圆锥曲线秒杀法

1、圆锥曲线秒杀法吴磊研究高考作文之余,本人也研究高考数学的秒杀方法,主要包括 隐函数求导、柯西不等式、仿射、参数方程、极点极线一、圆锥曲线局部小题用到的方法1、椭圆C: x28+yZ2=1与斜率K=1/2的直线l相切,那么切点坐标为注:传统方法我就不讲了,讲两种秒杀法法一、隐函数求导直接对C: x2/8+y,2=1求关于X导数可得x/4+yy'=0, 带入K=1/2 , x=-2y,带入椭圆方程,很容易解出切点为(-2,1)和(2,- 1)；法二、缩放坐标将椭圆缩放成圆利用圆的性质快速解题,将 X轴压缩为原来的1/2, 即x=2x'(这里不是导数,只表示一个未知数)；斜率K

2、9;=2K=1 ,椭圆 化为圆C': x2 y'2=2;很容易求得I'与C相切于(-1,1)和(1,-1),复原, 可知I与C相切于(-2,1)和(2,-1)2、椭圆C: x24+y23=1上的点到直线L:x-2y-1=0距离的取值范围为:法一、直接用柯西不等式椭圆和直线相交,最小距离为0,最大距离为椭圆C与l平行的切线l'与l的距离,l'= x-2y+b=0;构造柯西不等式可知(x24+y2/3) (4+12) >(x-2y)2;-4< b<4;把4和-4代入l'再利用平行线距离公式求I和1'距离,最大距 离为/5所以

3、OVdW法二、缩放坐标系椭圆和直线相交,最小距离为0,最大距离为椭圆C与1平行的切线1'与1的距离.1'= x-2y+b=0 ;缩放 y= v3/2 y'椭圆 C 缩放前方程 C'为:x2+y2=4; 1' 缩放后表达式为1''=x- v3y+b=0, C与1''相切,利用点到直线距离为 半径,容易求的b=4和-4;再利用平行线距离公式很容易求得范围 为 0<d <a/53、过定点(4、0)的直线1与椭圆C: x2/4+y2=1有公共点,那么直线1 斜率K取值范围为:法一、直接用柯西不等式1:my=x-4,那么

4、 x-my=4;构造柯西不等式,(x2/4+y2) (22+ m2) >(x-my)2可得,m2A12,注意是反设斜率,故k= 1/m;很容易解出k的范围为-v3/6 < k< a3/6法二、缩放坐标1:my=x-4 , x=2x 'C': x' 3 y' 2=1; I ':m y'=2 x'-4, 用点到直线距离公式,d=4/ v(4+ m 2) v 1;可解的m2A12,注意是反设斜率,故 k= 1/m;很容易解出k的范围为 -v3/6 < k< a3/6、柯西不等式柯西不等式在高中数学提升中非常重要,是

5、高中数学研究内容之一,是求某些 函数最值中和证实某些不等式时经常使用的理论根据,技巧以拆常数,凑常值为主.柯西不等柯西不等式-方和积不小丁积和方22aia2L2anbi2b；Lbn2ai 1Lbn0 或a2Lan时取等bib2bn当且仅当bib22ba2 b2Lan bn柯西不等式的主要变形公式变形公式1a1 b a2 b2 Lan aai bia2 b2 Lan bna2 a2 La； ？ b2房 L *取等条件同变形公式2一 _ 一 _ _ 2,ai.bia2 ,b2L .a,bnaa？Lagbb？Lbn变形公式3 a2 a； La2, b2不等式三角公式2,2a2LanLbi2、aibi

6、a2b2L2 ,一_bn柯西变形公式22aa22L冬bn2aia2L an取等条件同bi b2 Lbn变形公式52anai a2 L鱼鱼L 迎一ai a2an取等条件同.b2bnai bi a2 b2 L a“ bnan、仿射仿射变换回匚典型例题II.队此域的标准方程号£i袖比棚同朔标新方程Wi应形式上横为接近月的标枝方程 T brif h？ + .r-r正适 叽 亚.部砌宅利用情雷裁埒llfi通萱摸为虱 再利用圈的住好几何性质解凌问财 的方法.*1 * /必/对树咽的蝠江;+二=,我切需要布十独适打帏帽左换!A 料TIM看+二=1一旷 tr卜二 rtf' fl'仲地

