完整勾股定理知识点+对应类型,推荐文档

1、第二章勾股定理、平方根专题第_节勾股定理-、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a, b,斜边长为c,那么勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a, b, c有下面关系：a2+ b2= c2,那么这个三角形是直角三角形.2. 勾股数：满足a2+ b2= c2的三个正整数叫做勾股数注意：假设a, b, c、为勾股数,那么ka, kb, kc同样也是勾股数组.* 附：常见勾股数:3,4,5 ; 6,8,10 ; 9,12,15 ; 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2

2、 ,那么这个三角形是直角三角形.经典直角三角形：勾三、股四、弦五其他方法：1有一个角为90的三角形是直角三角形.2有两个角互余的三角形是直角三角形.用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：1确定最大边不妨设为c;(2) 假设c2= a2+ b2,那么 ABC是以Z C为直角的三角形；假设a2 + b2v c2,那么此三角形为钝角三角形(其中 c为最大边)；假设a2 + b2 c2,那么此三角形为锐角三角形(其中 c为最大边)4. 注意：(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(2) 在直角三角形中,如果一个锐角等于30 ,那么它所对的直角边等于斜边的(3) 在直角三角形中,如果一条直角边

3、等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30 .5. 勾股定理的作用：(1) 直角三角形的两边求第三边.(2) 直角三角形的一边,求另两边的关系.(3) 用于证实线段平方关系的问题.(4) 利用勾股定理,作出长为 际 的线段二、平方根：(1119的平方)1、 平方根定义：如果一个数的平方等于 a,那么这个数就叫做 a的平方根.(也称为二次方根),也就是说如果x2=a,那么x就叫做a的平方根.2、平方根的性质： 一个正数有两个平方根,它们互为相反数；一个正数a的正的平方根,记作“石,又叫做算术平方根,它负的平方根,记作“一炳, 这两个平方根合起来记作 “土瑚a .( a叫被开方数,“ 厂是二次

4、根号,这里“顼一 , 亦可写成“母“) 0只有一个平方根,就是 0本身.算术平方根是 0. 负数没有平方根.3、开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方,开平方和平方运算互为逆运算.4、(1)平方根是它本身的数是零.(2) 算术平方根是它本身的数是0和1.(3) 、a a a 0 ,、a2 a a 0 , . a2a a 0 .(4) 一个数的两个平方根之和为 0三、立方根：(1 9的立方)1、 立方根的定义：如果一个数的立方等于 a,那么这个数就叫做 a的立方根.(也称为二次方根),也就是说如果x3=a,那么x就叫做a的立方根.记作“ Va .2、立方根的性质： 任何数都有立方根,并且只有一

5、个立方根,正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0. 互为相反数的数的立方根也互为相反数,即3T= Va (3 a)3 3 a3 a3、开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方,开立方与立方运算为互逆运算,开立方的运算结果是立方根.4、立方根是它本身的数是 1, 0, -1.5、平方根和立方根的区别：(1) 被开方数的取值范围不同：在Ja中,a 0,在寺a中,a可以为任意数值.(2) 正数的平方根有两个,而它的立方根只有一个；负数没有平方根,而它有一个立方根.6、立方根和平方根：不同点：(1) 任何数都有立方根,正数和 0有平方根,负数没有平方根；即被开方数的取值范围 不同：土

6、1试说明：C=90 . b c2 0,贝U ABC为 三角形2. 在 ABC 中,假设 a2= b+c b-c,贝u ABC 是三角形,且 903. 在 ABC 中,AB=13 , AC=15,高 AD=12,贝U BC 的长为 1. x 12 x y 25与z2 10z 25互为相反数,试判断以x、y、z为三边的三 角形的形状.2223. 假设 ABC的二边a、b、c满足条件a b c 338 10a 24b 26c,试判断 ABC的形状.4.va 6 2b 8 (c 10)2 0,那么以a、b、c为边的三角形是 (二) 、实际应用:1. 梯子滑动问题：(1) 一架长2.5m的梯子,斜立在一

