ej1ejkzE2 Ez.© jey)ej 1e jkz那么 E E1 E2 (E10 E2o)(ex jey)ej1ejkz故合成波是圆极化波,且旋转方向不变,但振幅变了.6-18 一个圆极化的均匀平面波,电场EE°ejkz(ex jey)垂直入射到z 0处的理想导体平面.试求：(1) 反射波电场、磁场表达式；(2) 合成波电场、磁场表达式；(3) 合成波沿z方向

16、传播的平均功率流密度.解：(1)根据边界条件(Ei Er)|zo 0故反射电场为ErE°(exjey)ej z(3)SavEi1 ezHrErEi1(-ez)2jE0sinEr旦 ejz (exjey)1(-ez) Er巫cosz(jex ey)z( jex ey)1 1Re(E 21§Re 2jE°sin( z)(ex0jey)2E°cos z(jex ey)当均匀平面波由空气向理想介质( 功率输入此介质,试求介质的相对介电常数6-19r 1,0)垂直入射时,有 84%的入射解：由于R所以R又由于R21 84%0.16,故 R0.41 ,证实分界面处为

17、电场波腹点；假设证：在分界面处的总电场为 E分界面处入射电场与反射电场的相位差, 那么形成电场波节点.25.440J1 0.46-20当平面波从第一种理想介质向第二种理想介质垂直入射时,假设媒质波阻抗21 ,那么分界面处为电场波节点.Ei0Er0 Ei0 (1 R), R Er0/Ei0 , R 的幅角即为假设相位差为零,那么形成电场波腹点,假设相位差180°,2 上,对于理想介质,R为-1,1之间的实数. 11,贝U R 0, R的幅角为零,表示分界面处入射电场与反射电场同相,形成电假设21,那么R 0 , R的幅角为180°,表示分界面处入射电场与反射电场反相,形成电场

18、波节点.6-21均匀平面波从空气垂直入射于一非磁性介质墙上.在此墙前方测得的电场振幅分布(1)介质墙的r; (2)电磁波频率f.如下列图,求:解：(1) R1 R1 R9-1.5r _ 0.5(2)由于两相邻波节点距离为半波长,所以 2 2 4mr 3 108f 75(MHz)6-22假设在 r 为0.75 5,试求： 镀膜玻璃时,反射功率与入射功率之比.解：(1)24的玻璃外表镀上一层透明的介质以消除红外线的反射,红外线的波长 (1)该介质膜的介电常数及厚度；(2)当波长为0.42的紫外线照射该r2r1 r3 2 ,7= 0.13(1 inr2 4、2(2)ef3j 2 tan 2d2j 3

19、 tan 2defef31312 j 1 3 tan 2d1: r32j4 r3 tan 12 213 0.99j0.1,即反射功率与入射功率之比为0.1.6-23证实在无源区中向k方向传播的均匀平面波满足的麦克斯韦方程可简化为以下方程k H Ek E Hk E 0k H0证：在无源区中向k方向传播的均匀平面波可表示为HH0ejk rejk rH.jejk rk rH0jejkrkH0jk H代入无源区麦克斯韦第1方程：Hj E可得k HE同理可得k EH又由于EE0e jkr由于E0ejk rH°ejk rejkr E0je jkr k r E0je jkrk E0jk E代入无源

20、区麦克斯韦第4方程：E0可得k E0同理可得k H06-24平面波的电场强度E (2 j3)ex4ey 3ez ej(1.8y 2.4z) V/m试确定其传播方向和极化状态,是否横电磁波？解：(1) k1.8ey 2.4ez传播方向位于yz平面内,与y轴夹角1800 arctan24 126.9°1.83 (2) 由于电场分重存在相位差arctan,故为右旋椭圆极化.2(3) 由于Ek=0,所以是横电磁波.6-25证实两种介质(120 )的交界面对斜入射的均匀平面波的反射、折射系数可写成D _ sin( i t) 丁 2sin tcos isin( i t)sin( i t )R 一

21、, I tan( i t)2sin t cos iRi =L , T / =tan( i t)sin( i t )cos( i t )式中i是入射角,t是折射角.证：(1)由于2cos i1cos tR =i12cos i1cos t_LV_sin i2V i V2sin t所以sin tcosisinicostR =tiisin t cosisini cost-sin( it)=sin( i t)(2)1cos i2cos tR“ =-i2_L1cos i2cos tsin icos i sin tcos t=:sin icos i sin tcos tsin2 i sin2 t=sin2

22、i sin2 tsin( it)cos(it)=sin( it)cos(it)=tan( it)tan( it)(3)由于T 1 R所以T 1sin( i t)sin( i t)2sin t cos isin( i t)(4)T/2 (1R/)1sin s sin( it)cos( i儿-.1sin isin( it)cos( it)sin t ,sin( i t) ( i t) ？sin isin( it)cos( it)_ sin t ？sin2 jsin i sin( it)cos( it)2sin tcos isin( i t )cos(t)6-26当平面波向理想介质边界斜入射时,试证

23、布儒斯特角与相应的折射角之和为/2.证：布儒斯特角B arctan JH arcsinj口一2arccossin i折射角sin tn1c°s B1 n所以布儒斯特角与折射角互余,即B t 6-27当频率f 0.3GHz的均匀平面波由媒质r 4, r 1斜入射到与自由空间的交界面时,试求(1) 临界角c ？(2) 当垂直极化波以i 60o入射时,在自由空间中的折射波传播方向如何？相速vp(3)当圆极化波以60°入射时,反射波是什么极化的？解：(1)一 1 c arcsin 、.4(2)由于 ic发生全反射所以折射波沿分界面传播,形成外表波.二10<3 108 1.73