7、支模不会改哽tt魏与留建曲维的交成个救、也不金改变我或线段K座的出制关系.平行和宣线此 少美委等肯.但坦伸蝙变知会改变线段的仁度,达考控引起完务丽注察t将苔1体射丈换t Alling Trinskutr是一律二魁尘圻到二准生打NI坦的典/：!食模-保持二雅四形 的“平再枝 L件注：staiphtiic？5.耕斐拱后直携壬起我线不会再育.KI弧还是倒虬的朽 ettCik: Hialldncii,盖必是推保二推用号目的相对做翼美系不史一考行凡还是甲. 我.而山境上点的41玉叩冲不丈.另埔的,主意公量间史宙U陋会女生丈叱一叫条女度T以 司4一系习的病于您机的虹兮土搭现,也JM *移J TraflsU

8、lioti L呀吐?Swlt k翻转匚Flip L 裁杵RofatiDfi 1 外 flf 切Shear LLfr洼1玄伸绥及郴】汗、株冏才谨E:二十二-I瓷为&E;/十/=rL情园上的赢尸改间交为 a' bY爪U七因巳位如E上1血户的额的切林占我步/: r.jt' + - / =' b .人1谤it州通址伸席*健就可以得卦过锄! 上一点尸的g圈的M或才租F：w*g/=1即& "卜而压协时交携词后此、'二T住村成瓷系:坦横前整换K吉程F广. 丁尸/ + y2» aj植耐xx蛆诉稣Fr "v = 一 y b'斜

9、率.At r 二Aj点* OiV IZ AimArb娜!S = - At - Ar265* = La/ . Ai'1 = - s2 r b159弦Ki=Ji7F-atxe=Ji不史敞平甘美其：儿线浅段比例关系z分线段的比：熟悉仿射交换w, 201g El . iiMHr的方程为W十对?0,点的坐标为rM."h线4： y=&"/柿可.、/.宝百线4： >=&'亍忙.特& = .=LF明：ES的中疱：2对丁圆上的点.?«.6血0 0槌5.fcOBr上存在不同的两个交点小A 满足再所"Q,写出求作点爪月的步骤.【解

10、析】作仿射泛技,嫉31方程交为I CO LOE.松据去投定现,E 心 3 的中点于是EWCD的中L如下田.求作点£,竹步争为；I以.为可心,前胃的关扯天仞为半叶作网:2. 迂0件射线,尖0.1此正方向奸核电线的角为们4线与田交于.,3. ill®与轴正向打文方作轴的垂戒,迂动与.i估负向的叉.f.扯豹至我.用*戒文于占4.违抹尸.取其中CALIM5. 途的0V, ii/V作与时直我,文罔千点X;6. 11点".弓作x的的垂我.久/国十点£?即为所火.人,i£2fli这杯件田相刍于作了旦轮方向上的他址交换y = 4.V,木易口明纨或pg马4拈4

11、T分,石生*御方向上的仲指史块不改史或以的此代 囚北地与1互相十分.这U.布*2PN = 2 _PR + PR=PR + PR【各注】题nht明孩中成用题中由点差法徉羽竹给论可以有做天色因的 '凸径定建七题刊用仿附交技完成Ji心御作图.注专何司竹参会方疗在号片主枝图书v茯得了铢切的几勺港 义.魏习I 2021 I设.4足单Mv"=l '的仲点&.比过宣4/1林的Jl%D是 h:,l：x轴的史加苴"在宜线7上且滴足|她|,|ZM| 决>0, Bm#l .人"圜 成动时.记点M的Oftnc.求曲-C的方凯 判斯曲线C为何种惟曲纱,并褪攻

12、*标.【布传】由经的方垃为F+匕=|.Wfii0</n<l>.血垸C为信点在的上的牌目,危点史林为二JTr.o； 与"时,南线.力角点在,结上的椅囱,焦&坐林机.二/宗-1.利处射交换处理而枳H匹泡过仿变换可以融ia内接三的形变为圆内我»i gmm ztt例关系.僧求转凿内 接二的形的曲积运算贵要版他获例2 2021年人大附JT学考认 _<lllttf： i-Jli-rWM|Hy>？-l J '；向的两点A、B. Z JT坐林质点.到立浅/的岫为土.求乙必明向枳的牧大值2 .:【解#】尘!撷点.HJUU的泛商力匝, I是宜度?定

