建坐标系解立体几何

1、立体几何建坐标系(I )证明：平面ADE1平面ACCA1；1.如图,四棱锥S-ABCC中,AB/ CD,BCICD侧面SAB为等边三角形.AB=BC=2,CD=SD=1.(I )证明:SD丄平面SAB;(n )求AB与平面SBC所成的角的大小.C2.如图,在四面体 ABOC中, OC 丄 OA, OCX OB, / AOB=120 ,且 OA=OB=OC=1.(I )设P为AC的中点,Q在AB上且AB=3AQ.证明:PQ丄OA;(n )求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.3.如图,在正三棱柱ABC-ABiCi中,AB=4,AA=万，点D是BC的中点，点E在AC上,且 DEIAiE.(n )求

2、直线AD和平面ADE所成角的正弦值.fl4. 如图,在直三棱柱 ABC-ABiC 中,AB=1, AC=AAi=J3, / ABC=60 .(I )证明:AB丄 AiC;(n )求二面角A-AiC-B的大小.c5. 四棱锥A-BCD冲,底面BCDE为矩形,侧面ABCL底面BCDE, BC=2, CD= ,AB=AC.(I )证明:AD丄CE;(n )设侧面ABC为等边三角形,求二面角C-AD-E的大小.(I )求直线AM与平面BCD所成角的大小；6. 如图,正三棱柱ABC-ABiC的所有棱长都为2, D为CC中点.(I )求证:ABi丄平面AiBD;(n )求二面角A-AiD-B的大小.7.如

3、图,在三棱锥V-ABC中,VC丄底面ABC, ACIBC, D是AB的中点,且AC=BCa , / VDC=e (0(I )求证：平面VABL平面VCD;(n )试确定0的值,使得直线BC与平面VAB所成的角为一.68.如图， BCDW MCDTE是边长为BCD, AB=232的正三角形,平面MCE1平面BCD,AB丄平面(n )求平面ACMt平面BCD所成二面角的正弦值.9.女口图,在四棱锥 P-ABCD中, PD 丄平面 ABCD, PD=DC=BC=1, AB=2, AB DC, /BCD=90 .(I )求证:PC丄BC;(n )求点A到平面PBC的距离.c10.如图,直三棱柱ABC-

4、ABC中,AC=BC, AA=AB, D为BB的中点,E为AB上的一点,AE=3EBi.(I )证明:DE为异面直线AB与CD的公垂线;(n )设异面直线AB与CD的夹角为45 ,求二面角Ai-ACi-Bi的大小.11.如图,四棱锥S-ABC冲,底面ABC为矩形,SCL底面ABCD,AD=/2 , DC=SD=2.点 M在侧棱 SC上, / ABM=60 .(I )证明:M是侧棱SC的中点;(n )求二面角S-AM-B的大小.C12.如图,直三棱柱 ABC-ABC中,AB丄AC, D、E分别为AA、BiC的中点,DE丄平面BCC(I )证明:AB=AC;(n )设二面角A-BD-C为60 ,求

5、BiC与平面BCD所成的角的大小.C13.如图，四棱锥P-ABCD勺底面是正方形，PD丄底面ABCD点E在棱PB上.(n )当PD=/2aB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.(I )求证：平面AECL平面PDB;c14.如图,在四棱锥 P-ABCD中,底面 ABCD是矩形,PA平面 ABCDPA=AD=4AB=2.以BD的中点0为球心、BD为直径的球面交PD于点M.(I )求证：平面ABML平面PCD;(n )求直线PC与平面ABM所成的角；(m )求点0到平面ABM的距离.15.如图，四棱锥S-ABCD勺底面是正方形，SD丄平面ABCD, SD=2a, AD=a，点E 是

6、 SD 上的点,且 DE= a (00, y0, z0.(I )=(x-2, y-2, z),虧=(x, y-2, z),DS|=(x-1, y, z),c即 y2+z2-4y+1=0,(冷2f+(y-2)2+t2-J屮+(y-2)2+F,故 x-1.由I 虧I-1 得 y2+z2-1,又由 |僥|-2 得 x2+(y-2) 2+z2-4, 故y-*, z-爭. (3分)于是 屮丹),朋彳応乎)， 矗 A号密 A 刚必用=0,馬曲=0.故DS丄AS, DS丄BS,又ASA BS=S,所以SD丄平面 SAB. (6 分)(n )设平面SBC的法向量a=(m, n, p).则 a丄岛 a 丄d,

