解析几何第三章习题及解答

1、第三章常见曲面习题 3.11.证明：如果a 2b2c 2d0 ，那么由方程x 2y2z22ax2by2czd0给出的曲面是一球面，求出它的球心坐标和半径。证明：将方程配方得222( xa )2( yb)2(zc)2a 2b2c 2d ，由 a 2b2c 2d0 ，得到方程表示球心是 (a,b,c) ，半径为abcd 的球面。2.求过三点 (3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的圆的方程。解：空间中的圆可由过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的一个球面和一个平面的交线表示，设过该三点的球面方程为x2y 2z2axbyczd0 ，得到93ad0,42bd0,1cd0球面方程

2、为 x 2y 2z29d x34d y(12d) zd0 ，其中 d 任意。过该三点的平面方程是xyz321 ，所以所求圆的方程可以为6( x 2y 2z2 )2(9d) x3(4d ) y6(1d ) z6d0,2 x3 y6 z60其中 d 任意。3. 证明曲线xt, 1t2t 4t2y 1t 2t 4 ,3z t,t(,)在一球面上，并此球面方程。证明：因为曲线满足1t2t423222txyz() 2(t)2(t)22424241tt1tt21ttt224t(24 ) (11tttt )1t2t 4y21 221即 x( y)z，所以曲线在一个球面上。244. 适当选取坐标系，求下列轨迹

3、的方程（1） 到两定点距离之比等于常数的点的轨迹；（2） 到两定点距离之和等于常数的点的轨迹；（3） 到定平面和定点等距离的点的轨迹。解（ 1）选直角坐标系使得定点坐标为(0,0,a ),(0,0,a) 。设定比常数为 k0 。所以动点 ( x,y, z) 满足 x 2y2( za )2k 2 ( x2y 2(za )2 ) ，化简有(1k 2) x 2(1k 2 ) y2(1k 2 )z22a (1k 2 )z(1k 2 )a 20 ，当 k1 时，轨迹为平面 z0 。1k 2当 0k1 时，轨迹为球面 x 2y2z22aza 20 。1k 22（ 2）选直角坐标系使得定点坐标为(0,0,a

4、 ),(0,0,a) 。设常数为 k0 。所以动点( x,y, z) 满足xy 2(za )2x 2y2( za )2k ，化简有4 k 2 x24k 2 y 2(4 k 216a 2 ) z24k 2a 2k 40.（3）选直角坐标系使得定点坐标为(0,0,a ), 定平面为 za 。所以动点 ( x,y, z) 满足x 2y 2(za )2za ，化简有 x 2y24az.5. 曲面 s 在柱面坐标系 ( r, u,v) 下的方程为vr 2 cos2 u ，求 s 的直角坐标方程。解：将柱面坐标与直角坐标的关系xr cosu , yr sinu , zv 代入方程得到x 2y 2z.26.

5、 曲面 s 的直角坐标方程为x 2y2z25 ，试求其球面坐标方程。解：将球面坐标与直角坐标的关系xr coscos,yr cossin, zr sin代入方程得到 x 2y 2z2r 2 cos2r 2 sin225, 即r 2 cos225.习题 3.21. 求半径为 1，对称轴为yzx的圆柱面方程。23解：圆柱面上的点 ( x,y, z) 到对称轴 xyz的距离是常数1，所以23( x,y, z)(1, 2, 3)1 ，即有149(3 y2 z)2(z3 x )2(2 xy) 214.2. 已知与圆柱面的三条母线为xyz, x1yz1, x1y 1z,求这个圆柱面的方程。解：先求对称轴，

6、对称轴上的点( x, y, z) 到三母线的距离相等，所以( x ,y, z)(1,1,1)( x1, y, z1)(1,1,1)( x1, y1, z)(1,1,1) ，化简整理得对称轴的方程：xy1z 1 。圆柱面上的点到对称轴的距离等于对称轴上的点 (0,1,1) 到母线 xyz 的距离，所以( x , y1, z1)(1,1,1)(0,1,1)(1,1,1) ，2即 ( yz2)2( xz1)2( xy1)6, 展开得到圆柱面方程x 2y2z2xyxzyz3 y3 zx 20.y29,3. 求母线方向为 (2,3,4) ，准线为z1的柱面方程。解：柱面上的点( x, y, z) 一定在

7、经过准线上一点( x 0,y0 , z0 ) 的母线上，所以22x 0y09,z01,x x 0y y0z z02 t,3t, 4 t消去 x 0 ,y0 , z0 , t 得到柱面方程：16 x 216 y 213 z224 yz16 xz16 x24 y26z1310.4. 已知圆柱面的对称轴为2 x1yz1 ，点 (1, 2,1)在此圆柱面上， 求此圆柱面的方程。解：圆柱面上的点 ( x,y, z) 与点 (1,2,1) 到对称轴的距离相等，所以( x, y1, z1)(1,2,2)(1,3,0)(1,2,2)41 ，展开整理得8 x 25 y 25 z24 xy8 yz4 xz8 x2