13、:"24作仿射文挟'/ 那么直我7是芮囱/十二=】即*+兰=1此切我.心 3 4 M？Q设.'划亘ar的距禹力a. -<</ <-,./的.丰存本44s顷厂S.s； 2辰七喘n?g号号当且仅当/=己时取马,铢习2 2021年朔出 植,L1UI悟|质二二1中n 内径.角标/«'. 1旧*的标JJ. 1. 6 2仆所饷蝴斜率为f .当A4BC的面积最大时,求泗加舫程.#. jitKor 直代设II线49的方程为5=0,期0到五供的宠禹为厘,|/2T|-当吒.3"5“4时$、聚1？艮大值3此苛互益,.'的方包为口而0.网

14、此$ 的靠欠值勺皿.比曹册的方传力用顷练习32021 OJGZ. W 已北说垃；七"二1的左.,顶皇分捐i：为.4, a.过斜车为1的FT我女槎仙十片一山$汁前同卜的r满足：八7为的而枳为!.试雅定点7依个故.【部析】料怖屈适过仿动兵挽|变戒田/*北7."$沏-？Sm-上y*2y54V ： y = 2(f4-2)> ff2r-,i/4.4 = 0.田2幻1LHUS的戏0为宿长仃-2卜-；± | -才.r到止找as1财茫府为-=I 4 4$ib十*孑,.在it瓠上奇在两个r点 又由于*?2卞.,.在务欢上不存在m 绿上占,的久女也即应r的个会足2.缘习,202

15、1年声武一棋文卉线J:2i.i2 = O勺柘区营+二二1的交白为4、8.求使ARM的面 4枳为;的的个益：【解析】2.缘习5 2021年西坡模设百线7.的圆寻一尸二1交J4, B阻如&以仆为直给的U1过临民的 右顶点C,求面枳的房人值.解析】如图.将坐场系点&平薛至c RI岛31切孩为牛L+扩=1泮F+6m9U=0.设直找AB的方程为x 的 + l D,耿立圭伐方段与槌团才任有八仆7+外、.,料|'4.箜+归=0 axj a x a而上担= -l. .9+l + 2 = 0, 0 = -,因此CD =.t. .r.aSSI 将-fil敏t变换；:变力侦+尹=9 吓*：$

16、5v -3r3HO'到 4 砰JE甫为 d Sy : /ff J , d,J ®T9 J. 2,当艮仅W =9州,S“双得景大值？f走土戚.=-S/r W： .即48、而鬼的或大值为-收 12 e 88利用伪射射换处埋弦忙网瓯* 2on ：Fiz;rm dinftiaci'L i,.物,.、心扫小、宙宽SElfic, 的短辕为mv, iiq. q的肉心丰都为且践j±mv, /与q?十的点,$公十怕点, 这四.也技纵学杯从大到小k次为4 .BX.D.I I次' 求gc|与|4D|的比值；2当放化时.是否存在直玲7,使得8.孙,并说明理她囤；作仿射交校x

17、 =?叶柿司仁作仿牯交校村F,八M：: r/.(r2.5-e *kt * tilA£(<rc(Kfl.(rsinfl) ()<tf<r k 引灼= 土八.=渺 cos. cos-l161设.史cos"-l= icos", costf = !e-l.I技 coM-yQJt 严,°U2 .十 s知Mo7>2.当ke?亚牛5e>H. M.l-r22mtij射变泉凸显交或儿何斜i利用彷射殳挨可以将一些鬼h中“平凡的条件转化为刈箭翅很有科的“吾获条年,比方：X利用仿胶舸以改变斜丰,从亓可以使得某丝顷I园相关於平行四边巧转化为拒形,从而

