完整概率统计大题总结,推荐文档

1、概率与统计大题总结一、 知识点汇编：1. 线性回归分析(1) 函数关系是一种确定性关系,而相关关系是一种非确定性关系.回归分析是对具有相 关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.(2) 线性回归分析：方法是画散点图,求回归直线方程,并用回归直线方程进行预报.其 回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：a = x betf"lx II T. - vl h1 £_1其中土i =|£,日称为样本点的中央*注,回归直线一定过回归中央*2.相关指蠢门* r 圣"S"* 1 y. i 'I - : - J(1)公式；#=1 一 +：r(2

2、) 0 土史 <1.4J分析,丁越大,意味看残差平方和越小,也就是说模型即拟合散果越好,在线性回归模型中,R2表示解释变量对于预报变量变化的奉献率.R2越接近于1,表示回归的效果越好.如果对某组数据可能采取几种不同的回归方程进行回归分析,也可以通过比较几个 R2,选择R2大的模型作为这组数据的模型.说明：r只能用于线性模型,R2那么可用于任一种模型.对线性回归模型来说,R2 r2.3、独立性检验(1) 对于性别变量,其取值为男和女两种.这种变量的不同“值表示个体所属的不同类 另U,像这类变量称为 分类变量.(2) 假设有两个分类变量 X和Y,它们的值域分别为x1 ,y1和y1, y2其样

3、本频数列联表称为2X2列联表:y1y2总计X1aba+ bX2cdc+ d总计a + cb + da+ b+ c+ d22 a b c d ad bc(3) 构造随机变量 K2 a b c d a c b d利用K2的大小可以确定在多大程度上可以认为"两个分类变量有关系,这种方法称为两个会美变寇的独立性检可以利用独立性桂强来夸察两个分卖斐星是否有关系,并且胶精强地格出这种判好的可 靠程度 具体做法是：根据观测数据计苴出随机的值占其值越大*说朗七了与F有 关系成立的可能性越大.当得封的观洌段据弟% G 口'都不刁、于s时,可以通过查阅F 哀来确定轮论七了与：有关系的可信程度.#

4、+1火芸22.70(5*3843£ & HL0 SS20心0.010-OOOU1如：如果k>7.879,就有99.5%的把握认为“ X与Y有关系4、概率事件的关系：事件B包含事件A:事件A发生,事件B 一定发生,记作 A B;事件A与事件B相等：假设 A B, B A,那么事件A与B相等,记作A=B并和事件：某事件发生,当且仅当事件A发生或B发生,记作 A B 或A B ；并积事件：某事件发生,当且仅当事件A发生且B发生,记作 A B 或AB；事件A与事件B互斥：假设A B为不可能事件A B,那么事件A与互斥;对立事件：A B为不可能事件, A B为必然事件,那么A与B

5、互为对立事件.概率公式:古典概型：P(A)A包含的根本领件的个数 :.根本领件的总数几何概型：P(A)构成事件A的区域长度(面积或体 积等):一: : :试验的全部结果构成的区域长度(面积或体积等)5、统计案例抽样方法：简单随机抽样：一般地,设一个总体的个数为N通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本,且每个个体被抽到的时机相等,就称这种抽样为简单随机抽样.注：每个个体被抽到的概率为-;N常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数表法.系统抽样：当总体个数较多时,可将总体均衡的分成几个局部,然后根据预先制定的规那么,从每一个局部抽取一个个体,得到所需样本,这种抽样方法叫系统抽样.注：步骤：

6、编号；分段；在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号； 按预先制定的规那么抽取样本.分层抽样：当总体有差异比较明显的几局部组成时,为使样本更充分的反映总体的情况,将总体分成几局部,然后根据各局部占总体的比例进行抽样,这种抽样叫分层抽样.注：每个局部所抽取的样本个体数 D亥局部个体数 N注：以上三种抽样的共同特点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等频率分布直方图与茎叶图：用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图.当数据是两位有效数字时, 用中间的数字表示十位数, 即第一个有效数字, 两边的数字表示个位数, 即第二个有效数字, 它的中间局部像植物的茎, 两边像植物 茎上长