7、竖起的墙上,梯子底端距离墙底0.7m (如图),如果 梯子的顶端沿墙下滑 0.4 m,那么梯子底端将向左滑动 米(2) 如图,一个长为10米的梯子,斜靠在墙面上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8米, 如果梯子的顶端下滑 1米,那么,梯子底端的滑动距离 1米,(填“大于,“等 于,或“小于)(3) 如图,梯子 AB斜靠在墙面上,AC BC, AC=BC,当梯子的顶端 A沿AC方向下滑x米时,梯足B沿CB方向滑动y米,那么x与y的大小关系是()A. x yB. x yC. x yD.不能确定(4) 小明想知道学校旗杆的高度,他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1 m,当他把绳子的下端拉开5米后,发现绳子

8、下端刚好触到地面,试问旗杆的高度为2. 直角边与斜边和斜边上的高的关系:直角三角形两直角边长为a, b,斜边上的高为 h,那么以下式子总能成立的是(A. ab b2 B. a2 b2 2h2变：如图,在 Rt ABC 中,/ ACB=901 11111C.D. 2,2,2a bhabh,CD AB 亍F,设 AB=c ,AC=b ,BC=a, CD=h.求证：(1)a b h(2) a b c h(3) 以 a b, h, ch为三边的三角形是直角三角形C试一试：(1)只需证实h2(Wa1、 =)1 ,从左边推到到右边 b2(2)(3)h22c h ,汪意面积美系 ab ch的应用3. 爬行距

9、离最短问题:1. 如图,一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm,得到C1处有一只昆虫甲,在盒子的内部有一只昆虫乙(盒壁的 忽略不计)(1)假设昆虫甲在顶点 C1处静止不动,如图 a,在盒子的内部我们先取棱 BB1的中点E,再连结AE、EC1,昆虫乙如果沿途径 A E C1爬行,那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲,仔细体会其中的道理,并在图b中画一条路径,使昆虫乙从顶点 A沿这条路爬行,同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲.(2)如图b,假设昆虫甲从点 C1以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿 C1C向下爬行,同时昆虫乙从顶点A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行,那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉 到昆虫甲

10、？试一试：对于(2),当昆虫甲从顶点 C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时,昆虫乙可以沿不同的路径爬行,利用勾股定理建立时间方程,通过比较得出昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间图a图bND=10cm,2. 如图,一块砖宽 AN= 5 cm,长一只蚂蚁到B处吃食,要爬行的最短路线是3. 如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为CD上的点F距地面的高FD=8cm,地面上A处的cm20 dm、3 dm、2 dm , A 和 B是这个台阶两相对的端点,A点有一只昆虫想到 B点去吃可口的食物,那么昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是 分米？4. 如图,一只蚂蚁沿边长为 a的正方体外表从点 A爬到点B,那么它

11、走过的路程最短为A. 3aB. 12 aC. 3aD. . 5a4.折叠问题:1. 如图,有一张直角三角形纸片,两直角边 重合,折痕为DE,那么CD等于AC=6 , BC=8,将 ABC折叠,使点 B与点A25A.422B.37C.4D.1. 小明和爸爸妈妈十一登香山,他们沿着45度的坡路走了 500米,看到了一棵红叶树,这 棵红叶树离地面的高度是 米.2. 如图,山坡上两株树木之间的坡面距离是4把米,那么这两株树之间的垂直距离是米,水平距离是米.3. 如图,一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定,两个固定点之间的距离4. 如图,欲测量松花江的宽度, 沿江岸取B、C两点,在江对岸取一点

12、A,使AC垂直江岸, 测得BC = 50米,Z B = 60 ,那么江面的宽度为 .三求边长:1. (1)在 Rt ABC 中,a、b、：a=6, c=10,求b ；C分别是 A、：C的对边, C= 90 a =40, b =9,求 c ；B、2.如下列图,在四边形 ABCD43,CD.BAD= 90 ,DBC= 90 , AD=3 , AB=4 , BC=12 ,求8 km ,五方向问题:1.有一次,小明坐着轮船由 A点出发沿正东方向 AN航行,在A点望湖中小岛M,测得ZMAN = 30 ,当他到B点时,测得Z MBN = 45 , AB = 100米,你能算出 AM的长吗？2. 一轮船在大