18、简化 脚刊电仿收变化诃以为树【变为:印从而可以使某些'jMB和美的甲行四边形转化为芟形.R而简 化网部怵 2021 年更庆cifiiWMJ-=1.4 2i理科设洛足：亦=而+亦.其中川、x迎例a上的a,真线.m匕.的斜；I奉之阳、d « "E两个片,使可夕可|明|X定值？尸.求£的坐： L踪：假设不存在,说毛豆血i义科丘动点,满足：而二而+ 2亦.JVFM. N是柄同I的点汽线OM与.$的! 弁滓Z枳为；.何：是否存在页使得直P利白F的卯苗勺列汽线而的冲离Z比为!2定俯？假设存在.求尸的华林：君不存布.说明理由. 一 . . *. . 一 . . . 一

19、.*« 一 . .一 »«» 一 . .一 .一【解析】作付射5UL怀S3方杈变为./y？4, JlOAriOV.珅科曹边加MFV为正方影.t|OF| = |WV|=2V？.F点的切成方程方回丫'十/=8,西北P.&的执诬方根为FHgyj=X,即;+ = 】.二存在-钮企的点尸E-生,为仕2.0存在81的两卜幻？.义科四祓招OMPV为雄彬.尸| = |WV| = 2,/点的好方程为园f+ / = 20,、2fclJLPA 的岫方券为 F+J5y = ？,即土+二二1.存在符念瓯息的点F土杼为而,0W坳肉的右氤点.陈习12021年尚淀模段直

20、如:?=云5|&|<!'痼冏!+=1以交于八B两疳.以线I6S攻0*.8为邻边作平行四边形公性.其中而&P在椭"Ck.为坐标原点.求I仞的取 伯范由.#【解析】用仿射变抿戒囹样化力即于是半行05OAPB爻力*形04吓由KJW：御妇,|?牛.恨据是彩竹叶角我互相聿直,因此g|W1.- v3也比是说 |r,|ng|W1十是F +F缘习22021年为淀一模皇己知直线4： .1二h-叫.®冏G： ？十七1交丁,B西点,百线J =b + m 伪,芥桁.马阿刘g幻 C.两点11|相|二|7.如图所M.1证实;叫+舛=0；21求四边彩.48力的血枳$的廿人值

21、.【解析】考虑用伤会变燧.BCD为假设邕内罹半行四边秒,作竹射蓝族玲变为IE内径半行四边影,为莎衫.E1JU十用陶为直在,也立是说帽即内共T行凹也形的叶角蝶上相f分于配E,于是叫皿二0;3内径任寿当且仅芝矩形力止方形对南枳衣大.釜大值为4,十走的H内德平行四边形而权的最大佰为【务注】也可以看作相关直做何题议巨？妇=&用与为3欠1胃点d、B.那么4- 2kmx + m2 -1 - 0联主立线与方祝,布F'|dB|=|C£>|孚价于 乂风x叫,f？«j + ffl3«：O由.朋与cd关于妙夕寸却曷边矿招m为甘珀中央&号.&的牛行四

22、边杉不折设叫>01 4G 4 1"-I祈 4 叫伊+ f：l心 s ？ F J V 2 后 d 22 2叫W + lF菖二欢当R仅为料七尸,!时取祥手号2四边号4BC.的而故S研聂大他芝2*.例' 已灯V为Ti我y=：./j秫圆;+： = |在第象限内的交点,巾？勺OM平彳HI勺的网交于: a. p西点.求证补"m真浅福与部用成的三位形栏低三角形.iiAr作人似的由线.皇顷1,文isr,y？二8于点JY,叫易知2,2.V2,-2t AO.W iaVe 又MT/& ONld0根密圭径定理.平分感"子是公系ZWg的斗分氏于是4v=2Jt“三2kw

23、w叉MH1.P0.履伊.是导曜三»矽.证毕.【备注】2021年宏云一模理如19所示,己如心的中央在依点.焦如U轴上,长轴黄是每轴犬的3倍. 久球迂、"3.1. &行于QU的克伐/在拍上的世为用mt在0,豆交何田于4. B,不 同点.0术械闵的方杈;求W!的取值定田：3好:直一褊 M与,枷&终田城一个等往三角移.【斡析】S+2L.j； 18 2167次直如：尸+ m )切 rne (-2. 0)U(0. 2)；珥为适纣生jtll期的推广我月仿常交操均宥解决.的6 (2021年15中有二阕中考读)L1加点岷2,上点,宜卸=、,戒用<0)g相交于.8两贞.求