7、a 旳=0, a Cb=0.(0, 2, 0),f 3 A3故mh+为卩二6 (9分)2n=0,取 p=2 得 a=(r? 0, 2).又血=(-2, 0, 0), cos=需船畔.故AB与平面SBC所成的角为arcsin电丄(12分)2.解法一 :(I )在平面 OAB内作 ONL OA交AB于N,连结CN.AOB=120 且 OA=OB, / NOB=120 -90 =30“A 在 AOB中 , /OAB= OBA=30 .在 Rt AON中 , v/ OAN=30 , ON=AN.在 ONB,=/ OBN, NB=ON=AN.又 AB=3AQ, Q为 AN的中点.在 CAN中 , / P

8、,Q分别为AC, AN的中点，丄 CN.由 PQ/ CN,知 OAL PQ. PQ/ CN.由 OAL OC, OA丄 ON知 :OA丄平面 CON.又 NC?平面 CON, OA(n )连结 PN, PO.fl由 OCL OA, OCL OB知:OC丄平面 OAB.又 ON?平面 OAB, OCL ON.又由 ON! OA知:ON丄平面 AOC. OP是 NP在平面AOC内的射影.在等腰Rt COA中 , P为AC的中点， AC丄OP.根据三垂线定理， 知:AC丄 NP. / OPN为二面角 O-AC-B的平面角.在等腰 Rt COA中 , OC=OA=1, OP#.在 Rtcos / OP

9、AON中, ON=OAtan 30 *, 在 Rt PON中，PN解法二:(I )取O为坐标原点，以OA, OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz(如图所示).则 A(1,0, 0), C(0, 0, 1), B./ P为AC的中点， 呛4功应=多列 ,又由已知，可得T苗沿朋0).又或=虫汕井退0). 曲我H曲=0蕊豪pQ - 1必=(认活-曲 (i，0, 0)=0.故HQA.(n )记平面 ABC的法向量 n=(ni, n2,n 3),则由 n丄|CX, n 丄庙，且Qv =(i, 0, -i),(叶些=0得j 3打+傀 _口故可取n=(i, 5, i). 又平面OAC的法

10、向量为e=(0, i, 0).cos=(1代就(严0)毛 二面角O-AC-B的平面角是锐角，记为0 ,则cos 0 辱 .3.( I )如图所示,又 DE?平面ABC,所以DE丄AA.而DE丄AE, AA i n AiE=A,所以DE丄平面 ACCA.又 DE?平面AiDE,故平面 A DE丄平面 ACCA.tiIf(n )解法一：过点A作AF垂直AE于由正三棱柱ABC-ABiCi的性质知AA丄平面ABC.点F,连结AiDE所成的角.DF.由(I )知,平面AiDE!平面 ACGAi,所以AF丄平面 AiDE.故/ ADF是直线 AD和平面因为DEI平面ACCAi,所以DEI AC.而 ABC

11、是边长为4的正三角形，于是AD=,AE=4-CE=4CD=3.又因为 AAip帀，所以 AiE=Ji=T?=4, AF=斗彳当 sin / ADF需台貧 即直线AD和平面AiDE所成角的正弦值为 gp.解法二：如图所示，设0是AC的中点，以0为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是A(2, 0, 0), A i(2, 0,O),D(-1, 0), E(-1,0, 0).易知仪；【=(-3, - U7)，庞=(0, - J5, 0)，Abj=(-3，百,0). 设 n=(x, y, z) 是平面 AiDE的一窘z, y=0. 故可取 n=(J7, 0, -3).个法向量，则+ rv【完i

12、vA；ri=3x+p俘yytz解得x=-于是cosn，如懿聽厂瘩.由此即知，直线AD和平面AiDE所成角的正弦值为晋.4.解法一ABC=60 ,:(I )证明：三棱柱 ABC-AiBiC为直三棱柱, AB丄AAi.在 ABC中，AB=i, AC= 羽，/ 由正弦定理得/ ACB=30 ,/ BAC=90 ,即AB丄AC. AB丄平面ACCAi,又 AC?平面 ACCAi, AB丄 AC.(n )如图,作AD丄AiC交AC于cD点，连结BD,由三垂线定理知 BDI AC, / ADB为二面角 A-AiC-B的平面角.在Rt AAiC中,普,即二面角A-AiC-B的大小为arctan申.在 Rt

