2-1极限的概念

1、第二章极限与连续Limit and Continuity如果说 ，函数概念是高等数学中最基本最重要的概念；那么，极限方法就是高等数学中最基本最重要的方法.为研究函数的性质，须引进极限 （ Limit ）概念 . 以后我们会看到，在微分学和积分学中，提出的问题均须用极限方法来解决 ，基本概念均须用极限概念来表达，解析运算（微分法、积分法）也均须用极限运算来描述. 所以，极限理论是整个微积分学的基础，它从方法论上突出地表现了高等数学不同于初等数学的特点. 1极限的概念1.1数列的极限我国魏晋时代（公元三世纪）的数学家刘徽曾用他所创造的割圆术 （ cyclotomic method ）计算过圆的面积

2、，并得出圆周率的近似值3.14. 对半径为R的圆，作圆内接正n边形， 则可得n个全等的等腰三角形，设其高为hn，底边长为an，其面积Ann1 anhn.刘徽认为，圆内接正多边形边数nAn就越接近于圆的面积2越多，其面积A（“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣” ）.n边显然，由于圆内接正形的周长lnnan，所以An1lnhn，而当n越来越大时，ln越来越接近圆的周长21 lnhn就越来越接近于圆的c2 R，hn越来越接近圆的半径R，于是An12面积A2 R RR22.An这一方法充分体现了极限的思想（用现代语言表述就是“数列的极限为A”）.数列的极限是最简单的极限

3、，所以我们就先从数列的极限开始. 为此先引入数列的概念.所谓 数列（ number sequence , 或 sequence of numbers ，也称为 数值序列 ）就是按一定规则排列起来的一串数：y1，y2， ，yn，记为yn. 它的每一个值称为数列的一项（ term ），y1称为 第一项（ 1st term），yn称为 第 n 项（ n-th term ），也称为 通项 或一般项 （ general term ） .下面我们来考察几个数列随着n增大的变化趋势：113451.Example 2.1.（1 Seep.27） 数列n：2，2，3，4， 当n无限增大时， 越来越接近于1112

4、3n：0，2，3，4， 当n无限增大时，也是越来越接Example 2.1.2（ See p.27） 数列近于1.n11132 5n0，2，3，4，当n无限增大时，还是越来Example 2.1.3（ See p.27） 数列：越接近于1.Example 2.1.4（ Seep.27） 数列11112n 1：1，2，4，8，当n无限增大时，越来越接近于0.Example 2.1.5（ See p.27） 数列5n：5，10，15，20，当n无限增大时，无限制地越来越大.Example 2.1.6（ See p.27） 数列1n 1：1，1，1，1，当n无限增大时，不接近于任何固定数值.Defi

5、nition 2.1（ See p.27）对于数列yn，如果当n时，yn无限地趋于一个常数A，则称当n趋于无穷大时，数 列yn以 常 数A为 极 限 （limit）， 或 称 数列yn收 敛 于A（convergeto A ）， 记 作limynA或ynA（当时）. 否则称数列ynnn数列没有极限，就称数列是发散的（divergent）.【 Note】 Example 2.1.13 中的三个数列都收敛于1， Example 2.1.4 中的数列收敛于0,而Example中的两个数列都是发散的.Definition 2.2（ See p.28）对于数列yn和常数A，如果对于任意给定的正数，都存在

6、正整数N，使得当nN时，恒有ynA成立，则称当n趋于无穷大时，数列yn以常数A为极限（limit数 列yn收 敛 于A（ converge toA），记作lim ynA或ynnn时） .2【 Note】 Definition2.2 一般称为数列极限定义的“理解：lim ynA的充分必要条件：对于任意给定的正数（不管它多么小） ，总可以找到一个正整数n使得对一切满足nN的yn（yN1，yNA成立 .1.2函数的极限数列是一种特殊的函数，即它是定义在正整数集合N+上的函数：限只是一种特殊的函数极限（即当自变量n只取正整数且无限变大时，函数讨论定义在实数集合R 上的函数f x的极限 . 这里的自变量