24、M加的内心的醐标.【解析】年世别耳形的*点与求样的何超.号骨液用仿*交狭“忤区益化为13加以解决. 在3)中,咨初讨朋MQ氏/心的平分线.于是财Q是匕BH4豹十分找. 囚北心£物的内&的块坐存力M的棣坐杆,七此是2.综合 刷 (2021年由东,一；J2之与柿IB1C：匚十文丁0-"J两不同虫,且!3 2"Q的而权与算二匝,其中.为坐标阪点.i2证殊V-M； Hl »>>/均为定值；!设线段皿的中点为求M| |P0的最大值：I机阕C上是否存隹二DM,G.牧待&姬Ssx-SwG-g？切佐,炯即.的形状：苦不存在.谙说明理山.iI【

25、解析】如呼 件仿布殳凝/,余二#,史角园c殳力园r： rW=3.c 七 3"=孑 g = 5诜.到宠离为d. B'l-2V3-rf!-J = , 1 令.于是|尸.=2了万*=由.OriOg.因此斗'？=苛,而号成2f. r + x； r'3X：3 3, / + y-j(r + h：|-2.16(设恩分朴衣力卜成0M的轮*力.|昭刁七玲° > ' S睥谋-Sg, - S应-f S,ar - 淄弓-S星.-;LL.,.在8|中、在E UG EG'所片的回心山为为如, 巴凡不存在南足题总的三甫出.铢习72021北京8平二枚理iflf

26、fl.脚龈£】3对0的蹄为如,过点8的直线尸八H币苴.阿 . . . . . .W . 一. . 怖 巳加HIBiW+Wt上的两点, B关于x辅对松P(4.0)JMIII长轴折在苴残IL 4 3A.涉线网马初回拇±fD.网l. -l；>1 1C . » ： _的福心 / b卒e=g,F为靳园的左焦力,叫4尸| |酬| = 1 .1求此椭圆的方:2设P足此一13上异4.Q的任点点,P&lx辅,"为垂足.EK"到点9使得尸-PQ.追接4.并廷K交til F点M. N为MB的一虬 月定A0N与以部为直径的国.值付岂关系.【为;i】设Q与

27、僧囱交于m 1IA&与书图如切.此也与2功可以旬用仿笏交故解决.利用仿射变换将问题转化为几何间8(MM1将怖U通让伸陪麦拽为胃.JH#证实：假设齐" 8为关于B的互径HG寸蛛的两点,HG所在互我上的一点P58点的连我交国于D, »：AD与PH爻于足点£.话朗如下：如图.途绪4G. G,设P与国交千C.#.(7为舐CD和总仙的中点. ." AW分别是£ABDG的千分垣而XX？!/沪,.如G无ZEDP的牛分,IL - AE iE EGT >L=AP DP GPAE DEEG EH 邦交籍定埋.APlP= AP P= P； PH 切攻定

28、建lp EG EH EG EG EG PG r < / -.PG PH K PG EH PH丝为定伍在本例中为！.匹为定值 E为定女在本例中El,OPH3 Elf'嫁习8设宜城人y = 椅屈；-),：-1相交于M. £商川F芟梢通的布伊诚,TOFV rjF 线V的斜率互为相反数.求证：苴线/过定点,并求该定点的坐标.【解析】直我rii走4(2,0).本次与句恕相礼耕9(2021怕成 > 如图,在平囱直角坐峪系X0中.己讪椅回j十* = 1的左、石顶点为日、B .右供点为八 设W点？仆顶 的山线以/'8&此椅I分别交以5/(% ,用、(?：心).其中

29、 /n>0. ,i|>0. j3<0. S/=9>求证:5.V.V必过顽的定点(标与rw无美).Eor sa、.±彳(7XMx/ rU J Cj8D以 OT M切7单五M*寸刑,一4必jU 础 f .> f YfX / t NFA JJV S(iI-777切 ;rrr坎始整£辱wmi AA VIJ3""vPA»X iq </r</ WH？FMAF* Ar FMS '号一卒邛丁*丁-|4国3瓦手"卜Cr«H 0|？召互右乡/7？叫力:切手妁ft孚3碑中召筮卡劣*3葛¥