13、海中航行,它先向正北方向航行米. 此时轮船离开出发点多少 km？假设轮船每航行1km,需耗油0.4升,那么在此过程中轮船共耗油多少升六利用三角形面积相等：1. 如图,小正方形边长为1 ,连接小正方形的三个得到, 可得 ABC,那么边AC上的高为A. 3 .2B. 3 5C. 3 5D. 4 521055七旋转问题：1.如图,点P是正 ABC内的点,且 PA=6, PB=8, PC=10,假设将 PAC绕点A旋转后,得 到 PAB,那么点P与点P之间的距离为 , Z APB=2. 如图, ABC为等腰直角三角形,BAC= 90,将 ABH绕点A逆时针旋转到 AC H处,假设AH=3cm,试求出H

14、、H两点之间的距离.3. 如下列图,P为正方形ABC纳一点,将 ABP绕B顺时针旋转90至V CBE的位置,假设 BP=a,求：以PE为边长的正方形的面积直角三角形 ABC中, 绕点C旋转,且直线的内部旋转时,如图,如下列图,在BD2 CD2ACB= 90 , CA=CB,圆心角为45,半径长为CA的扇形CEFCE、CF分别与直线 AB交于点M、N,当扇形 CEF绕点C在 ACB试说明2AD2.ABCMN 2 AM 22BN2的理由.中,AB=AC ,BAC=90 , D是BC上任一点,求证:CZ AOB=90.,在Z AOB的平分线 OM上有一点C,将一个三角板的直角顶点与点C重合,它的两条

15、直角边分别与 OA、OB 或它们的反向延长线相交于点D、E.当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时,如图,易证： OD OE V2OC ；当三角板 绕点C旋转到CD与OA不垂直时,如图、这两种情况下,上述结论还是否成立？假设成 立,请给与证实；假设不成立,线段OE、OC、OD之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想, 不需证实.2试一试：对于第 1 I可,OD=CE, I可题的实质是 2OE2 OC2, OE OC ,对于第二2问,通过作辅助线,将问题转化为第1问可解决.(八)折叠问题：1. 如图,矩形纸片 ABCD勺长AD=9cm,宽AB=3cm, 叠后DE的长是多少？将其折叠,使点 D与点B重合

16、,那么折2. 如图,在长方形 ABCD中,将 ABC沿AC对折至(1) 试说明：AF=FC ; (2)如果 AB=3 , BC=4,求 AF 的长3. 如图,在长方形 ABCD中,DC=5,在 DC边上存在一点 E, 使点D恰好在BC边上,设此点为 F,假设 ABF的面积为30,沿直线AE把 ABC折叠, 求折叠的 AED的面积4. 如下列图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm, BC=8cm,现将直角边 AC沿直线AD折叠,使它落在斜边 AB上,且与AE重合,你能求出 CD的长吗？5. 如图,Z B=90 , AB=BC=4 , AD=2 , CD=6(1) ACD是什么三角形？为什

17、么？(2) 把 ACD沿直线AC向下翻折,CD交AB于点E,假设重叠局部面积为 4,求DE的长.C一、平方根:(一)文字类题目:一个数的平方等于它本身,这个数是 ;一个数的平方根等于它本身,这个数是 ;一个数的算术平方根等于它本身,这个数是 一个数的立方根等于它本身,这个数是 ;一个正数的两个平方根的和是 .一个正数的两个平方根的商是 .(二).定义:1. (1) 81的平方根是9的数学表达式是(A. 819 B. .819)C. 819D. .819(81的平方根是(A. 9C. 9D. 3花表示, 扼=.16的数是,将16开平方得 ,因此平方与 互为逆运算.1 ,4的平方根是 ；的平方根是

