完整圆锥曲线光学性质的证明及应用初探

1、圆锥曲线光学性质及生活中的应用撰稿人：崔敬殷雅雯学习完圆锥曲线的方程和性质后,课本上有几条未证实的性质引起了 我们的兴趣,在反复查找资料,推理演算下,总算是确定了三条待证命题, 大致地完成了其证实,并且找到了一些圆锥曲线在实际中的神奇应用.一、圆锥曲线的光学性质首先说明一下我们要证实的东西,总共有三样：1椭圆的光学性质： 从椭圆一个焦点发出的光,经过椭圆反射后,反射 光线都会聚到椭圆的另一个焦点上；见图1.1椭圆的这种光学特性,常被用来设计一些照明设备或聚热装置.例如在Fi处放置一个热源,那么红外线也能聚焦于 F2处,对F2处的物体加热.2双曲线的光学性质 ：从双曲线一个焦点发出的光,经过双曲

2、线反射后, 反射光线的反向延长线都会聚到双曲线的另一个焦点上； 见图1.2.双曲线这种性质,在天文望远镜的设计等方面,有重大的奉献3抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光,经过抛物线反射后,反 射光线都平行于抛物线的轴如图1.3抛物线这种聚焦特性,成为聚能装置或定向发射装置的最正确选择.例 如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线,把光源置于它的焦点 处,经镜面反射后能成为平行光束,使照射距离加大,并可通过转动抛物 线的对称轴方向,限制照射方向.卫星通讯像碗一样接收或发射天线,一 般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的,把接收器置于其焦点,抛物线的对 称轴跟踪对准卫星,这样可以把卫星发射的微弱

3、电磁波讯号射线,最大限度地集中到接收器上,保证接收效果；反之,把发射装置安装在焦点,把 对称轴跟踪对准卫星,那么可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星 的接收装置,同样保证接收效果.最常见的太阳能热水器,它也是以抛物 线镜面聚集太阳光,以加热焦点处的贮水器的.图1.1图1.2图1.3当然,在证实之前,需要把这个物理问题转化为数学问题才行二、问题转化及证实在证实前,如果不知道这三点,是很麻烦的由于其光学性质的证实都与圆锥曲线上某一点的切线方程有关,所以这三个公式先提前列出1假设点P(x0, y0)是椭圆2 y b21上任一点,那么椭圆过该点的切线方程为:xox y°y 12. 21

4、 °a b221上任一点,那么双曲线过该点的切线方2假设点P(Xo,yo)是双曲线与y a b程为:x°xy°y22a b3假设点P(xo, yo)是抛物线y2 2px上任一点,那么抛物线过该点的切线方程是 VoV p(x xo)1.椭圆上一个点P的两条焦半径的夹角被椭圆在点 P处的法线平分(图 2.1 )22：如图,设椭圆C的方程为4 J 1, Fi,F2分别是其左、右焦点,l是 a b过椭圆上一点P(x°,y°)的切线,1'为垂直于l且过点P的椭圆的法线,交x轴于D设 F2PD, F1PD,求证： 22解：在 C：' byr

5、 1 上,P(x0,y0)c, 那么过点P的切线方程为：答晋1 1'是通过点P且与切线1垂直的法线,那么：(另)x(m)x0yoG £)b ab a法线1 '与x轴交于D(C)2x°,0) a22cc-|FD | x0 c,| F2D | c x0 aa2.| F1D | a cx0 2| F2D | a cx0又由焦半径公式得：|PF| a ex0,| PF2 | a %.IJi |PFi|.|F2D| |PF2| PD是F1PF2的平分线90,故可得2.双曲线上一个点P的两条焦半径的夹角被双曲线在点P处的切线平分(图 2.2);22：如图,双曲线C的方程

6、为与 1 , Fi , F2分别是其左、右焦点,l是 a b过双曲线C上的一点P(x°,y°)的切线,交x轴于点D,设FiPD, F2PD求证:22解：C:与乌1a b两焦点为 Fi( c,0) , F2(c,0) (c2 a2 b2)P(xo,y0)在双曲线上那么过点P的切线俘晋12切线l与X轴交于D(乏,0).A由双曲线的焦半径公式得cc|PFi| I-X0 a|,|PF2| I-X0 a| aa双曲线的两焦点坐标为F(c,0) , F ( c ,0)a c _ a c 故|DFi| 一| X.a|,|DF2| |一|X0X0 aX0 a图2.2|-X0 a| a|-X

7、0 a|a|DFi|DF2|定理3抛物线上一个点P的焦半径与过点P且平行于轴的直线的夹角被. 切线l为FPF之角分线.图2.36抛物线在点P处法线平分(图2.3)：如图,抛物线C的方程为为y2 4cx,直线l是过抛物线上一点P(X0, y0)的切线,交 x 轴于 D , DPF , PDF ,反射线PQ与l所成角记为,求证：证实：如图,抛物线C的方程为C : y2 4cx,点P(Xo,y°)在该抛物线上,那么过点P的切线为 y°y p(x X0)切线l与x轴交于D( Xo,0)焦点为F(c,0),(同位角).|PF| .(x0 c)2 y |x0 c|,|DF| |x

8、76; c|. |PF | |DF |通过以上问题转化可知,圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证 明的(very difficult ).那么它在生活中有何应用呢？三. 圆锥曲线的应用圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆,通过直角坐标系,它们又 与二次方程对应,所以,圆锥曲线又叫做二次曲线.圆锥曲线一直是几何 学研究的重要课题之一,在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲 线.虽然我不知道为什么,天体分别根据椭圆,双曲线,抛物线运行时,其总能量与离心率有很奇妙的关系,天体总能量椭圆<0,双曲线>0,抛物线=0,(椭圆e<1,双曲线e>1抛物线e=1).相对于一个

9、物体,按万有引力定律 受它吸引的另一物体的运动,不可能有任何其他的轨道了.因而,圆锥曲 线在这种意义上讲,它构成了我们宇宙的根本形式.我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨 迹上运行,太阳系其他行星也如此,太阳那么位于椭圆的 一个焦点上.如果这些行星运行速度增大到某种程度, 它们就会沿抛物线或双曲线运行.人类发射人造地球卫 星或人造行星就要遵照这个原理.由抛物线绕其轴旋转,可得到一个叫做旋转物面的曲面.它也有一条可以得到双曲面,它又是一种直纹曲面,轴,即抛物线的轴.在这个轴上有一个具有奇妙性质的焦点,任何一 条过焦点的直线由抛物面反射出 来以后,都成为平行于轴的直线.这就是我们为什么要把探照灯反 光镜做成旋转抛物面的道理.由双曲线的一支绕其虚轴旋转,BU由两组母直线族组成,各组内母直线互不相 交,而与另一组母直线却相