7、出来的叶子,这种表示数据的图叫做茎叶图.总体特征数的估计:样本平均数x-(XinX2Xn)- n iXi,1,-、2】1/-、2(XnX) -(XX),样本方差 s2 -(x1X)2 (x2X)2n样本标准差 S1(XiX)2(X2X)2(XnX)2=1 n(XiX)2nn i 1大题练习1.本小题总分值12分某中学准备招聘一批优秀大学生到本单位就业,但在签约前要对他们的师范生素质进行测试.在待测试的某一个小组中有男、女生共10人其中女生人数多于男生人数 ,如果从中随机选2人参加测试,其中恰为一男一女的概率为-8.1求该小组中女生的人数；32假设此项专业技能测试对该小组的学生而言,每个女生通过

8、的概率为小每个男生通2 过的频率为；.现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试,记这 3个人中通过测3试的人数为随机变量E,求E的分布列和数学期望.d C1o n 8解析1设该小组有n个女生,根据题意,得 一勇一=福,3分解得n= 6或n= 4舍去.5分该小组中有6个女生.6分2由题意知,E的所有可能取值为 0,1,2,3,1.1.11go=3x3x4= 36,7分2,1,1137PE= 1 = c2x 3X 3X 4 +矿 4= 36,8 分PE= 2 = C2X 2X 1X 4 + |2X 4= 4, 9 分P(E=3) = (2)2x 4 = 1.(10 分)0123P_1_r

9、_7_ 41363693.E的分布列为(11 分)-E(&= 0X 31-+ 1X 日+ 2X 4 + 3X 3= 2|.(12 分) 363093 122. (2021江西红色六校二次联考)(本小题总分值12分)某企业招聘工作人员,设置A, B, C三组测试工程供参考人员选择,甲、乙、丙、丁、戊五人参加招聘,其中甲、乙两人各自独立参加A组测试,丙、丁两人各自独立参加B组1 1测试.甲、乙两人各自通过测试的概率均为*丙、丁两人各自通过测试的概率均为 土3 2戊参加C组测试,C组共有6道试题,戊会其中 4题.戊只能且必须选择4题作答,至少答对3题那么竞聘成功.(1) 求戊竞聘成功的概率；

10、(2) 求参加A组测试通过的人数多于参加B组测试通过的人数的概率；记A、 B组测试通过的总人数为匕求E的分布列和期望.解析(1)设戊竞聘成功为 A事件,那么 P(A) = C4二严=岑=3.(3 分)(2)设参加A组测试通过的人数多于参加B组测试通过的人数为 B事件,1 2 ,1. 11,1. 1 1*1.7贝U P(B) = C2x 3X 3X (歹2 + 3X §x 冒2+ §x 3 X C2x §)2 = 30.(6 分)(3) E的所有可能取值为0,1,2,3,4,2 2 111P(E=0) = -x 3X寸 2=9,.12 11 2 2“ 11 1P(艺

11、=1) = c2x - x_x-x-+_x-x c2x-x_=_P( 1 C 3 3 2 2十 3 32 2 3,1/1,1、/1 2/2、/1、/11 1、/2、/ 1、/1 13P( ？= 2) = -X -x -x 一+ -x - X -x 一+ cM-X-X C2x-X-= P( & 2) 3 3 2 2 3 3 2 23 32 2 2 36'11“ 11、 1 2 1 11p(E=3) = - x 3 XC2X / 2+ c2x 广广寸成=？1、,1、,1、,1g 4) = 3 X3 X 2 2=36.(10 分)所以E的分布列为01234p111319336636E

12、( 3 = 0X 1 + 1 X3+ 2X 籍 + 3X 6 + 4X如3.(12 分) 9336636 33. 2021石家庄一模本小题总分值12分1现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目非你莫属?,假设甲应聘成功的概率为2,乙、丙应聘成功的概率均为 20<t<2,且三个人是否应聘成功是相互独立的.1假设乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率,求t的值；2记应聘成功的人数为E,假设当且仅当E为2时概率最大,求 E8的取值范围.t t 1 . 一解析 1由题怠碍2xx 1 一五=2,解得t= 1.3分2 E的所有可能取值为0,1,2,3,1 t t 2t2P(E=

13、 0) = (1 - 7)(1 - -)(1 - Z) = Z1 t t 4t2-2)x 2X (1 -夕=亍,2 228P(E= 1) = |x (1 - j)x (1-；)+ 2X (1P( E= 2) = 2 x 1 x 2 x (1 -项 + (1 - 2)x1、/1、/1 t2 P( E= 3) = 2X 2X 2= o.2 2 2 8故E的分布列为0123P2-t 284 t284tt2 8t28(7分),1所以 E(&= t + 2.(8 分)t 1 t2+ 4t 2由题意得 P(A 2) P(E= 1)= >0, P(E= 2)- P(E= 0) =4>0,

