常见递推数列通项的九种求解方法

1、常见递推数列通项的九种求解方法要求考生进行严格的逻辑推理,找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。是一类考查思 维能力的好题。解方法。类型一:On 1 Onf (n) ( f n可以求和)解决方法累加法例1、在数列01中，已知ai=i，当n2时，有On On 12 n 1 n 2，求数列的通项公式。解析：Q Onan1 2n 1(n2)02O3 O2O4O3M上述n 1个等式相加可得:On On 12n 12Onn2-OnO1n评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。【类型一专项练习题】1

2、、已知 O11 , On On 1n ( n 2)，求 On。2、已知数列 On , O1 =2,On 1= On +3 n +2,求 On。3、已知数列On满足On 1On 2 n1, O11，求数列On的通项公式。4、已知On中，O13, On 1 On2n，求 On。15、已知 O12, On 1On(n),求数列a n通项公式.已知数列 On满足011, On3n1On,求通项公式On ？7、若数列的递推公式为a13, OnOn3n 1(nN )，则求这个数列的通项公式8、已知数列On满足OnOn3n1,O13,求数列an的通项公式。9、已知数列On满足O11一，On 12On12n

3、n求On。W、数列 On 中，O12 , On 1Oncn ( c是常数，n 1,2,3,L ),且O1, O2, O3成公比不为1的等比数列.(I )求C的值;(II )求On的通项公式.f (n)表示11、设平面内有n条直线(n > 3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用这n条直线交点的个数，则f当 n 4 时，f(n)(用n表示).答案:1.an心 2.ann(3n 1)3. ann24.an2n1 5.an6.an3n 127.an 12 3n8.an3n9.an10.(1)2 (2)ann211.(1)5 (2)类型an 1 f(n) an(f(n)可

4、以求积)解决方法累积法例1、在数列a中，已知 a11,有 nan 4 n 1 an,(n 2)求数列an的通项公式。解析：an -a-an 1也也L更並4an 2 an 3a2 a12, 3 2 ,214 3 n 12又Qa1也满足上式；an n 1(n N )评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。 【类型二专项练习题】1、已知a11,已知数列 ann 1zc、十an an ,( n 2)，求 a.。n 12 n十T , an 1- an，求 an。3 n 1满足a18、已知an中,已知a1已知a1已知数列已知数列已知数列an 1 -an，且a1 2，求数列务的通项公式.n 23n 1

5、/r八卡an 1_ an (n 1)'求 a.。3n 21, ann(an 1 an) (n N ),求数列an通项公式.an 满足 a1 1, an 1an满足 an 12(nan，满足 a1=1, an2n an，求通项公式an ？1)5n an, a1 3，求数列an的通项公式。a1 2a2 3a3(n 1)an 1 (nA 2)，则an的通项设an是首项为1的正项数列，且(n + 1) an 1 -na*+an+1 an = 0(n = 1,2, 3,)，求它的通项公式.10、数列an的前n项和为Sn，且a11 ,Sn =n2an(nN*)，求数列an的通项公式.2答案:1.

6、an-2. an n23n3. an4.an63n 15. ann2 n6. an2丁7. an3 n!2nn2 n""2an1n!9.an可。解析:an10. an22n n类型三:解决方法an 1AanB(其中A,B为常数A0,1待定常数法可将其转化为an在数列an设an t1，于是an2 3n1 1A(an t)，其中 t f,则数列an t为公比等于A的等比数列，然后求an即中,a11，当n 2时，有an3an 12 ,求数列 an的通项公式。3 an，则an3an 1 2t3 anan1是以a112为首项，以3为公比的等比数列。【类型三专项练习题】1、在数列an中

