内积空间的基本概念汇总

1、第四章 Hilbert空间内积空间的基本概念设H是域K上的线性空间，对任意X, y芒H ,有一个中K数x= 0 ；(x, y)与之对应，使得对任意 x,y,z芒H ; 1)(x,yp 0； (x,y) = 0,当且仅当2)3)4)(x,y) = (y,x)；(7y)i (x,y)；(x+ y,z) = (x,z) + (y,z)；称(,)是H上的一个内积，H上定义了内积称为内积空间。定理1.1设H是内积空间，则对任意x,y壬H有：2|(x,y) I兰(x,x)(y,y)。设H是内积空间，对任意X芒H，命|x|= J(x,x)则| |是H上的一个范数。例 设H是区间a,b上所有复值连续函数全体构

2、成的线性空间，对任意X, yE H，定义” b(x,yp f x(t)y(t)dt则与L2a,b类似，(x,y)是一个内积，由内积产生的范数为1b2O|x|Fca|x(t)| dt)2上一个内积介不是Hilbert空间。定理1.2 设H是内积空间，则内积（x,y）是X,y的连续函数，即时 XT X , y.T y , （Xn,yn）T （X）。定理1.3 设H是内积空间，对任意x,y亡H，有以下关系式成立,1）平行四边形法则:l|X+ y|2 + |X- y|2 = 2(|x|2 + |y|2);2)极化恒等式：1I222(x, y) = -( |X + y| - |X- y| + i|X 十

3、 iy| -4i|x- iy|f)定理1.4 设X是赋范空间，如果范数满足平行四边形法则，则可在X中定义一个内积，使得由它产生的范数正是 X中原来的范数。正交性，正交系1正交性设H是内积空间，X, y芒H，如果（X, y） = 0,称x与y正交，记为X丄y。设M是H的任意子集，如果X芒H与M中每一元正交,称X与M正交，记为X丄M ；如果M , N是H中两个子集,对于任意X芒M , y" N , X丄y ，称M与N正交，记M丄N。设M是H的子集，所有H中与M正交的元的全体称为M的正交补，记为M丄。定理2.1 设H是内积空间1)2)如果 x,y,z- H , x= y + z 且 y 丄

4、 z,则 |x |2 = llyll2 + |z|2 ；如果L是H的一个稠密子集，即L = H，并且3)M是H的任意子集，则M丄是H的闭子空间。定理2.2 设M是内积空间 H中的完备凸集，则对任意X 丄 L,则 X = 0;X芒H，存在x。芒M，使得Hx- XolAd(x,M)= iynf l|x- y|定理2.3 (正交分解)设M是Hilbert空间H的闭子空间, 对任意X- H，存在唯一的X/ M及y芒M丄，使得2正交系设xj, a - I是内积空间H中的子集，如果0 -(xyp)二0，称XoJ,。芒I是中的一个正交系。设xj,。是一个正交系，如果对每一上密壬I ,| x|= 1,称xj产

5、芒一个标准正交系。设xj，八 I是H的一个正交系，如果包含它的最小闭子空间是全空间H，称xj,。" I是的正交基。定理2.4设巳是内积空间H中的标准正交系，X芒H ,1,产n是n个数，则当且当仅a k = (x,ek) (k = 1,.,n)时，n| X -瓦a kek |取最小值。k 1定理25( Besse不等式)设en是内积空间H中的标准正交系，则对任意X忘H，有迓222l(x,ek)円|x|定理2.6设en是内积空间中的一个标准正交系，则en是 完备的，当且仅当en张成的子空间L在H中稠密。定理27设H是Hilbert空间，en是H中的标准正交 系，则en是完备的，当且仅当e

6、n是完全的。定理28设H是Hilbert空间，en是H中的标准正交 系，f nP l2，则存在X" H，使得(x,ek)(k = 1,2,.)并且2|5|2 =|x|2定理2.9 (正交化定理)则在H中存在标准正交系设Xn是内积空间H中的可数子集,巳，使得Xn与巳张成的子空间相同。3可分空间的同构定理210设H是任一可分的无穷维的Hilbert空间，则存在 H上到l2同构映射W ,且W保持内积。这个定理表示任何一个无穷维中分空间可以表示为“坐标形式”l2Riesz表示定理，Hilbert空间的共轭空间1 Riesz表示定理定理3.1（ Riesz表示定理）设H是Hilbert空间，f

7、是H上任意有界线性泛函，则存在唯一的yf芒H，使得对于每一个H，有 f(x) = (x,yf)，并且有 |f|=|yf|。2空间的共轭空间设H是Hilbert空间，A卩（H），于是对任意y- H，易见（Ax, y）（x忘H ）是H上的一个有界线性泛函，因此由 Riesz表示定理，存在唯一的 H，使得(Ax,y) = (x,z)(x" H)(1)定义By = z。定义设H是Hilbert空间,A- P （H ）,把（1）式确定的有界线性算子B称为A的共轭算子。注意区别第三章第四节中定义H上的有界线性算子 A的共轭算子A*。以后说到Hilbert空间H上的有界算子的共轭算子 A均指（1）

8、定义的算子B，并且把它记为A*，即A的共轭算子A*是由下式定 义的算子:(Ax, yH (x,Ay) (x,y芒 H )。定义 设H是Hilbert空间，A是H上的有界线性算子，如果A = A，即对任意X, y H(Ax, yp (x,Ay)则称A是自共轭算子。设A是Hilbert空间H的有界共轭算子，以下是算子 A的一些简单性质。1)对任意X芒H , (Ax,x)是实的。2)IIAIXUPKAWI3)算子A的特征值是实的。4)对应于算子A的不同特征值扎1,s的特征向量X1,X2是正交的。四 Hilbert空间中的自共轭紧算子引理4.1设H是Hilbert空间，A是H上的有界共轭算子,如果存在x。壬H , llx。！卜1，使得泛函(x)F|(Ax,x)|在x0点达到极大，则由(x0,y)= 0可推出(Ax0,y)= (x0, Ay)=0。定理 42(Hilbert- Schmidt)设A是Hilbert空间H上的自共轭紧算子，则存在对应于特