30、对弟次广标计M,V比衿.9/>-,YW4I4-W 二/妥1r+%DTa>W次上11*W野RWI4 劣另叫【凭付】/广r-r»AC -4u . Z FAC 二 a WNAC -们史,AT -也 AM -, BT - BV 2ucus们csacos/？AK些J而'的LAM问IVDBMDS 顷DBnMDMsjNDBn.W AD DM AN AMDB Ml) DB MB BN而尘应,于是主=冬二虬2.BM BT DB BT BN 4b设乙"C-2“,AOC=邙、那么OC到.户的用为a-夕,以0为校点.0CW1.尊么员U/y砰方同力Q8*.(er力卜(O,MN).

31、PP/jcos 9 (a 胃)卜48 coe(a+/？)匚 uc AB cos|a 4/？) cosacos/T smrrsin力 -r> I - tmaunfl1 UD - AB ABcus(tf -们 cusaco," -rjmasin/J 11 taiicr uui/7而dZUfAB-ZW5-a , ZVIfi-Z.VO5-/J,TVBC： tana 二一-» Lin/？ = UnZUfC =4Crej_££E1J匕.Z)=48 于是点)为志点.1十匹AC#四、参数方程椭圆参数方程吴磊一、没吃过猪肉,你还没见过猪跑x=acos 0; y=bs

32、in 9是一组我们熟悉而乂陌生的方程,可问题是你真懂 他们的含义吗？ 9究竟是个什么东东,和圆参数方程和极坐标方程中9是一个意思吗？1、从一道白分之九十以上人都做错的简单题展开例1、P是椭圆C上一点：x= 4 cos p y=2 v3sin 0且在第一象限 O O为原点P的倾斜角为兀/3,贝U P点的坐标为经典错法：由于倾斜角为兀/3, x= 4cos 0;y=2 v3sin.所以x= 4cos 兀/3=2;y=2 混sin 兀/3 =3求得 P 坐标2、3正解：椭圆参数方程 0是旋转而成的圆心角而不是倾斜角由于OP的倾斜角为兀/3,故OP的斜率K= tan兀/3= V3;A=y/x2v3si

33、n /4cos =v3 1sin eicosa 02=12联立二式,P在第一象限,可解cos 9=v5/5sin =2V5/5P 点坐标为4V5/5、455/5 2、椭圆参数方程的推导和含义解释4夕U、M11留_ HA h；£ j？上 >7 imi 心.另U 尸丈口- ?-1,-彳会fl *J卜 SI , 点匚O人祯H '!<彳# Q 1 j j-IEI白勺女必ill入fl /X m l c、. 丁立 JUL , Xztn fl i rfcM _i_ 人 z * 质 JUL Avis,庆 'r r>. v *< »,血 4-tH J

34、M FrJ i<b rJ * Zi“* .3、椭圆参数方程的设法可能有的同学会根据焦点在X轴:x=acos 9 y=bsin 0焦点在Y轴:x=b cos 0; y=asin 0去记忆,老师告诉你别这么理解,你只要记住 cos 0对应的系数是a和b中大的,cos和扩 大谐音,参数方程复原主要看 cos 0前的系数,它一定是大的,焦点在哪个轴, 他在哪个下面.、椭圆参数方程妙用1、椭圆内内接面积问题1:口 美口柄在7十普;a I Yj -内J受知171巳ABC 口*知/ J泾Amu o的尽人甬j枳1 ：可设A( 10 cos 9; 8sin 9 ),利用对称性可知 B( 10 cos火-8

35、sin 9 )C( -10 cos 0; - 8sin 0 ) ； D( -10 cos 0; 8sin 0 )AB长度为16 sin 9 ; AD长度为20 cos 9 ,矩形面积S=160 sin2 9,由三角函数知识可知,面积最大为160例2:没椭阿马+三=1和*的正半轴的交点为A,k b和V的正半轴的交点为B, P为第一象限内椭圆上的点,那么四边形OAPB面积的最大值为y4解：要使Soapb®大,由图可知SOAB为定值,需求出P到直线AB距离,距离最大 时Sbpa大,从而Soap雄大,用椭圆参数方程设 P为 x=acos 0 ; y=bsin 0用P到AB的距离公式可以求得距