7、,a11 , an 12an3，求数列an的通项公式。若数列的递推公式为a11,an 12(n N )，则求这个数列的通项公式已知数列an中,S-1, an= -an1 (n 2)求通项an .在数列an(不是常数数列)中，an 111-an 2且d -,求数列an的通项公式.23在数列an中，a1 1,an 13 an1,求 an.已知数列 an满足a11,an 1 2 an1(n N*).求数列an的通项公式.设二次方程anx 2 - an+1.X+1=0(n N)有两根a和3，且满足6 a -2 a3 +6 3 =3.(1)试用an表示a2(2)求证：数列an 3是等比数列;(3)当a1

8、-时，求数列6an的通项公式8在数列an中，Sn为其前n项和，若a1 3 , a? 2，并且Sn 123Sn 2Sn 1 1 0(nA 2)，试判断寻 1 (n N )是不是等比数列?0答案：1. an 3n 2 2.an<n 11 n223. an2 24. an5.an1 3n 16. an2n 1 7.(1) an 11 -a 2anI 28.是类型四：AanBanCan10;其中A,B,C为常数,且ABC可将其转化为A an 1ananan 1(*)的形式，列出方程组BC ,解出还原到(* )式，则数列anan是以a2a1为首项， 一为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可A以

9、求出an 。例1在数列an中,a1a24，且an1 3an 2 an 1n 2求数列an的通项公式。解析：令an 1an(anan 1),( n2)得方程组解得1,2；an 1anan则数列an 1an是以a2印为首项，以2为公比的等比数列an 1an2na2 a1a3a2a4a3M22223ana12(1 2n1)2n2an2n n Nanan 12n1评注：在 Aan 1 Ban Ca. 10;其中A,B,C为常数，且ABC0 中,A+B+C=0，则一定可以构造an 1an为等比数列。例2 已知a1a23,an 16an 1 an (n 2),求 an解析：令an 1ananan1 n 2

10、，整理得an 1anan 1an 13ana23,2n 1 9 2n 1 ；两边同除以2n 1 得,an 13 an2216an2bn 1Ibn9-令 bn 14bnt ,得 bn 12 bn5-t25t2bnbn91010是以10 t10bn10bl【类型四专项练习题】9101、已知数列an中，a15已知 a1=1, a2= , a3、已知数列an设数列bnan设数列Cnann求数列an4、数列an为首项,103-为公比的等比数列。2，bn910，得an1, a22 , an23an13an=5- _n 2 = an 1- an33,求数列an 的通项公式an.中，Sn是其前n项和，并且Sn

11、 112an(n,(n1,2,的通项公式及前:3an 25an 14an2(n1,2丄)，印 1 ,1,2,），求证:），求证：数列n项和。an2an0(n2n1,n数列 bn是等比数列;Cn是等差数列;13(n 1)N),a1答案：1. an 12. an3|2n2;Sn (3n 1) 2n 2a,a2 b ,求数列an的通项公式。4. an 3b 2a3(ab)|类型五:an 1 Panf(n)n3.(3)an 2n13(n 1) 2n2； Sn (3n 1) 2n 2一般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列。1例1设在数列an中，a1 1, an -an 1 2n 1 n

12、2求数列an的通项公式。解析：设bn an An b101022这时 bn2bn 1 n 2 且 bnan4nan An BamA2展开后比较得 2A B1是以3为首项，以一为公比的等比数列bn.n 1.n11131 即 3 122an4n 6 ,ann 14n 6解析:anan2n在数列an中,Q an2an 1例3 在数列anaian 2an 1求数列 an的通项公式。2an 12n1 n2n1中,，两边同除以22 2n 1即ana15， an 2an 1On2n2n2nan是以色日为首项，2为公差的等差数列。22n2,n求数列an的通项公式。解析：在an 2an 12n 1中，先取掉2n

