微分方程数值解习题课概要

1、微分方程初值问题数值解习题课11、应用向前欧拉法和改进欧拉法求由如下积分x _t2y0edt所确定的函数y在点x=0.5,1.0,1.5的近似值。解：该积分问题等价于常微分方程初值问题-X2|yyi y(0) = 0其中h=0.5。其向前欧拉格式为+ u -(ih) y y he ()yo = 0改进欧拉格式为h-（ih）2-（i+i）2h2 yi十 yi2（e eI yo = 0将两种计算格式所得结果列于下表 iXi向前欧拉法y改进欧拉法yi000010.50.50.4447021.00.889400.7313731.51.073340.84969、应用4阶4步阿达姆斯显格式求解初值问题y&

2、#39; = X- y + 1y(0)= 10兰 XT.6取步长h=0.1.解：4步显式法必须有4个起步值，y。已知，其他3个yi,y2,y3用4阶龙格库塔方法求出。本题的信息有: 步长 h=0.1 ;结点 X厂 ih = 0.1 (H 0,1,111,6)；f(x, y) = x - y+1,yo= y(0) = 1经典的 4 阶龙格库塔公式为hyi卄T(k 2k2 + 2k3 + kJ6k1 二 f (Xi)二 Xi - yi + 1. 一 h hk1,. ._k f(Xi + 2, yi + 牙)=Xi " yi 0.05k1.05hhkk f (X-, y 于)=Xi - y

3、i - 0.05k2 + 1.05k f (Xj 十 h, y hk3)= x y- 0.1k 1.1算得 y 1.0048375, y 1.0187309, y 1.04081844阶4步阿达姆斯显格式yi十 yi + (55fi59fi_1 + 37fi_,-9fij1y = (18.5y 5.9%二-3.7%/ + 0.9%, + 0.24i + 3.24)由此算出y4 = 1.0703231 y5 = 1.1065356$6 = 1.1488186三、用Euler方法求y' = -exy + x+ 1,0 兰 x兰 1y(0) = 1x+ 1问步长h应该如何选取，才能保证算法的

4、稳定性? 解：本题 f (x,y) = -eXy +k = fy'(x, y)二-eX < 0,0 兰 X 兰 1 本题的绝对稳定域为1 +几 h =1 - heX < 1得0 V he V 2 ,故步长应满足0 he< 2, o< * 0.736四、求梯形方法hy十弘+尹仇+侬+皿】的绝对稳定域。证明：将Euler公式用于试验方程y'=Ay，得到hykF = yk十孑卩必十几yk叩整理A hyk卄（i + ）ykC小11V 2丿设计算yk时有舍入误差 昭k = o,12iii，则有了 几 h、f- h11叫州=(1 + )叫V2丿心2 k2213据稳定

5、性定义，要想*k+l1+h <1-h,只须因此方法绝对稳定域为复平面-h的整个左半平面(?)，是A-稳疋的。21五、对初值问题yyI y(0) = 1证明：用梯形公式hYndh 二 Yn + hf(Xn,yn) + f (人卅齐求得的数值解为”、nf2-h yylFKJ并证明当步长hT 0时，Yn收敛于该初值问题的精确解 Yn 二证明：由梯形公式，有hhyn 厂 y-f（Xn，yn f（xi，yi）= yn +? yn -yyn厂二丿yn由此递推公式和初值条件，有2-h )n2"nl2+h 丿l2+h 丿0,1，贝I有在区间o,x匸0,1上有X = Xn = nh，步长由前面结

6、果有lim yn = limnin-；5C2-hI12+ h 丿_2+h2h 、=lim |1-512+h 丿2x2+h2h ,也”仁2+ h丿I由x的任意性，得所证。六、对于微分方程y' f(x,y)，已知在等距结点 x0,xi,x2,x3处的y的值为yo,yi,y2,y3, h为步长。试建 立求y4的线性多步显格式与与隐格式。解：取积分区间x2,x4，对y'= f (x,y)两端积分:X4 f (X, y)dxX4y(治)- y( X2)= J dy = Jx2X2对右端fy)作xi,x2,x3的二次插值并积分X4J f(x,y)dxX2X4-J Io2(x) f (Xi,

7、 yj + Ii2(x) f (X2, y2)+ l22(x) f(X3, y3)dx x2123二 hrf (xi,yi)- f (X2,y2)+ - f(X3,y3)337123得到线性4步显格式y4二y2 + hq f- f- f3)若对右端在X3,X4两点上作线性插值并积分，有X4/ f（X,y）dxX2X47 loi（x） f（X3, y3）+ lii（x） f（X4, yjldxX2=2hf （X4，y4）由此产生隐格式a y八 2hf（ X4, y4）匕证明线性多步法1yj a（ yn-yn-1）-yn-2=1（3 + a）h（fnr_i）存在的一个值，使方法是4阶的。解：由本题

8、的公式，有1yn+1 八讥 yn-y n-1)+.2 十孑3)h( f.十 fTn = y(xn + h) -h2h3h4=y(Xn)十 hy'(Xn) + y ''(Xn)十-y '''(Xn)十-y X) +。(咼-i (y(Xn) - y(Xn - h) + y(Xn - 2h) + t(3i )h(y'n+ y'(Xn - h)h2h3h4=y(Xn 厂 hy'(Xn) + - y 愀)+ - y '''(Xn) + - y X) + 0(h5)h2h3h4P y(Xn)"(y(X

9、n)-hy'(Xn)+ y''(Xn)-y'''(Xn)+ y(Xn) + O(h5) -(y(Xn2hy'(Xnr(2hy''(Xn(23y'''(Xnr-(24y(4)(人厂。5)2!3!4!1 h2h3-2h(3F)(y'(Xn) + y'(Xn)-hy''(Xn) + -y'''(Xn) + -y(Xn) + O(h5)2 2!3!= 1+a + 2-(3+0)吋(人)+*十-2+ 6(3 + a)h2y''(Xn)11

10、41兀+ 63 一 4(3切2曲1 1 2 1+2r24_3+1i(3+Th2y(4)(Xn)+ O(h5)311弋 - 6r）h3y'''（xn）2（ - 曲十亦）当 =9 时，Tn十= o（h5）,局部截断误差是4阶的，故27该多步法是4阶方法。数值积分习题解答说明1.确定下列求积公式中的参数，使其代数精度尽可能高，并指出对应的代数精度h(1) Lf(x)dx-A/(h) +A0f (O)+Aif(h)2h(2) gf(x)dx-A/(h)+人f(O)+Af(h)(3) f (x)dx叮f (_1 )+2f (为)+3f (X2)/3(4) f f (X)dx 止

11、h f (0) + f (h) /2 乜h2 f0) - f '(h)6. 若用复化梯形公式计算1 XI = e dx0问区间0,1应分成多少等份才能使截断误差不超过1 -X10 ?若用复化辛普森公式，要达2bI = Ja f (X)dX所得结果比准确值I大,到同样的精度，区间0,1应分成多少等份?7. 如果f ”(X )：0 ,证明用梯形公式计算定积分 说明其几何意义。10.构造Gauss型求积公式1 1L f(x)dx 止 A0f(X0)+Af(X1)11.用n=2,3的高斯-勒让德公式计算积分Jiesin xdx3113.证明等式兀n sin n3兀3! n25兀+ .5!n4试依据nsin(n = 3,6,12)的值，用外推算法求nn的近似值。定理6.4设函数Fo(h)逼近数F的余项为-Fo(h) = fh P1P2P3 + II