13、BAD中，tan / ADB铝寿，ADB=arctan 解法二:(I )证明：三棱柱ABC-ABiCi为直三棱柱,则 A(0, 0, 0), B(i, 0, 0), AA 丄 AB, AAi 丄 AC.在 ABC中,AB=1, AC=/ ABC=60 .由正弦定理得/ ACB=30 ,BAC=90 ,即AB丄AC.如图，建立空间直角坐标系，C(0, 5, 0), A i(0, 0,5), Ab=(i, 0, 0),A；(：=(0, 5, - 5). ； =ix 0+0X 百 +0X(-/)=0,- AB丄 AiC.+J3ru=f),5m-n=0,(n )如图，可取m袖=(1,0, 0) 为平面

14、AAC的法向量，设平面 ABC的法向量为 n=(l, m, n),则 n=0, Ia；C -n=0,又骯=(-1, JJ, 0),胃l=J5m, n=m.不妨取 m=1,贝U n=(JS, 1, 1).cos=m-n二 屮丸丄十=:斤百二面角 A-A1C-B的大小为arccos5.解法一 :(I )作AO! BC,垂足为 O,连结OD,由题设知，AO丄底面BCDE,且O为BC中点.由 需=船占知,Rt OC0 Rt CDE,从而/ ODCM CED,于是CE! OD.由三垂线定理知，AD丄CE.ac0ex(n ) 作 CGI AD,垂足为G,连结GE.由(I )知,CE 丄 AD.又 CEn

15、CG=C,故 AD丄平面 CGE, AD丄 GE,所以/ CGE是二面角C-AD-E的平面角.GE=竺塔蝕響零，ce5,cos，CGE嗨器零賢一喘.所以二面角C-AD-E为arccos0-xyz.设 A(0, 0, t).由已知条件有 C(1, 0, 0),Ab=(1, V2, -t).所以边=0,知 AD丄CE.解法二:(I )作AO! BC,垂足为O.由题设知AO!底面BCDE,且O为BC的中点.以O为坐标原点， 射线OC为x轴正向，建立如图所示的直角坐标系D(1, 5, 0), E(-1, 善 0),氓=(-2,农,0), (n ) ABC为等边三角形，因此A(0, 0,寸5).作CGI

16、 AD,垂足为G,连结CE.在Rt ACD中 ,求得|AG|=弓AD|.故孥容),I附G，-孳曲GE彳弓密谢，又Ab =(1,边，-3, 壷|-恥=0，曲-血=0.所以範与饶的夹角等于二面角 C-AD-E的平面角.由cos此比=|篙需广-知二面角C-AD-E为arccos (-帛月.6.解法一 :(I )取BG中点O,连结A0. ABC为正三角形, AO! BC. v正三棱柱 ABC-ABC中, 平面 ABCL平面 BCCBi, AC丄平面 BCGBi.连结BO,在正方形 BBGC中，O D分别为BG CC的中点， BOX BD, AB丄BD.在正方形 ABBA 中，ABi丄A,B, AB丄平

17、面ABD.(n )设AB与AB交于点G,AF丄 AiD. / AFG为二面角在平面ABD中，作GFI AD于F,连结AF,由(I )得ABX平面 ABD,二A-AQ-B的平面角.在 AAD中，由等面积法可求得 AF智，又vAG=AB2任 sin / AFG弟k壘坞2,所以二面角A-AQ-B的大小为arcsin器.解法二:(I )取BC中点O,连结AO. ABC为正三角形， AO! BC. v在正三棱柱 ABC-AB C中， 平面ABCL平面BCGB1, AO!平面BCGB1.取BG中点O,以O为原点，(就*】,朋的方向为x、y、 z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1, 0, 0), D(-