7、x是连续变化的， 它的变化过程可分为趋于无穷大和趋于一个固定值两种情形，需要分别进行研究.1.2.1当自变量趋于无穷大时函数的极限1Example 2.1.（7 See p.28） 对于函数y 11. （ See Figure 2-1 ）x无限地接近于Definition 2.3（ See p.28）对于函数fx和一个常数A，如果当x则 称 当x时 ， 函 数f x的极限是A，记作：fxA（当x时） .Definition 2.4（ See p.28）对于函数fx和一个常数A，如果对于任意给定的正数，总存在一个正数xM时，恒有fxAlim fxA或f是A，记作xDefinition 2.5（

8、See p.29）对于函数fx和一个常数A，如果对于任意给定的正数，总存在一个正数M，使得当一切xM时，恒有f xA3limfxAf xA（当xA，记作x或时）.Definition 2.6（ See p.29）对于函数fx和一个常数A，如果对于任意给定的正数，总存在一个正数M，使得当一切xM时，恒有fxA成立，则称当x时函数fx的极限limf xA或f xA（当x是A，记作x时）.【 Note 】 Definition2.42.6 一般称为函数极限定义的“M语言”，它们是当自变量趋于无穷大时函数极限的严格定义 .可以这样来理解：xlimfxA的充分必要条件：对于任意给定的正数（不管它多么小）

9、 ，总可以找到一个正数M，使得对一切满足xM或xM的fx，恒有Af xA成立 .xlimfxA的充分必要条件：对于任意给定的正数（不管它多么小） ，总可以找到一 个 正 数M， 使 得 对 一 切 满 足xM的f x，恒有AfxA成立 .limfxA的充分必要条件：对于任意给定的正数（不管它多么小） ，总可以找到x一个正数M，使得对一切满足xM的f x，恒有AfxA成立 .下面给出的定理是非常重要的.Theorem 2.1（ See p.29）limfxA的充分必要条件是xlim f xAlim fx.xxExample 2.1.（8 Seep.29） 因为当x时，ex；当x时，ex0.由 T

10、heorem 2.1可知lim ex不存在.x4Example 2.1.9 因为在 .limsin x和limsin x均不存在 . 由 Theorem2.1可知lim sin x不存xxxlim arctan xlim arctan x. 由 Theorem2.1可知Example 2.1.10 因为x2；x2lim arctan x不存在.xExample 2.1.11（ See p.29 ）因 为lim10且lim10. 由 Theorem2.1xxxx1lim0.xx1.2.2当自变量趋于固定值时函数的极限Example 2.1.12（ See p.29）函数y2x1在,上有定义 .

11、我们来考察当x趋于时，此函数的变化趋势. 将此过程中x和y的一些数值列表如下：x00.10.30.40.450.490.499y11.21.61.81.91.981.998x10.90.70.60.550.510.501y32.82.42.22.12.022.002x越接近1y2x1变得越接近于2.可以看出，当2时，0.520.52Definition 2.7（ See p.29）对于函数f x，如果当xx0（xx0）时，fx的函数值无限地趋于一个常数A，则 称 当xx0时 函 数f xf xA（当xx0Definition 2.8（ See p.29）的极限是A，记作limf xxx0时）

12、.对于函数f x和一个常数A，如果对于任意给定的正数，总存在一个正数，使得当05xx0时，f xA恒成立，则称当x趋于x0时，函数fx的极限是A，记作：limfxA或fxxx0lim2 x12【 Note 】在上面的 Example 2.1.12中，x12【 Note 】讨论函数fx在xx0时的极限时，与f x此时我们只关心xx0时，f x的函数值是否趋于某个常数.Theorem 2.2（ See p.30） For any constantcand any real numbera,lim cxTheorem 2.3（ See p.30） For any real numbera,limxa

