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1、2010 年中国科学院高等代数解：（ 1）证法 1InAInA InAInAB0AB证法 20ImBImBBImImInAInA InAIn0BABImBIm0ImBImBAInABImBA.证明： 因为A为正交矩阵， 故其特征值的模长为1.由于A1，故可设，于是法 1法 2 因 为r ( A)n1，故方程组AX0的解空间是一维的。若A*A*A0，故A*0，为A*的一个特征向量。 若解空间的一组基，又AA*0，故A*也是方程组AXA*k，即为A*的一个特征向量。kmax1,n，则nnnnxiihijij，iyiikijiji 1i , j 1i 1i, j 1故n|i|2nn| x |xii|

2、 |hijiji 1i 1i , j1n|i|2nn| y |iyii| |kijiji 1i1i, j 1于是xnh,且ynk。222nnjni| hi , j|ijh2nhi,i , j 1i , j 1i 1222nnin| ki , j|ikjj2nkii , j 1i , j 1i 1特征值，并设，于是当0时必为纯虚数。因此，（本题结论改为：存在C，使得T(A)tr ( A)更恰当）证明： 因为T 是线性映射，且满足T (AB)T( BA)，故T (ABBA)0，于是任给1ijn，都有T( Eij)T ( EiiEijEijEii)0，且T( EiiEjj)T ( EijEjiEjiEij)0，因此设T(E11)，则nnT (A)aijT

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