36、离最大为直线AB的方程为:x/a+y/b=1 ab( v2-1)2, SoAPB=ab 槌/22、椭圆相关距离问题例1:点P在祁白闵+ P2 = 1上3台云方,点Q4在圆 "+(* §)=普上玖I ,ig*4 + g= IS +§2所以只婪求p以|白勺最大值解：用椭圆参数方程设P为 x=2 cos Q y=sin F A(0,3/2)由点到距离公式可知AP最大为5/2,所以PQ最大值为3例2:椭圆约束下二次型最值问题7？侦 v假设动点P(x,y)在曲线 + yv= 1 (Z？ >0)±运动,4 b那么x2+2y的最大值为用椭圆参数方程解,转化成三角

37、函数最值问题.由丁 b瞽日4大小未知,显 然需要分类讨论0< b< 2,时 P(x=2 cos Q y=bsin »转化成求4 cos 2井2bsin 0最大值 可求得最大值为(b24)+4b >2P( x=b cos 0; y=2sin (),转化成求 b2sos 2井4sin 0最大值可求得最大值为2b3、椭圆与向量求范围、求值问题图2椭圆E:,A在E上(1,1/2 ),假设点P在E上满足(1) 求t的范围(2) 过原点.的直线交E 丁 BG求, BCA的最大值解：(1) cos 巳 sin.= (V3- 2 cos 旦一siti片玲=<-3 2 cos

38、乳一sin &)Z？.cos 2 一 土m. = L mi n = 2(2) 占cos or, sinC( 2 cos a, sin= <1 2 cos sinUz4 =1 + 2 cos d, ： + 淳in(a b 电L. |二伐次一阮|max= v21- 2cos a1 + 2 cos 彪1 .sm a1 . I=4-sin. a2五、极点极线圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多,原因有二：其一,有高等数 学背景,结论非常完美；其二,运用高中知识解决问题,能够考查学生思维、计 算多方面水平.掌握有关极点与极线的根本性质,才能“识破试题中蕴含的有 关极点与极线的知识背景,

39、做题事半功倍.1.从几何角度看极点与极线定义1如图1,设P是不在圆锥曲线上的一点,过 P点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H,连接EH ,FG交于N ,连接EG,FH交于M,那么直线MN为点P对应的极线.假设P为圆锥曲线上的点,那么过 P点的切线即为极线.由图1同理可知,PM为点N对应的极线,PN为点M所 对应的极线.因而将MNP称为自极三点形.设直线MN交圆锥曲线 于点A,B两点,那么PA,PB恰为圆锥曲线的两条切线.定理1 1当P在圆锥曲线 上时,那么点P的极线是曲线在P点处的切线;当P在 外时,过点P作 的两条切线,设其切点分别为 A,B,那么点P的极线是直线AB 即切点弦所

40、在的直线;3当P在 内时,过点P任作一割线交于A, B,设 在A, B处的切线交于点Q,那么点P的极线是动点Q的轨迹.定理2如图2,设点P关于圆锥曲线 的极线为l,过点P任作一割线交于A,B ,交l于Q ,那么里 P旦；反之,假设有成立,那么称点 P,Q调和分割线段 AQ BQAB ,或称点P与Q关于 调和共轴,或称点 P或点Q关于圆锥曲线yr的调和共轴点为点q或点P.点p关于圆锥曲线的调和共轴点是一条直线,这条直线就是点P的极线.x,/B 一推论1如图2,设点P关于圆锥曲线的调和共轴点为点Q ,那么有2PQiPA1PB；反之,假设有成立,那么点P与Q关于调和共轴.可以证实与是等价的.事实上,

41、由有AQ BQ PQ PAPA PB PAPB PQPBPQPA1 1丝PB11PQ (-1 ) 2PA PB211PQ PA PB特别地,我们还有推论2如图3,设点P关于有心圆锥曲线PQ连线经过圆锥曲线的中央,那么有 OR2 OP Q关于调和共轴.OQ证实：设直线PQ与的另一交点为R ,那么O的调和共轴点为点 Q,设其中央为,反之假设有此式成立,那么点 P与PR PRRQ RQOP OR OP OR 八好,化蔺OR OQ OR OQ即可得OR2 OPOQ .反之由此式可推出PR PR 前-,即点RQ RQP与Q关于调和共轴.R 英推论3如图4, A,B圆锥曲线 的一条对称轴l上的两点不在 上