13、xa1.2.3单侧极限Definition 2.9（ See p.30）如果当x从x0的左边无限地趋于x0时（总有xx0），f给定的正数，总存在一个正数，使当0 x0 x恒成立，则称当x趋 于x0时，函数fx的左极限（left-hand limit ） 是limfxA，也可记作fxA（ 当xxx0f x00A.Definition 2.10（ See p.30）如果当x从x0的右边无限地趋于x0时（总有xx0），f给定的正数，总存在一个正数，使当0 xx0成 立 ， 则 称 当x趋 于x0时，函数fx的右极限limit ） 是（right-handlimfxAA（当xxx0，也 可记作f x6

14、f x00A.【 Note 】 Definition 2.82.10一般称为函数极限定义的“语言”，它们是当自变量趋于固定值时函数极限的严格定义. 可以这样来理解：limfx Axx0的充分必要条件：对于任意给定的正数（不管它多么小） ，总可以找到一个正数，使得对一切满足x0 xx0或x0 xx0的fx，恒有AfxA成立 .limfxAxx0的充分必要条件：对于任意给定的正数（不管它多么小） ，总可以找到一个正数，使得对一切满足x0 xx0的fx，恒有AfxA成立 .limfxAxx0的充分必要条件：对于任意给定的正数（不管它多么小） ，总可以找到一个正数，使得对一切满足x0 x的fx，fxx

15、0恒有AA成立 .【 Notelimfxlimf x统称为 单侧极限或单边极限（ one-sided】左极限xx0与右极限xx0limit ），而前面学过的极限Example 2.1.13（ See p.30）limfx则可称为 双侧极限 或双边极限 （two-sided limit）.xx0设fxx,x33x1,x3讨论当x3时，fx的左右极限 .解limfxlimx3，x3x3limfxlim3 x18.1.2.4x3x3双侧极限存在的充要条件下面给出的定理也是非常重要的.7Theorem2.4（Seep.30）lim f xA的充分必要条件是：x x0lim f xAlimfxx x0

16、x x0.请看下面几个例子 .Example 2.1.14（See p.31） 对于分段点为x2的分段函数fx，讨论当x2时f x的极限 .x24x2x2,f x0,x2解 由于当x2时，fx24xx 2，x2lim f xlim x 24所以x 2x2，同理有lim f xlimx24x 2x2的 Theorem 2.4可知limfx4x2，于是由上面.【 Note 】本题不必用单侧极限也可以讨论.f xx24x2x2x2x 2事实上，由于当时，；而当时，x2，于是lim fxlim x24.x2x2Example 2.1.15（See p.31） 对于函数f xx，讨论x0时f x的极限

17、.解fxxx，x0 x，x0lim fxlimx0 lim f xlim x0 x0 x0，x 0 x0，8lim f x0故由 Theorem 2.4 可知x0.Example 2.1.16（ See p.31） Evaluatelimxx.x0limxlimx1x =x, whenx0）xxSolution We havex0 x0（ sincelimxlimxx1andx0 x0 x（ sincexx, whenx0）limxIt now follows thatx0 xdoes not exist, since the one-sided limits are not the same

18、.【 Note 】这一节讲了7 种极限，现归纳如下：lim ynA0，nlim f xAxlim f xAxlimxf xAlimf xAxx0N，nNynA）0，M0，xMfxA）0，M0，xMfxA）0，M0，xMfxA）0，0，0 xx09f xAlim f xA0，0 x0 xx00，f xA）x）limfxA0，xx0其实，上述极限定义的“N语言”、“M语言”和“以，都不要求掌握 .这一节还讲了2 个充分必要条件：limfxAlim fxAlimf xxxxlimfxAlimf xAlimxx0 xx0 xx0这些内容请大家对照着、比较着去理解、去记忆.【 Note】如果将lim f xA也称为 双侧极限 ，将limf xxx也分别称为 左极限 和右极限 （均称为 单侧极限 ），那么，上面2 个充分必要条件可统一表述为：lim fxAlim fxAlimf x.双左右【 Note 】在上面，我们用到了几个逻辑符号，这些符号以后在本课程中也会经常用到，