13、，得an 2an 1 1令an2 an 1，得1，即 an12(an1 1)；然后再加上2n得 an12 an1 1 2n；an12 an 112n两边同除以2n 侗 an 1，得"F"an 111;an12n是以 乩 2为首项，1为公差的等差数列。2an12n1,an2n n 1评注:若f (n)中含有常数，则先待定常数。然后加上n的其它式子，再构造或待定。已知数列an满足an 1 3an 52n4, a11,求数列an的通项公式。解析:在an1 3an 5 2n 4中取掉5 2n待定令an1 t 3 an t，则 an 1 3an 2t 2t 4，t 2 ； an 1

14、2 3 an 2 ,再加上 5 2n得,an1 2 3 an 2 5 2n，整理得：|an 252n2bn，则 bl 1令bn 1即bn1bn 513 3 nT 2类型5专项练习题:飢52 2bn 1bn2数列bl5是以b5J252t 5;1335兀为首项，2为公比的等比数列。1，即an213 3"2 2;整理得an13 3n 12n 2仁设数列 an的前n项和43an322 n 1,n N* ，求数列3an的通项公式。2、已知数列an中，a12 点 n,2an 1an在直线y x上,(1)令bnan 1an1,求证：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项；3、已知a12 ,an

15、 14an2n 1，求 an。4、设数列ana14, an3an1 2n1,(n2)，求 an.其中n2, an 11,2,3L L .已知数列an满足a12an (2n1)，求通项 an在数列an中，a1已知数列an中，a13，2an56,an1an 16n 3,求通项公式an。fan（1）n1，求 an。8、已知数列 an , a1=1,an 1 = 2 an + 3 n ,求通项公式an .已知数列an满足an 13an3n 1, a1 3，求数列an的通项公式。10、若数列的递推公式为 a11,an3an 2 3n 1（ n N ），则求这个数列的通项公式11、已知数列 an满足a11

16、,an 13an 2n 1,求 an.12、已知数列an满足an 1 2an 3 In , a1 2，求数列an的通项公式。13、已知数列an满足an 1 Ian 3 5n, a1 6，求数列an的通项公式。14、已知a11, anan 12n 1，求 an。15、已知an中，a1 1 , an 2an 1 2n(n 2)，求 a.16、已知数列an中，Sn是其前n项和，并且Sn 1 43. 2（n 1,2丄）4 1 ,设数列bnan 12an(n1,2,)，求证：数列bn是等比数列;设数列Cn和n 1,2,)，求证：数列Cn是等差数列;求数列an的通项公式及前n项和。答案：1.an4n 2n

17、 2.(2)2 3.an4n 2n 4.an4 3n 1 n5. an5 2n2n1 6. an9 7. an8. an3n2n9. an(2 n5)10. an3n(732n)11.an12.an(3n 1)2* 113.an5n 2n14. an2n 1315.an2n1216,3)an2n13(n1) 2n；Sn(3n 1)2n1、类型六:例1 已知a1an解析：两边取倒数得:令 bn 1 tbn2bnC anpan d解决方法倒数法2 an an 1 c “ 2an 1an 1 2an (bn t)；展开后得,22是以b12-a17 ln1；即 丄42an，求an。设anbn ,则 b

18、n1 ibn如1 2bn彳为首项,评注：去倒数后，一般需构造新的等差(比)数列。 【类型六专项练习题】：若数列的递推公式为 a1已知数列 an满足a1已知数列 an满足:1丄为公比的等比数列。21，得an2n 12n 273,丄 2(n Y)，则求这个数列的通项公式。 an 1an1,n 2 时，an 1 an 2an 1an，求通项公式 an。_an 1_an，a13 an 1 11，求数列 an的通项公式。4、设数列an满足a12, an 15、已知数列 an满足ai=i,an3an，求 an6、在数列an中，ai2, an 13a，求数列an的通项公式.an 37、若数列 an中，a1=1, an 1答案:1.an6n2. an2n:2aan1 _1n N，求通项a n .13. an4.an15. an 厂6. an2n 17.an类型七:解决方法Sn f(an)anSnSn(n 1)(n 2)已知数列an前n项和Sn1求an 1与an的