完整版专题分式不等式的解法

1、(一)分式不等式:型如：f(x)(x)0或旦打 0(其中(x)f(x)、(x)为整式且(x)0)的不等式称为分式不等式.(2)归纳分式不等式与整式不等式的等价转化：f (x)(1) (x)0f(x) (x) 0(3)四 0(x)f(x)(x) 0(2)冬(x)0f(x) (x) 0(x) 0(4)fx20(x)f(x)(x) 0(x) 0(3)小结分式不等式的解法步骤：(1) 移项通分,不等式右侧化为“0,左侧为一分式(2) 转化为等价的整式不等式(3) 因式分解,解整式不等式(注意因式分解后,一次项前系数为正)(1)分式不等式的解法：变式一：3x102等价转化为：(x1)(3x 2) 03x

2、 2 0比较不等式-x 1x 10及L 0的解集.(不等式的变形,强调等价转化,分母不为零)3x 23x 2解关于x的不等式旦03x 2方法一:等价转化为方法二：等价转化为：x 13x 20x10或 0 3x 2 0(x 1)(3x 2)0练一练：解关于x的不等式拦0_2-33 5x例1、解关于x的不等式：x 2x 3x 2 _ _解：2 0x 3x 2 2(x 3)0x 3即,x 8 0 x 30 保证因式分解后,保证一次项前的系数都为正等价变形为:(x 8)(x 3) 0原不等式的解集为8, 3x 8_例2、解关于x不等式 2x2 2x 3方法一：x2 2x 3恒大于0,利用不等式的根本性

3、质方法二：移项、通分,利用两式同号、异号的充要条件,划归为一元一次或一元二次不等式.a .例3、解关于x的不等式：一1x一 a解：移项 a 10x通分 J 0即,- 0_,xx a 0等价转化为, '/x 0当a>0时,原不等式的解集为0,a当a<0时,原不等式的解集为a,0当a=0时,原不等式的解集为1. 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法例1解不等式(x 4)(x 1) 0.分析一：利用前节的方法求解；分析二：由乘法运算的符号法那么可知,假设原不等式成立,那么左边两个因式必一 一、. x 1 0 . x 1 0、须异号,原不等式的解集是下面两个不等式组：x 1 0与x

4、 1 0的解集x 4 0 x 4 0的并集,即(x|x1° Ux| x 1° =4 U x|-4<x<1=x|-4<x<1.书写时可x40 x 40按以下格式：x 1 0x 1 0解二：. (x-1)(x+4)<0 x 1 0 或 x 1 0x 4 0x 4 0x£ 4 或-4<x<1-4<x<1 ,原不等式的解集是x|-4<x<1.小结：一元二次不等式ax2 bx c 0(或ax2 bx c 0 )(a 0 )的代数解法：设一元二次不等式 a力bx c 0(a 0)相应的方程a bx c 0(a

5、0)的两根为x1、x2 且 x1x2 ,2ax bx c 0 a(x x1)(xx2 )0；假设ax0,那么得x10x或x10,x x1x或x1,xx20, xx20.x x2,xx2.当x1乂2时,得xx1 或 x x2 ； I当 x x？时,得xR,且xx1假设ax0,那么得为0x为0,或x x1,或x x1,xx2 0, x x20.x x2,x x2.1当x1x2时,得x1x x2 ；当 x1x2时,4曰彳寸x.分析三：由丁不等式的解与相应方程的根有关系,因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.解：求根：令(x-1)(x+4)=0,解得x (从小到大排歹U)分别

6、为-4, 1,这两 根将x轴分为三局部：(-,-4) (-4, 1) (1, + ); 分析这三局部中原不等式左边各因式的符号(-,-4)(-4, 1)(1, + )x+4-+x-1-+(x-1)(x+4)+-+由上表可知,原不等式的解集是(x|-4<x<1.例 2:解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0 ;解：检查各因式中x的符号均正； 求得相应方程的根为：-2, 1, 3; 列表如下：-213x+2-+x-1-+x-3-+各因式积-+-+由上表可知,原不等式的解集为：(x|-2<x<1或x>3.小结：此法叫列表法,解题步骤是： 将不等式化为(x-x

7、1)(x-x2)(x-xn)>0(<0)形式(各项x的符号化“ +),令 (x-x1)(x-x2)(x-xn)=0,求出各根,不妨称之为分界点,一个分界点把(实数)数 轴分成两局部,n个分界点把数轴分成n+1局部； 按各根把实数分成的n+1局部,由小到大横向排列,相应各因式纵向排列 (由对应较小根的因式开始依次自上而下排列)； 计算各区间内各因式的符号,下面是乘积的符号； 看下面积的符号写出不等式的解集.练习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0.(x|-1<x<0 或 2<x<3.思考：由函数、方程、不等式的关系,能否作出函数图像求解Hgr