24、 1 08 (m/s).rsin ic发生全反射,反射系数的模V2 Vp p M(3) 由于 i°301 ,但反射系数的幅角R = R“.将圆极化波分解成相位差/2的等幅垂直极化波与平行极化波,反射后振幅不变,但相位差发生了改变,所以反射波是椭圆极化波.6-28 一个线极化平面波由自由空间投射到 电场与入射面的夹角是 45°.试问：(1) 当入射角i ？时反射波只有垂直：(2) 这时反射波的平均功率流密度是入射波的百分之几？ 解：(1)布儒斯特角r 4、r 1的介质分界面,如果入射波的B arctann arctan r 63.4°63.4°平行极化波全

25、折射,反射波只有垂直极化波.(2) R_ cos cos i2 2nsini2_ 2nsinili21n2 |n 21 n0.6垂直极化波的入射功率流密度只有总入射功率流密度的1,故2Pi120.6218%6-29证实当垂直极化波由空气余时,其布儒斯特角应满足以下关系而对于平行极化波那么满足关系证：1当i B时,R 0由折射定律2可求出cos t代入方程1得rr-1rsin2 Bcos2 Btan2 Bco2R/=里一1costan2r(rr )Brr 1tan2Br(rr )rr 1R2 cosiicos t2cosi1cos t2cos Bicos tk1sin Bk2sin t2121

26、sin t 1 (sin b). r rcos2 B 1 sin2 Br rsin2 B) 1 sin2 B r rr1rr ( rr)r12r1r r12r1r ( rr)r r1r r r2cos t2cos t1、0)(1)(2)1 cos b2cos t(3 )(2) (3)式联立与垂直极化相比较,sincos Br r sin tr与r互换tan2r( r r)B1r r6-30设z 0区域中理想介质参数为r14、 r1 1； z 0区域中理想介质参数为r2 9、r2 1 °假设入射波的电场强度为E e j6 血 z (exey 3ez)试求：(1)(2)(3)平面波的频率

27、； 反射角和折射角; 反射波和折射波.解：(1)入射面为xz面,入射波可分解为垂直极化波和平行极化波两局部之和,即j6C 3x z)Ei e eyEiiij6(.耳x ez)(ex 、.3ez) &(xsin i zcos i)6 - 3xki12ki(2)sin ik23sin tk1-287 MHz1sino60sin t35.3o,k2 18(3)coscos i2 /1sin2i212i0.4202 /1siniT|T cos i2 cos i22 / 1 sin i0.580(2 / 1)cos i , 2/1_ 2sin iI .(2 / 1)cos i 2 / 1_ 2s

28、in i2. 2 / 1 cos iRi0.04250.638(2/ 1)cos22/ 1 sin i因此,反射波的电场强度为Er ErEr| '其中折射波的电场强度为EtEr0.420ej6(.mx z)eyEr|0.0425e j6(,xZ)(ex ez.3)Et Et|i ,其中Et 0.580e218%3Z)eyEtii0.638 2. 2ex 32 3ez e1.276 J2ex.31 ez32z)3)1014 1/米3并有恒定磁场6-31 当一个 f 300 MHzB05 10 3ez特斯拉的等离子体内传播,试求该等离子体的张量介电常数 r ？如果这个均匀平面波是往z方向传

29、播的右旋圆极化波,的均匀平面波在电子密度其相速 V.p(3)如果这个波是往Z方向传播的左旋圆极化波,其相速vp解：11j 20-j210003Ne2(1.610m 09.1 1031-B01.6 10199.1 1031mrg2 p5 10 3 8.79 10819 214882 3-17710172(g2)0.053231p20.910.866j0.0530-rj0.0530.8660000.91(2)Vpc3 108120.866 0.053 Vpc3 108120.866 0.0532,p1 1 220.866g23.33 108 (m/s)3.13 108 (m/s)6-32在一种对于

30、同一频率的左、右旋圆极化波有不同传播速度的媒质中,两个等幅圆极化波同时向z方向传播,一个右旋圆极化E1 Eme j 1Z(ex jey)另一个是左旋圆极化j 2Z , 一.一、E 2 Eme (ex jey)式中21,试求(1) z 0处合成电场的方向和极化形式.(2) Z l处合成电成的方向和极化形式.解：(1) E= E1+ E2= 2 Emex合成场指向ex方向,是线极化波.(2)E= E1+ E2=Em(ej1Z e j 2Z)ex j(e j 2Z e j 1Z)eyj _ z j 2 1z j _ zj _ zj_J_ z=Eme 2 (e 2 e 2 )ex j(e 2 e 2 )eyj 12 z=2EmePcos( 21 z)ex sin( 21z)ey22电场两分量相位差等于零合成场是线极化波sin( 22 1 z)tancos 七故当z l时合成电场与x轴夹角为N 1014 1 /米3的等离子体,并有恒定磁场 有一频率为300MHz的正圆极化波沿正 z方6-33设在z 0的半空间是电子密度为B.5 10 3ez特斯拉,在z .半空间为真空.向垂直入射到等离子体上,问在等离子体内传输波的场量为入射波的百分之几？解：对于正圆极化波,题相同,故等离子体等效为相对介电常数为12的