14、P(= 2) P( E2t- t2 =3) = 丁 >0.又由于0<t<2,所以t的取值范围是1<t<2.11分一 35所以2<E&<2.12 分4.本小题总分值12分周先生的船舱中装有 6条小鱼和1条大鱼,由于在海上漂流,他方案从当天开始,每天从该船中捕捉1条鱼(每条鱼被抓到的概率相同)并吃掉来维持生计.假设大鱼未被捕捉,那么它 每天要吃掉1条小鱼.(1) 求这7条鱼中至少有6条被周先生吃的概率；(2) 以E表示这7条鱼中被周先生吃掉的条掉,求E的分布列及其数学期望.解析(1)设周先生能吃到的鱼的条数为E,4 一 ,一,.一,-,1假设周先生

15、要吃到7条鱼,那么必须在第一天吃掉大鱼,P(E= 7)=假设周先生要吃到6条鱼,那么必须在第二天吃掉大鱼,P(E= 6) = ¥ *=亲.11故周先生至少吃掉 6条鱼的概率是 P(亨6) = P( 6) + P( 7) = .(4分)35周先生能吃到的鱼的条数E可取4,5,6,7,最坏的情况是只能吃到4条鱼：前3天各吃掉1条小鱼,其余3条小鱼被大鱼吃掉,第 4天吃掉大鱼,其概率为p(p4) = |X 5 X 3=芸,(6 分)64 18p(E=5) = 7 x 5 x 3= 3561.由(1)知 P(R 6)=耘,P(R 7) = 1.(8 分)35/所以E的分布列为(10 分)故

16、E(3 =35354567P1635_8_35_6_35176 6 ,35 +7 X 1 s"八' -=5.(12 分)5. (2021北京)(每题总分值13分)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立):场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512(1) 从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2) 从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,场不超过0.6的概率

17、；(3)记x为表中10个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场,记X为李明在这场比赛中的命中次数.比较E(X)与x的大小.(只需写出结论)思路(1)利用古典概型求概率;(2)利用互斥事件和独立事件概率计算公式求概率;(3) 直接利用数学期望公式求解.解析(1)根据投篮统计数据,在10场比赛中,李明投篮命中率超过 0.6的场次有5场,分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4.所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过 0.6的概率是0.5.(3分)(2)记事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6",事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率

18、超过0.6",事件C为“在随机选择的一0.6,一场不超过0.6.个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过贝U C= A B U A B, A, B 独立.(5 分)32根据投篮统计数据,P(A)= 5,P(B)= 5.5 5P(C) = P(A B ) + P( A B)=3x3+2x25 5 5 5 13 八=云.(8分)0.6, 一场不超所以在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 过0.6的概率为g.(9分)(3)E(X)= x .(13 分)6. (本小题总分值12分)我国的高铁技术开展迅速,铁道部门方案在A, B两城市之间开通高速列车,假设列车在试运行

19、期间,每天在8: 00-9: 00,9: 00- 10: 00两个时间段内各发一趟由 A城开往B城的列车两车发车情况互不影响,A城发车时间及概率如下表所示:发车时间8: 108: 308: 509: 109: 309: 50概率161312161312假设甲、乙两位旅客打算从A城到B城,他们到达 A城火车站的时间分别是周六8: 00和周日8: 20.只考虑候车时间,不考虑其他因素1求甲、乙两人候车时间相等的概率；2设乙候车所需时间为随机变量E,求E的分布列和数学期望E$.解析 1由题意得,甲、乙两人的候车时间分别是10分钟,30分钟,50分钟的概率11111111为 P 甲10 = P 甲30

20、 = 3, P 甲50 = 2； P 乙10 = q, P 乙30 = 2, P 乙50 =-X-= 36.4一.一 11 1 1 1117所以甲、乙两人候车时间相等的概率P=-X 3+ -X 2+诳=无.6分E的所有可能取值为10,30,50,70,90 ,单位：分钟所以E的分布列为1030507090P1312_1_36118112数学期望 E 3= 10X 1+ 30X1 + 50X 土 + 70X 土 + 90X 土 = 280.12 分3 236181297. 本小题总分值12分A, B, C, D, E,考古工作人员需挖掘考古工作人员在某遗址经过全面勘探、调查和试掘,判定该遗址有F