18、 .的平方根是 0.81.(2) 数有平方根吗？假设有,求出它们的平方根；假设没有,请说明理由.(1) -64;(2) (-4) 2 ;(3) -52(4) 扃(3) 假设3a+1没有算术平方根,那么 a的取值范围是 假设3x-6总有平方根,那么x的取值范围是 .假设式子X 1的平方根只有一个,那么 x的值是.3(4) JX1 盘 1 x y 4 ,那么 x- y =a为实数,那么a2等于()A. aB. -aC. -1D. 0(5) 假设(x 3)2 y 4 0,那么 x + y= a2 9 Vb2 4 0 ,那么 a+ b=x、y满足：Jx 2y 3 (2x 3y 5)2 0,那么x-8y

19、的立方根为 (6) 代数式 3 Ja b的最大值是 ,这时a、b之间的关系是 (7) 假设rm 10 ,那么m =；假设Vm 4 ,那么m的平方根是 (8) 假设 & 3,贝U x=,、： x 23,贝U x=(9) 以下个数中：100 2,0, 6堀J 2 2,5 6没有平方根的有 个2. ABC的三边分别是a、b、c,且满足Va 1 b2 4b 4 0,求c的取值范围.a、b为实数,且J2a 6 b J20,解关于x的方程：(a+2) x + b2 = a! 4a2-49=0,求 39 10a 的值.3. 列方程求值:(3) 36 ( x-3) 2 -25=0,、2 一,一、2_ _(1)

20、 x =196;(2) 5x -10=0;4. (1)一个正数的平方根是2x-1和3-x,求这个数(2)Jx y 3与JXy 1是一个数的两个平方根,求2y 的平方根.5. 估算：(1)比较大小:.,5 1 一 3D2(2) a、b为两个连续的整数,且的绝对值是V3o(3)假设 m = J404,那么估计m的值所在的范围是(A.1 m 26.计算：(1) v3B. 2 m 3C. 3 m 4D.(2) 、以下计算正确的选项是(A、】95164B、1 212 2C、0.250.05D、7.平方根的性质:0.0152162 =52二、立方根1. 定义：(1)如果a是x的立方根,那么以下说法正确的选

21、项是()A. a也是x的立方根B. -a是-x的立方根C. a是-x的立方根D. -a和a都是-x的立方根(2)以下各式：V9 3；七0001 0.1；3.L010.1；另08 0.2,其中错误的有 个2. 根据定义求值：(1)求值：3X 125125216(2)方程：x 3 313. 估算：(1) 估计68的立方根大小在()A. 2与3之间B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间(2) 通过估算3；切20的整数局部为()A. 6B. 7C. 8D. 9(3) 3和0估算到个位=4. 平方根与立方根相结合：(1) 假设2x+1的平方根是5,那么5x+4的立方根是 (2) *侦 8,求M

22、lx的值.8(3) m满足2口 3 , k、n满足k 3 2 丁91 7n 0,求Vm2 3n的值3三、实数:1. 实数的定义：1.判断以下说法是否正确,为什么？(1) 无限小数是无理数；(2) 有理数都是是有限小数；(3) 无理数都是无限小数；(4) 带根号的数都是无理数(5) 任何实数的偶次藉都是正实数；(6) 在实数范围内,假设 x y ,贝U x=y.(7) 0是最小的实数;(8) 0是绝对值最小的实数；(9) 数轴上的点与有理数是-(10) 数轴上的点与实数是一2. 以下说法正确的选项是A.不存在最小的实数C.无限小数都是无理数3. 以下说法正确的选项是(A.无限小数是无理数C.无理

23、数的相反数还是无理数4. 把以下各数填入相应的集合内:-对应的对应的B.有理数是有限小数D.带根号的数都是无理数B.不循环小数是无理数D.两个无理数的和还是无理数,3.14,3, 1732,0, 0.3, 18, 71, 3631(1)(2)(3)(4)31、33、2有理数集合无理数集合正实数集合 负实数集合0、0.5、3.14159、-0.020020002 0.12121121112(2. 有效数字、科学记数法、近似数：注意：2000有4个有效数字,精确到个位2 103有1个有效数字,精确到千位1. 有几个有效数字,保存几个有效数字：用四舍五入法,按要求取近似值： 地球上七大洲的面积约为149480