18、1, 1, 0), A1(0, 2,5), A(0, 0,丸(5), B(1,2, 0),.“*1=(1,2,- 百)，I此=(-2, 1, 0),BAt=(-1,2,+.vAftJ -iHb =-2+2+0=0,aD RA讦-1+4-3=0,阿丄阿)请1 丄册 1, AB 丄平面 ABD.y=2 令 z=1 得 n=(-V5, 0, 1) 为平面 AAD的/ n丄AKn丄(n )设平面 AiAD的法向量为 n=(x, y, z).Ab|=(-1, 1, - J5),从=(0, 2, 0).- - k=-32一个法向量.由(I )知AB丄平面ABD, 川片为平面ABD的法向量.cosn，松佩禺

19、哪二面角 A-AiD-B的大小为arccos普.解法一 ：(I ) / AC=BC=a, ACB是等腰三角形，又D是AB的中点， CE丄AB,又VC丄底面ABC, VC丄AB,于是AB丄平面 VCD,又AB?平面VAB,二平面 VAB丄平面 VCD.(n )过点C在平面VCD内作CH丄VD于H,则由(I )知CH丄平面VAB.连结BH,于是/ CBH就是直线BC与平面 VAB所成的角.依题意/ CBH=,所以在Rt CHD中 , CHasin 0 ;在Rt BHC中，CH=asin, - sin 0 t 0 0 弓，0 弓.故当 0=时，直线BC与平面VAB所成的角为曙.解法二:(I )以CA

20、 CB CV所在的直线分别为 x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 .于是，C(0, 0, 0), A(a, 0, 0), B(0, a, 0), D却)，VVb=($ 劣自tnnB、Cb=( AR=(-a, a, 0).从而威f 七!)=(-a, a, 0)D)=*a驾 a2+0=0,即AB丄 CD.同理 Ab =(-a, a, 0)- 丫1 2 1 2=-去2甘a2+0=0,即 AB丄 VD.又 CDn VD=D, AB 丄平面 VCD,又 AB?平面 VAB, /平面 VABL平面 VCD.(n )设平面 VAB的一个法向量为 n=(x, y, z),则由-ax+ay=0

21、.n Ate=0,得r讥昔yWn Vb=0/得 $x+2尸为-amnUh可取 n=(1, 1,农cot0 ),又就=(0, -a, 0),于是 sin石=丽呵祐磁+23彌珂sin 0，即sinB呼, / 0 0逐 0专.故当0专时，直线BC与平面VAB所成的角为月.解法三:(I )以点D为原点，以DC DB所在的直线分别为 x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐 标系，则 D(0, 0, 0),A厂瑕寸B(0岸选O),cf癡山0卜俘讪癒伽町，于是 门=(乎 0)(一癡上瑕t加町=0,即AB丄DV.又DCn DV=D, AB丄平面VCD.An=（O，观a,0）,从而Ab lot=（0 农a,0）

22、f#孔山 0卜0,即 AB丄 DC.同理 Ab V =（0,羽a, 0）又AB?平面 VAB, 平面VAB丄平面 VCD.(n )设平面VAB的一个法向量为 n=(x, y, z), 则由n-At3=0,得 /Vn DV=0,得-ax+aztan0=O,取n=(tan 0 , 0, 1),又底=(李厂% Q),于是sin制册石即 sin 0 呼./ 0 0 弓， 0孝 sin 0 ,胡.Jl+ianO专.故当0弓时，直线BC与平面VAB所成的角为.8.解法一 :（I ）取 CD中点 O,连 OB, OM,贝y OBI CD, OML CD.又平面 MC丄平面 BCD,贝U MQL平面BCD,所

23、以MO/ AB, A、B、O M共面.延长AM BO相交于E,则/ AEB就是AM与平面BCD所成的角.OB=MO= , MO / AB,则辟黑令,eo=ob,所以 EB=2乐AB, 故/ AEB=45 .直线AM与平面BCD所成角的大小为45 .(n )CE是平面ACM与平面BCD的交线.由(I )知，0是BE的中点，则BCED是菱形.作BF丄EC于 F,连AF,则AF丄EC, / AFB就是二面角 A-EC-B的平面角，设为0 .因为/ BCE=120 ,所以/0量为 n=(0, 0, 1).则有 sin a =Hcos =AM nIAMIIhI,所以a =45。.直线AM与平面BCD所成