42、,假设A,B关于 调和共轴,过B任作 的一条割线,交于P,Q两点,那么PAB QAB .证实:关于直线l对称,故在 上存在P,Q的对称点P ,Q .假设P与Q重合,那么Q与P也重合,此时P,Q关于l对称,有 PAB QAB膏4假设P与Q不重合,那么Q与P也不重合,由于A, B关于调和共轴,故A, B为上完全四点形PQ QP的对边交点,即Q在PA上,故AP, AQ关于直线l对称,也有 PAB QAB .定理3 (配极原贝U )点P关于圆锥曲线的极线p经过点Q 点Q关于 的极线q经过点P ;直线p关于 的极点P在直线 q上 直线q关于 的极点Q在直线p上.由此可知,共线点的极线必共点；共点线的极点

43、必共线以上未加证实的定理,可参阅有关高等几何教材,如【1】,其中定理1的初等证法可参阅文【2】.2. 从代数角度看极点与极线定义2圆锥曲线：Ax2 Cy2 2Dx 2Ey F 0 ,那么称点P(x°,y0)和直线l :Ax0xCy0yD(xx0)E(yy0)F0是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上,在圆锥曲线方程中,以x0x替换x2 ,以 七 x替换x,以y0y替换y2 ,以 如替换y即可得到点P(x.,y.)的极线方程.2特别地：22对于椭圆亳1,与点P(x°,y°)对应的极线方程为 琴捋1;a ba b22(2) 对于双曲线% & 1,与点P(x0,y&

44、#176;)对应的极线方程为 竺2 捋 1;a ba b(3) 对于抛物线y2 2 px,与点P(x0, y0)对应的极线方程为 y0y p(x0 x).22(4) 如果圆锥曲线是椭圆 土七 1,当P(x0,y0)为其焦点F(c,0)时,极线恰为a b22椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线与 % 1 ,当P(x0,y°)为其焦点F(c,0)时,极a b线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线y2 2px,当P(x0,y°)为其焦点F(,0)时,极线恰为抛物线的准线.23. 从极点与极线角度看圆锥曲线试题【例1】(2021江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy中,如图,椭圆22

45、 1的左右顶点为 A, B,右焦点为F .设过点T(t,m)的直线TA,TB与此椭圆 95分别交于点 M (x,y),N(X2,y2),其中 m 0, y 0, y 0 -(1) 设动点P满足PF2 PB2 4,求点P的轨迹；1(2) 设x1 2, x2 一,求点T的坐标；12 3(3)设t 9,求证：直线 MN必过x轴上的一定点(其坐标与 m无关)分析与解：前面两问比较简单,这里从略对于(3),当t 9时,T点坐标为(9,m),连MN,设直线AB与MN的交点为K ,根据极点与极线的定义可知,点 T对应的极线经过K,又点T对应的极线方程为 登 J 1 ,即95x 虬 1,此直线恒过x轴上的定点

46、K (1,0),从而直线MN也恒过定点K (1,0).22x y【例2 (2021安徽卷理22)设椭圆C : 2 2 1(a b a b焦点为Fi( . 2,0).求椭圆C的方程;0)过点M (J2,1),且左A, B时,在线段AB上取当过点P(4,1 )的动直线l与椭圆C交于两个不同的点uur uur uur uuu点Q,满足 AP QB AQ PB,证实点Q总在某定直线上分析与解：(1)易求得答案 11.42uuu PA uutr AQ(2)由条件可有PBuuur,说明点P, Q关于BQuuu圆锥曲线C调和共轴.根据定理2,点Q的轨迹就是点P对应的极线,即七Ly 1,化简得2x y 2 0. 42故点Q总在定直线2x y 2 0上. 22x y . . x y【例3】1995全国卷理26椭圆C: 1,直线1:一 - 1 , P是l24 1612 8 、.一 . 2.上一点,射线 OP交椭圆于点R,又点Q在OP上且满足 OQ OP OR,当点P在1上移动时,求点Q的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.分析