21、六件珍贵物件,且这六件珍贵物件呈如下列图的位置在地底埋藏着,出上面的某个物件后才能挖掘其相应位置下面的物件.1假设要求先挖掘物件 A, B, C, E,求物件E第3次被挖掘到的概率；2设物件E第X次被挖掘到,求随机变量 X的分布列与数学期望.解析1由题意,可将上述问题转化为：挖掘 4个物件A, B, C, E进行了 4个步骤,且挖掘B步骤一定在挖掘 E步骤前,物件 E可在第2步、第3步或第4步被挖掘到.方法一 分类列举不考虑D, F:假设E在第2步被挖掘到,那么 B必在第1步被挖掘到,故有 A2= 2种情况；1分假设E在第3步被挖掘到,那么 B在E前选1步被挖掘到,故有 C2a2= 4种情况；

22、3分假设E在第4步被挖掘到,那么有 A3= 6种情况.4分故物件E第3次被挖掘到的概率 P = 4= 1.5分 12 3方法二 排组计数考虑了 D, F:由于B必在E前,即B, E步骤顺序一定,故总的可能情况有C2a2a2= 24种.2分假设E在第3步被挖掘到,那么B在E前选1步被挖掘到,故有 C2A2A2= 8种情况,4分故物件E第3次被挖掘到的概率 P =房=1.5分2由题意,可将上述问题转化为：挖掘6个物件A, B, C, D, E, F进行了 6个步骤,且要求A在D前,B在E前,C在F前.贝U物件E可在第2步、第3步、第4步、第5步、第6步被挖掘到,即 X的所有可能取值为 2,3,4,

23、5,6.C4C21c2c4C 2PX= 2 = c6c4c2= 15,PX=3= c6c2c2= 15,c3c4c2 1c4c4c2 4pX=4 = c6c4c2= 5,PX=5 = c2c4c2= 15,C1C2C2 1pX= 6 = c6c2c2=3.随机变量X的分布列为X23456P121411515515310 分所以 EX= 2X 土 + 3X £ + 4X 1+ 5X土 + 6X： = 14.12 分1515515338. 2021成都二次诊断本小题总分值12分节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量,使用时间越长,说明质量越好,且使用时间大于或等于6千小时的产品为优质品.现

24、用 A, B两种不同型号的节能灯做试验,各随机抽 取局部产品作为样本,得到试验结果的频率分布直方图如下列图：以上述试验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率.1现从大量的A, B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品,求恰有两件是优质品的概率；2A型节能灯的生产厂家对使用时间小于6千小时的节能灯实行“三包.通过多年统计发现,A型节能灯每件产品的利润y单位：元与其使用时间t单位：千小时的关系如下表：使用时间t单位：千小时t<44 < t<6t法6每件产品的利润y单位:元一202040假设从大量的A型节能灯中随机抽取两件,其利润之和记为X单位：元,求X的分布列及数学期望.1解析1

25、从A型号节能灯中随机抽取一件产品为优质品的概率PA = 2.1分从B型号节能灯中随机抽取一件产品为优质品的概率P(B) = |.(2分)P= C25.从A, B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品,恰有两件是优质品的概率(1)1(1)1 X c2(5)1(|)1 + C*)2X C2(5)2x C2(2)2X 顷5)2 =制(6 分)(2)据题意,知 X的可能取值为40,0,20,40,60,80.(7分). P(X= 40) = c2房)2=洽P(X= 0) = c2(%)1x(|)1=2|,1 ,1 ,1P(X= 20) = C2(布)1X(2)1=而,P(X= 40) = C2(|)2=

26、2|,212P(X= 60) = C2(|)x (-)1 = i, 525P(X= 80) = c2(2)2= 1. X的分布列为X一40020406080P1 1002211104212514(10 分)11421.数学期望 E(X)= 10(-4 X-+ 0+ 2X+ 4X 云 + 6X-+ 8X -) = 52.(12 分) 1001025549. (2021安徽)(本小题总分值12分)某高校共有学生15 000人,其中男生10 500人,女生4 500人,为调查该校学生每周 平均体育运动时间的情况, 采用分层抽样的方法, 收集300位学生每周平均体育运动时间的 样本数据(单位：小时).

