圆锥曲线的中点弦问题

1、关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题,是解析几何中的重要内容之一,也是高考的一个热点问题.这类问题一 般有以下三种类型：(1) 求中点弦所在直线方程问题；(2) 求弦中点的轨迹方程问题；(3) 求弦中点的坐标问题.其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中央对称变换法等.、求中点弦所在直线方程问题22例1、过椭圆 二 匕 1内一点M (2, 1)弓I一条弦,使弦被点 M平分,求这条弦所在的直线方程.164解法一：设所求直线方程为 y-1=k(x-2),代入椭圆方程并整理得：(4k2 1)x2 8(2k2 k)x 4(2k 1)2 16 0又设直线与椭圆的交点为

2、A( x1, y1) , B(x2,y2),那么x1,x2是方程的两个根,于是xx28(2k2 k)2,4k 1又M为AB的中点,所以壬一x24(2k2 k) 222 '4k2 1-1解得k2故所求直线方程为 x 2y 4 0.解法二：设直线与椭圆的交点为A(x1, y1), B(x2,y2), M (2, 1)为AB的中点,所以 xx24 , y y 2,2 一 2又A、B两点在椭圆上,贝U x14y122 一22 一两式相减碍(x1x2 ) 4(y1y2 )所以j二即x X24( y1 Y2)2故所求直线方程为 x 2y 4 0.解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为那么另一个交点为

3、 B(4- x ,2 y ),由于A B两点在椭圆上,所以有(4两式相减得x 2y 4 0,由于过A、B的直线只有一条, 故所求直线方程为 x 2y 4 0.、求弦中点的轨迹方程问题22_16 , x24y216,°,kAB§ ,A( x , y ),由于中点为M (2, 1),x2 4y2 162-2x)2 4(2 y)2 1622Q点,求PQ中点的轨迹方程.例2、过椭圆 J 1上一点P (-8 , 0)作直线交椭圆于64 36解法一：设弦 PQ中点 M( x, y),弦端点 P( x1, y1) , Q( x2,y2),_2 一 2那么有 9气 16y12576,9x2

4、16 y2576两式相减得 9(xi2 x22) i6(yi2 y22) 0,又由于xi x2 2x,yi y2 2y ,所以 92x(xi X2) 16 2y(yi 业)0,XiX2i6y而kpQy0+& 9xy,故 一.x (8)i6y x 8化简可得9x272x i6y2 0 (x 8).解法二：设弦中点 M(x,y) , Ci ( xi, yi),Xi由x 一yiy 二可得 Xi 2x 8, yi2y ,2所以土上整2 yi又由于Q在椭圆上,所以Xi64361,即4(x 4)2 丈 i6436所以PQ中点M的轨迹方程为(x 4)2i6i (x 8).三、弦中点的坐标问题例3、求

5、直线y xi被抛物线y2 4x截得线段的中点坐标.解：解法一：设直线与抛物线y2 4x交于A(Xi, yi) ,B(X2, y？),其中点P(xo,y°),由题意得I.X4xi消去y得(x i)24x,即x2 6x所以X.J23 ,y.Xo i2,即中点坐标为(3,2).解法二：设直线yyi2 4Xi ,两式相减得y2 4x2x i与抛物线y22y2yi4x 交于 A(Xi,yi), B(X2,y2),其中点 P(x°,yo),由题意得4(X2 Xi),所以(y2yi)(y2 yi)4,x2xi所以yi y24,即y02, Xo y0 1 3,即中点坐标为3,2.上面我们给

6、出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些根本解法.下面我们看一个结论22引理设A、B是二次曲线C:AxCyDxEyF0上的两点,Pxo,yo为弦AB的中点,那么 (i)( 2)x2) E(yi y2) OL2AXoDk AB(2Cyo2Cy°E2设A(xi,yi)、B(X2,y2)那么AxiAx22(2)得 A(xi x2)(xi x2)E O)o八 2fLLCCyiDxiEyiFO.八 2 fLLCCy？Dx2 Ey2 FOC(yi vMVi v2 D(xi. 2Axo(xi x2)2Cyo(yi y) D(xx2)E(yiy2)O. (2Ax°D)(xix2) (

7、2Cy° E)(yi丫2 2Cy.xix2yi y2xix22Ax°2AxO D2Cy° E .(说明：k2Axo2Cyo推论Ik AB那么当AD无2设圆x2xo上面的结论就是过二次曲线C上的点pxo,y.的切线斜率公式,即推论立.假设点推论DxEy F O的弦AB的中点为P(xo, yo) ( yo°),2yoE2 x设椭圆a2.假设点P在圆上时,那么过点 P的 k2xo D2yoE切线斜率为2 y b2i的弦AB的中点为p在椭圆上,那么过点2x3设双曲线a2kP的切线斜率为P(xo, yo)( yob2？2 -a yo)kABO),那么b2 ？xo2

8、 -a yo.注：对a< b也成上,那么过p点的切线斜率为2匕i.2b 的弦AB的中点为k马？玉ayoP(xo, yo)yokABO)那么bl？Xo2a yo.假设点p在双曲线推论4设抛物线2px的弦AB的中点为Pxo, yoyokAB0)那么_Pyo.假设点P在抛物线上,那么k过点P的切线斜率为yo我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题,下面举例说明.2x例I、求椭圆252匕II6 x？25 y,故所示的轨迹方程为I6x+75y=OI6 斜率为3的弦的中点轨迹方程.3解：设P x , y是所求轨迹上的任一点,那么有,7575 、24ix 24i22与 1(a b例2、椭圆a b2. 22. 2a ba bX0 求证： aa .0,A、B是椭圆上两点,线段 AB的垂直平分线l与x轴相交于Px.,0,证实:设AB的中点为TXi,yi b2a？也yi由题设可知AB与X轴不垂直,yi 02ayi.l的方程为：2a 小Xi a 2 ？'2,2a bX0a. . l ± AB2%？X(XbXXi)XiI Xi | a b2令y=02 |A a Iyi2找(X0 Xi)a广01解：设C上两点A、B两点关于l对称,AB的中点为 px0,y. y.0ikABP 2iikABy0y0ky°2. pc i. %k(X0ik k(X0 i) i,x&#