圆锥曲线最值问题—5大方面专题

1、全国名校高考数学复习优质专题汇编(附详解)圆锥曲线最值问题一5大方面最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的 热点。解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义， 而且要善于综 合应用代数、平几、三角等相关知识。以下从五个方面予以阐述。优质真题一. 求距离的最值例1.设AB为抛物线y=x2的一条弦，若AB=4 ,则AB的中点 到直线y+1=0的最短距离为,1pzAi-1Ml E1，4Mi,+ 34解析：抛物线y=x2的焦点为F (0 , 1 )，准线为y=4过A、B、M准线y= 1的垂线，垂足分别是 Ai、Bi、4则所求的距离 d=MMi+3 = 1 (AAi+BBi) + 3

2、 = 1 (AF+BF)4242iAB+3=1 W+3=ii，当且仅当弦AB过焦点F时，d取最小24244值11，4评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识， 使解题简洁明快，得心应手。二. 求角的最值例2. M, N分别是椭圆x2 y2 的左、右焦点，I是椭圆的一+匚=142条准线，点P在I上，则/ MPN的最大值是.解析：不妨设I为椭圆的右准线，其方程是x=272，点P(272,y0)(y0 AO)，直线PM和PN倾斜角分别为讪P .T M(-j2,o), n(V2,o)y。kPM =tana = 貨 0kyn = tan P = 辛 0厂=-t02Q2Z23J22V2V2

3、 V2全国名校高考数学复习优质专题汇编(附详解)yo y 0是 tan N MPN = tan( P - a )tan P - tan a3 JT1 + tan P tan a+ y 0 y072 3722坷02迈242 43=2-=兰= 6 5 2 + % 2 晶3y。/ MPN的最大值为沢.6评注：审题时要注意把握在联系.JINMPN 迂0,)2兀 即NMPN <6/MPN与PM和PN的倾斜角之间的内三、求几何特征量代数和的最值例3点M和F分别是椭圆x2 y2上的动点和右焦点，定点+ =1259B(2,2).(l)求|MF|+|MB|的最小值.求5 |MF|+|MB|的最小值.4解析

4、：易知椭圆右焦点为F(4,0),左焦点F(-4,0),离心率e=4 ,5准线方程X=±25.4 |MF| + |MB| = 10 IMF I + |MB| =10- ( |MF|MB| ) > 10 PF|=io -210.故当M, B, F三点共线时，|MF|+|MB|取最小值102怖.过动点M作右准线x= 25的垂线，垂足为H，则|MF |4 =e =-4|MH |54 .于是 5 |MF|+|MB|=|MH|+|MB| > |HB7=可见，当且仅|MH| = -|MF|-5 44当点B、M、H共线时，5|MF|+|MB|取最小值.优质真题44评注：从椭圆的定义出发，

5、将问题转化为平几中的问题，利 用三角形三边所满足的基本关系，是解决此类问题的常见思路。例4.点P为双曲线x2的右支上一点，M , N分别为匸-八1(x+和(x-jEr+y?"上的点，贝U PM - PN的最大值为.全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）解析：显然两已知圆的圆心分别为双曲线的左焦点 F（_j5,o）和右焦点F2（75,o）对于双曲线右支上每一个确定的点 P,连结PFi，并延长PFi交© Fi于点Mo.则PMo为适合条件 的最大的PM,连结PF2,交© F2于点N。则PNo为适合条件的 最小的PN.于是pm 一PN兰PMo _PNo=（PFi +1

6、） -（PF2 -1） = （PF -PF2）+2=4+2=6故PM PN的最大值为6.评注：仔细审题，合理应用平面几何知识，沟通条件与所求结论 的内在联系，是解决本题的关键.2) 22 , 02 -1a2 +b2b2L. b2、”a2)(1p)abX2 y2 和X2 y2 的离O'b2"1/"孑""1心率，则01+02解析：2 a2+b201 = 1 + ba例5.已知e , 02分别是共轭双曲线2（0 +02）2 >4002 =4（ 考虑到 01 +00，故得 0, +02 3 272.即01 + 02的最小值为2逅.评注：解题关键在于