27、(1) 应收集多少位女生的样本数据？(2) 根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为：0,2, (2,4, (4,6, (6,8, (8,10, (10,12,估计该校学生每周平均体育运动时间超过 4小时的概率.(3) 在样本数据中,有 60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运附：K2=动时间与性别有关 .P(K2> k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.8792n ad bca+ b

28、 c+ d a+ c b+ d思路 (1)根据抽样比计算分层抽样中应抽取的人数;(2) 利用对立事件或互斥事件的概率公式求运动时间超过4小时的概率；(3) 根据K2的计算公式求解.4 500 解析(1)300 X 15 00Q0 = 90,所以应收集90位女生的样本数据.(2分)(2) 由频率分布直方图,得1 2X (0.025 + 0.100) = 0.75,所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(5分)(3) 由知,300位学生中有300X 0.75 = 225人的每周平均体育运动时间超过4小时,75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又由于样本数据中有21

29、0份是关于男生的,90份是关于女生的,所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：(7分)每周平均体育运动时间与性别列联表男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时间超过4小时16560225总计21090300结合列联表可算得 K2= 300X 45>< 60T65 * 30 =票q 4.762>3.841.75 X 225 X 210 X 9021所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关 . (12分)探究 知识：分层抽样、频率分布直方图、独立性检验.水平：根据频率分布直方图求概率、分层抽样计算女生的人数以及根据K2进

30、行独立性检验,考查运算求解水平、分析解决问题的水平、数据处理水平以及逻辑思维运算水平.试题难度：中等.10. (2021山东六校联考)(本小题总分值12分)为改善城市雾霾天气造成的空气污染,社会各界掀起净化、美化环境的热潮.某单位计划在办公楼前种植 A, B, C, D四棵风景树,受本地地理环境的影响,A, B两棵树种成活1的概率均为2,另外两棵树种的成活率都为a(0<a<1).(1)假设出现A, B有且只有一棵成活的概率与C, D都成活的概率相等,求 a的值；2 .当a = 2时,记E为最终成活的树的数量,求E的分布列和数学期望E(3.3思路 此题以社会热点问题为命题背景,考查概

31、率的计算、随机变量E的分布列和数学期望E(3的计算.(1) 根据A, B有且只有一棵成活的概率与C, D都成活的概率相等列出等式即可求出a的值；(2) 考查离散型随机变量的期望值,求解离散型随机变量的问题,首先根据题意分别求出随机变量E的可能取值对应的概率,列出E的分布列,再根据期望公式计算E(3的值.解析(1)由题意,得2X； x (1 -2) = a2,解得a=乎.(4分)依题意,随机变量E的所有可能取值为 0,1,2,3,4,那么 P(E=0) = C0x (1 - 1)2x C2x (12)2= 土,2336.11 n 21221P(E= 1)= c2xM (1 -2)X C2x(1

32、3)2+ C0X(1 2)2xC2x-x(1 -)=甘,c 121122-1cP( E= 2) = C2x(2)2x C2x(1 )2+ c2x x (1 -)x C2x 3x(1 -)+ c2x(1 -)2x C2X(2)2=炊(3) 36'P( E=3) = C2x (2)2x C2x 3x (1- 3) + C2x ；x (1 -2)x C2x (|)2= 3, P( E= 4) = C2x (；)2x C2x (3)2 = 9.(9 分)所以E的分布列为01234P1361613361319E 3 = 0X £ + 1X 1+ 2 X 11+ 3X1+ 4X 1 =

33、7.12 分 3663639 311. 2021南昌二模本小题总分值12分某公司生产产品 A,产品质量按测试指标分为：指标大于或等于90为一等品,大于或等于80小于90为二等品,小于80为三等品,生产一件一等品可盈利 50元,生产一件二等 品可盈利30元,生产一件三等品亏损 10元.现随机抽查熟练工人甲和新工人乙生产的这种 产品各100件进行检测,检测结果统计如下：测试指标70,75)75,80)80,85)85,90)90,95)95,100)甲3720402010乙515353573现将根据上表统计得到甲、乙两人生产产品A为一等品、二等品、三等品的频率分别估计为他们生产产品 A为一等品、二等品、三等品的概率.1计算新工人乙生产三件产品A给工厂带来盈利大于或等于100元的概率；2记甲、乙两人分别生产一件产品A给工厂带来的盈利和为X,求随机变量 X的概率分布和数学期望.解析 甲生产一件产品 A为一等品、二等品、三等品的概率分别为W