24、角的大小为45 .(n )伽=(-1,0,百)，册=(-1, - VI 2设平面ACM的法向量为n 1=(x, y, z), 由hicHri皿得h鴛務SU解得X如,y=z，取叶e，1, 1). 平面BCD的法向量为n=(0, 0, 1). 贝y cos= 咼:冋詰.设所求二面角为B所以，所求二面角的正弦值是学.9.解法一 :(I )因为 PD丄平面 ABCD, BC?平面 ABCD,所以 PD! BC. 由/ BCD=90 ,得 BC! DC.又 PDA DC=D,PD?平面 PCD, DC?平面 PCD,所以 PCD.因为 PC?平面 PCD,所以 PC丄 BC.BC丄平面(n )连结AC.

25、设点A到平面PBC的距离为h.因为AB/ DC, / BCD=90 ,所以/ ABC=90AB=2, BC=1,得 ABC的面积Saabc=1.由PD!平面 ABCD及 PD=1，得三棱锥 P-ABC的体积.从而由V=SaABC- PD.因为 PD丄平面 ABCD,DC?平面 ABCD,所以 PD丄 DC.又 PD=DC=1,所以 P。=卅 + 0(?返由PC丄BC, BC=1,得 PBC的面积SaPBC.由 V吕SapbCT hg,得 h=.因此，点 A 到平面PBC的距离为5.BCF=60 . BF=BC - sin 60 , tan 0喲 ,sin0響.所以，所求二面角的正弦值是 解法二

26、：取CD中点0,连0B, OM,贝U OBI CD, OM1 CD,又平面 MCDL平面BCD,则MOL平面BCD.以O为原点，直线OC BO OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图.OB=OM=g,则各点坐标分别为 O(O, 0, 0), C(1,0, 0), M(0, 0,)，B(0,- 羽，0), A(0,- 羽，2 书)，(I )设直线AM与平面BCD所成的角为a .因aM【=(0，5，-J5)，平面BCD的法向解法二：建立如图所示空间直角坐标系D-xyz,则P(0, 0, 1), C(0, 1,0), B(1, 1,0).(n)设平面PBC的法向量n=(x, y, z),则有

27、解法三:(n )取AB中点-I, 0),加0, 2, 0),DE/ BF, DE 丄 AB.(I )曲=(0, 1, -1),盘【=(-1,0, 0).J 叱M=0X (-1)+1 X 0+(-1) X即nr 令 y=1 得 n=(0, 1, 1).又因为 A(1,所以点A到平面PBC的距离 d哪叫冲訴E,连DE,则DE/ BC, DE/面PBC,则A点到面PBC的距离等于 E点到面PBC 距离的2倍，即等于点到面 PBC距离的2倍.过D作DHL PC,则DH!面PBC.在Rt PCD中,DH , A到面PBC的距离为町5.10. 解法一 ：(I )连结AiB,记AiB与AB的交点为F.因为面

28、AABiB为正方形,故AiB丄AB,且AF=FB.又AE=3EB,所以FE=EB.又D为BB的中点,故作CGL AB, G为垂足，由AC=BC知,G为AB中点.又由底面 ABC!面AABB,得CGL面AABB.连结DG,则DG/ AB,故DEI DG,由三垂线定理，得DE1 CD.所以DE为异面直线 AB与CD的公垂线.(n )因为DG/ AB, 故/ CDG为异面直线 AB与CD的夹角,/ CDG=45 .设AB=2,贝U AB=&扭，DG逗, CG=Q, AC=5.作B1HIAQ, H 为垂足.因为底面 ABiCi丄面AACiC,故BH丄面AACC,又作HKI AC, K为垂足，连结BiK

29、,由三垂线定理，得BKI AC,因此/ BiKH为二面角A-ACi-Bi的平面角.ACi 3”疔佔曲y=的HC 1=J礪叮吾耆,AC 1和丙毎羽，HK=tan / B KH=pTj,所以二面角 A1-AC1-B1 的大小为 arctan JT?. 11Ki(0, 2, 0), D(0, 1, 0), E建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.又设 C(1,0, c), 则姑(貝R；A=(2,-2, 0),疏=(1, -1, c). 于是宛 r环=0,忧 3=0, 故DEL BA, DE丄DC,所以DE为异面直线 AB与CD的公垂线.故pH 曲|芮州 I氏|cos 45 aA=mE=(0, 2,