7、对圆锥曲线性质的准确理解， 并注意基本不 等式等代数知识的合理应用.四、求面积的最值 例6.已知平面内的一个动点P到直线4J3的距离与到定点l : X =3f（73o）的距离之比为243，点1，设动点P的轨迹为曲线C.' A（1,2）=1 =42 + 心£)34>/丙=8V a b3求曲线C的方程；过原点0的直线I与曲线C交于M , N两点.求 MAN面积的 最大值.解析：设动点P到l的距离为d,由题意PF 眼d 2根据圆锥曲线统一定义，点 P的轨迹C为椭圆.T G C可得 a =2,C = V3,e = =a 2222b=ac=4-3 =1全国名校高考数学复习优质专题

8、汇编（附详解）故椭圆C的方程为：x22+y =14若直线l存在斜率，设其方程为M (X1, yj, N(X2, y2)将y=kx代入椭圆C的方程x22二4% + X2 = 0, % X2 = 21 + 4k2于是 | MN |= J(1 + k 2 )( X1 - X2) 2=J(1 + k2)( X1 + X2 )2 -4x1X2,2、_164J1 +k2V 1 +4kJ1 +4k2又点A到直线l的距离 kT d 二 /二(1 + ky=kX,l与椭圆C的交点并整理得=1(1 + 4k2)x2 -4 = 0.22故 MAN的面积 1|2k _1|S = |MN I d = I '从而

9、2J1 +4k24k2S2=r_=1_1+4k21+4k 当k=0时， 当k>0时， 当k<0时,S2=1 得 S=1S2<1 得 S<1S2 =1 +<1+4 =2（£）+（*）24k若直线I不存在斜率，则MN即为椭圆C的短轴，所以MN=2.于 是 MAN的面积 1.S =丄 2 1 =12综上， MAN的最大值为V2 评注：本题将 MAN的面积表示为I的斜率k的函数，其过程涉 及弦长公式和点到直线距离等解析几何的基础知识，在处理所得的面积函数时，运用了分类讨论的思想方法。当然，也可以将该面积函数 转化为关于k的一元二次方程，由AO求得面积S的最大值。

10、五求最值条件下的曲线方程例7.已知椭圆的焦点F1（ 3,0） F2（3,O）且与直线Xy+9=0有公 共点，求其中长轴最短的椭圆方程全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）解法1：设椭圆为X2V2 =1与直线方程xy+9=0联立并消去h七y得：(2 a2 9) X2 + 18 a X + 90 a2/二 0, 由题设 =(18 a)24(2 a 9) (90 a a4) >0=a4 54 扌 + 405 >0a2> 45或 a2< 9/ a2 9> 0,二 a2> 45,故 為和=3应, 得(2a) min =6 75，此时椭圆方程为x2 V2.+ = 1

11、4536=1与直线Xy+9=0的公共点为解法2：设椭圆x2 + V2 a2 a2 -9M(aCOS aCsinJ，则 acos a/aPsi nc.+9=0 有解- '42a2-9cos© +射一 9二 cos(讪二_9,.I_9=J2a2 -9J2a2 -92匸9a> 45,54Xmin=6 J5 ,2丄J4536解法3：先求得F1（ 3,0）关于直线Xy+9=0的对称点F（ 9,6, 设直线Xy+9=0与椭圆的一个交点为 M ,则2a=|MF1|+|MF2| =|MF| +|MF2| > |F|=6j5，于是（2a）min=6屁， 此时易得：a2=45, b2=36, 于是椭圆的方程为x2 v2.L =14536评注：本题分别从代数、三角、几何三种途径寻求解决。由不同 角度进行分析和处理，有利于打开眼界，拓宽思路