8、 F2T fF3ri j FST T rfiT 二v F- lEoori |T race RegraFhiHathlDrawfrVMkRIiMF.AO hUHQFUHC何T b tY rsT y ns宁 yt？ xspir f |Zwn TraGelRegrapii M-ath|Draiw|T r 1 翌.A friAIHRflb AllTDruHC例2图练习图直接写出解集：(x|-2<x<1 或 x>3. (x|-1<x<0 或 2<x<3在没有技术的情况下：可大致画出函数图星求解,称之为 申根法 将不等式化为(X-X1)(X-X2)(X-Xn)&g

9、t;0(<0)形式,并将各因式X的系数化“+ ； (为了统一方便) 求根,并在数轴上表小出来； 由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(为什么？)； 假设不等式(X的系数化“ +后)是“ >0那么找“线在X轴上方的区间； 假设不等式是“ <0那么找“线在X轴下方的区间.注意：奇穿偶不穿例 3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.解：检查各因式中X的符号均正； 求得相应方程的根为：-1, 2, 3 (注意：2是二重根,3是三重根)； 在数轴上表示各根并穿线,每个根穿一次(自右上方开始),如以下列图:-1X01k .原不等式的解集为：(x|-1<x<

10、2或2<x<3.说明：.S是三重根,二在C处穿三次,2是二重根,在B处穿两次,结 果相当丁没穿.由此看出,当左侧f(x)有相同因式(X-X1)n时,n为奇数时,曲线在 X1点处穿过数轴；n为偶数时,曲线在X1点处不穿过数轴,不妨归纳为“奇穿偶练习：解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4) 0.解：将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2) 2 0； 求得相应方程的根为：-2 (二重),-1, 3; 在数轴上表示各根并穿线,如图： .原不等式的解集是(x|-1 x 3或x=-2.说明：注意不等式假设带“=号,点画为实心,解集边界处应有等号；另外, 线虽不穿-2点,但x=-

11、2满足“=的条件,不能漏掉.2. 分式不等式的解法例4解不等式：3 0.错解：去分母得x 3 0原不等式的解集是x|x 3 .解法1:化为两个不等式组来解:x3c x30x30或x 7x 7 0x 7 原不等式的解集是x| 7 x 3解法2:化为二次不等式来解:.x 3 0 (x 3)(x 7) 0. ITl x 7 0原不等式的解集是x| 7 x 3说明：假设此题带“=,即(x-3)(x+7) 件,解集应是x|-7<x 3.小结：由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数,不等号方向不变；不 等式两边同乘以负数,不等号方向要变；分母中有未知数x,不等式两边同乘以一个含x的式子,它的正负不

12、知,不等号方向无法确定,无从解起,假设讨论分母 的正负,再解也可以,但太复杂.因此,解分式不等式,切忌去分母.0,那么不等式解集中应注意x -7的条解法是：移项,通分,右边化为0,左边化为*的形式. g(x)例5解不等式：x2 3x 2 0x2 2x 3解法1 :化为不等式组来解较繁.解法2: .x2 3x 2 x2 2x 32_2(x 3x 2)( x x2 2x 3 02x 3) 0(x 1)(x(x 3)(x2)(x 3)(x1) 01)原不等式的解集为(x| -1<x1 或 2 x<3.练习：1.课本P21练习：3(1)；2.解不等式-3 2. x 5答案：1.(1)(x|

13、-5<x<8;x|x<-4,或 x>-1/2 ; 2.x|-13<x<-5.1.3.5.7.9.11.13.15.17.19.练习：解不等式:不等式不等式不等式不等式不等式2 4xx2 3x 2(答：(x|x 0 或 1<x<2)2x2 3x 13x2 7x0的解集是2.3x 1不等式3 x1的解集是2x2 3x2x1的解集是4.十华x 1不等式x 1的解集是x 129x5x1的解集是6.*华* x2 3x 2不等式x2 7x0的解集是122 x x2x 12x 33x 4不等式不等式不等式不等式不等式1的解集是8.十2x 1不等式x 21的解集是2的解集是 10.k坚说x2 1不等式 2(x 1)(x一2的解集是1)2 x -2 x3x""2x(2x3)(3x(x 2)(2 x0的解集是12.2丁卒* x x不等式2x 11的解集是