30、 0), mr1=0ABG 的法向量为 n=(p, q, r),贝U n Ati=0, n(n )因为vB A 朮等于异面直线 AB与CD的夹角, ,即 述X启+2X# =4,解得 c=Q, 师 1=(-1,0,72).又所以 A?；i=Ad+AA=(-1,2,J).设平面 AAC 的法向量为 m=(x, y, z),贝U,m 人入 1=0,即-x+2y+Jz=0 且 2y=0.令 x=0），则 殽,T），Sb彳也焉焉）.又血=（0, 2, 0）, =60 , 故血-朋=1劇I lAblcos 60 ,即諾龙J（血）2十（岳y+（焉丫,解得入=1,即*就C.所以M 为侧棱SC的中点.（n ）由

31、 M（0, 1, 1）, A（观,0, 0）,得 AM的中点 楞制.又心中程细 M=（0, -1, 1）,COS=|書腺广遵 .所以二面角S-AM-B的大小为arccos的平面角.因为aM=（-农，1, 1）. 茁心=0, I血 M|=0,所以惯丄人随佑丄AM.所以等于二面角S-AM-B 俘）.12. 解法一 :（I ）取BC中点F,连结EF,贝y EBiB,从而EFDA.连结从而AF,则ADEF为平行四边形,从而AF/ DE. （2分）又DE!平面BCC,故AF丄平面BCC,AF丄BC,即AF为BC的垂直平分线,所以AB=AC. （5分） （n ）作AGIBD,垂足为G,连结CG.由三垂线定

32、理知 CGL BD,故/ AGC为二面角A-BD-C的平面角.- 倆石刁，解得AD=Z 故AD=AF.又AD!AF,所以四边形 ADEF为正方形.（8分）因为BC由题设知，/ AGC=60 .设AC=2,则 AG刍. 又 AB=2, BC=2=60 ,故hh &=SN| |皿| cos 60 ,求得 c专j.于册|=(1, 1, 5), |c6j=(1, -1, 苗，cosJ,孙工辱=60 .所以 BC与平面 BCD所成 的角为30 . （12分）13. 解法一 :（I ）四边形 ABCD是正方形， AC丄BD./ PD丄底面 ABCD, PD! AC.c（n ）设ACn BD=O,连结 OE

33、.由（I ）知AC丄平面PDB于O. / AEO为AE与平面PDB所成的角.O, E分别为 DB, PB的中点， OE/ PD, OE=PD.又 PD!底面 ABCD, OE!底面 ABCD, OEL AO.在Rt AOE中 , OE=2PD宰AB=AO, / AEO=45 ,即AE与平面PDB所成的角为45 .解法二：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz. AC丄平面 PDB. 平面 AECL平面 PDB.设 AB=a, PD=h,则 A(a, 0, 0), B(a, a, 0), C(0, a, 0), D(0, 0, 0), P(0, 0, h).(I ) M：=(-a, a,

34、0),刖=(0, 0, h), |说=但,a, 0),At DP =0, At=0.二 AC丄 DP, AC,连结OE.由(I )知AC!平面PDB于O. / AEC为AE丄BD. AC丄平面PDB. 平面 AECL平面PDB. ( n )当PDAB且E为PB的中点时，P(0, 0,农a), E傍扛李a) .设 ACn BD=O,则 与平面PDB所成的角.A=（扛*芸曰1， cos / AEO鹅旷/AEO=45 ,即AE与平面PDB所成的角为45 .14. 解法一 :（I ）证明：依题设，M在以BD为直径的球面上，则BML PD.因为PA!平面ABCD,则PA 丄AB.又AB丄AD,所以AB丄

35、平面 PAD,贝U AB丄PD,因此有PD丄平面 ABM,所以平面 ABML平面 PCD. （n ）设平面 ABM与 PC交于点N,因为AB/ CD,所以AB/平面PCD,贝U AB/ MN/ CD,由（I ）知,PD 丄平面 ABM,贝U MN是 PN在平面 ABM上的射影，所以/ PNM就是PC与平面 ABM所成的角，且/ PNM / PCD, tan / PNM=tanZ PCD長=22 所求角为 arctan 2 J.（川）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（I ）知，PD 丄平面 ABM于 M,则|DM|就是 D点到平面 ABM勺距离.因为

36、在 Rt PAD中，PA=AD=4, PD丄AM,所以M为PD中点，DM=2jl 则O点到平面ABM的距离等于 解法二:(I )同解法 (n )如图所示,建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0),P(0,0,4),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),M(0,2,2),设平面ABM的一个法向量n=(x, y, z),由n丄別，n丄aM可得2x=0,2y+2z=0,令 z=-1,贝U y=1,即 n=(0,1, -1).设所求角为a ,则sin a = PC-niPCilnl台色 所求角的大小为arcsin含代(川)设所求距离为h,由O(1,2, 0),At=(1,2, 0),

37、得h=|黑円攀.15.16.17.18.(1) 如图，连接 BE BD,由底面 ABCD是正方形可得 AC!BD。SD丄平面ABCD BD是BE在平面 ABCDh的射影，二 AC! BE=(2) 如图，由 SD丄平面 ABCD知，/ DBE會,?/ SD丄平面 ABCD C匸平面 ABCD - SD! CD ?19. 又底面 ABCD是正方形， CDIAD,而 SDA AD=D CD!平面 SAD20. 连接AE、CE过点D在平面SAD内作 DEI AE于F ,连接CE则CF! AE,故/ CDF是二面角 C-AE-D 的平面角，即/ CDF=0。在 Rt BDE中，t BD=2a DE=la

38、DS 丸亠亠；J21. 加少=訂=-在 Rt ADE 中，虫D = j2dP,DE=加佃二说花 +2ED Z臥逊.警.需，在Rg中，斜竽，由t血日tan申=1 ,二1G J护十2二2护二2，由只，解得入=忑，即为所求。216.解法一:(I )因为AB/ DC, DC?平面EFCD,所以直线 AB到平面EFCD的距离等于点 A到平面EFCDTf的距离.如图1,过点A作AGI FD于G.因/ BAD=, AB / DC,故CD! AD;又FA丄平面ABCD,由三 垂线定理知 CD! FD,故CD!平面FAD,知CD! AG.故AG为所求的直线 AB到平面EFCD的距离.在Rt FDC中，FD=丿曲

39、让呼引页 =氐 由FA丄平面PA AD 5ABCD,得 FAX AD,从而在 Rt FAD中 , FA=Ufd2-AD2 丸丽=1，所以，AG=-FU(n )由已知FA丄平面ABCD,得FA丄AD,又由/ BAD=,知AD丄AB,故AD丄平面ABFE,从而AD丄FE.所以，/ FAE为二面角F-AD-E的平面角，记为0 .在Rt EAD中，AE=JedSd?祝両礼疗.由四边形ABFE为平行四边形，得FE/ BA,从而/ EFA=, 在 Rt EFA中，EF=JaeW 详誨.故tan解法二:(I )如图2,以A点为坐标原点0, 0), C(2, 2, 0), D(0, 2, 0).,AU Ab,

40、 a!彳的方向为X, y, z的正方向建立空间直角坐标系，设 F(0, 0, z o)(ZoO),可得lt|=(2, 2, -z0),由 |比|=3,则 A(0,即少盯耳#3,解得Z0=1,即F(0, 0, 1). 因为AB/ DC, DC?平面EFCD,所以直线 AB到平面 EFCD的距离等于点 A到平面EFCD勺距离.设A点在平面EFCDh的射影点为 G(X1, y1, zj,贝山G =(X1,-2x 产 0,乙)，因Ab rn=0 且代 d0,而|OV=(0, -2, 1), c(-2, 0, 0), 此即解得G点的横坐标X1=0,知G点在yOz面上，故G点在FD上.又刖/|爪醐=(-x 1, -y 1, -Z1+1), 有牛-Z1+1,联立、，解得G。,总劭，因|扁|为AB到平面EFCD勺距离， 而八呎制，以1心1=华yi,(n )因四边形ABFE为平行四边形，贝冋设E(X0, 0, 1)(x00), lhb=(-X0, 2, -1), 由|沙|=的，即即1=农,加+2祁I