8、 y2 z390.5. 求准线为xy21,24z0的圆柱面方程。解：因为准线是椭圆，所以圆柱面的对称轴一定过椭圆的中心(0,0,0)，母线方向不可能平行于坐标面xoy ，可设为 (l , m,1)。在准线上取三点(2,0,0),(0,1,0),(3,1 ,0), 它2们到对称轴的距离都等于圆柱面的半径r ，于是(2,0,0)(l , m,1)(0,1,0)(l, m,1)(3,1 ,0)(l , m,1) ，222112得 44 m1l3(3ml ) , 化简有4234m 2l 2 ,显然 l0, 所以 m0, l3. r1 。ml0,因而圆柱面有两个( x ,2y, z)(3,0,1)4 ，

9、即 ( x3z)24y24.6. 求以 z 轴为对称轴，坐标原点为顶点，半顶角为的圆锥面方程。6解：因为圆锥面以z轴为对称轴，坐标原点为顶点，半顶角为，所以圆锥面非常为6x2y 2z2 tan 260, 即 3 x 23 y2z20.7. 求顶点在原点，准线为f ( x, y)0,的锥面方程。zh,( h0)解：锥面上的点( x, y, z) 一定在经过准线上某点( x 0,y0 , z0 ) 的母线上，所以f ( x 0, y0 )0,z0h,xtx ,因此得到锥面方程f ( hx, hy )0.0zzy0ty,z0tz8. 求以原点为顶点，包含三条坐标轴的圆锥面方程。解：设圆锥面的对称轴的

10、方向向量为(l , m, n)，依照题意对称轴的方向向量与三坐标轴的坐标向量的夹角的余弦的绝对值相等，所以有(1,0,0)(l , m, n)(0,1,0)( l, m, n)(0,0,1)( l , m , n)即 lmn ，对称轴的方向向量为(1,1,1) 。因此圆锥面上的点( x, y, z) 满足( x, y, z) (1,1,1)1，化简得xyyzxz0. 即有四个圆锥面。x 2y 2z2339.求顶点为 (0,1,0) ，准线为y 2x 21,4的锥面方程。z5解：锥面上的点( x, y, z) 一定在经过准线上某点y2( x 0,y0 , z0 ) 的母线上，所以x 201,04

11、z05,x 0tx,y01z0tzt( y1),因此得到锥面方程20 x 25 y2z22 yz10 y2 z50.10. 证明：母线方向为 ( l , m, n)，与球面 x 2y2z21 外切的柱面方程为22( lxmynz)(l222mn )( x22yz1)0 。xyz证明：依照题意知柱面是半径为1 的圆柱面，对称轴为. 所以柱面上的点lmn( x, y, z) 满足( x,y, z)( l , m, n)221 ，由公式 aba2 b2(a b) 得 到l 2m 2n 222( lm22n )( x222yz )(lxmynz)222lmn ，故柱面方程为( lxmynz)2(l 2

12、m 2n2 )( x 2y2z21)0 。11. 过 x 轴和 y 轴分别作动平面，交角为常数，求交线的轨迹方程，并且证明它是一个锥面。解：过 x 轴和 y 轴的动平面方程可设为b1 yc1z0, a2 xc 2z0. 它们的交线是b1 yc 1za2 xc 2z0,由于两平面的交角是常数，所以0.c 1c 2cosb 2222，交线方程中的系数按此关系消去得到轨迹方程：1c 1a2c 22222222x ycos( yz )( xz)0 ，该方程明显是4 次齐次方程，所以是锥面。12. 证明：以m 0( x0 ,y0, z0 ) 为顶点的锥面方程是关于( xx 0),(yy0),(zz0 )

13、 的齐次方程。证明：我们知道顶点在原点的锥面方程是关于x, y, z 的齐次方程 ，所以将坐标系的原点平移到m 0 ( x0 ,y0 , z0)，新坐标系的坐标用x , y, z ，则xxx0 , yyy0, zzz0 ，故锥面方程是关于x , y, z 的齐次方程，即关于( xx0 ),(yy0 ),( zz0 )的齐次方程。13. 求下列曲线向各坐标面投影的投影柱面方程，和在各坐标面上的投影曲线，并作出曲线的简图：x 2y24a 2 ,x 2y 2z24,x 2y2z24 a 2 ,（1）2222（2）222（ 3）22x2 yz5a ;x( y3)z4;xy2ax0.解：（ 1）向 xo

14、y 面投影的投影柱面方程是x 2y24a 2 ，在 xoy 面上的投影曲线是x 2y 2z0.4a 2 ,在方程组中消去 x 得到向 yoz 面投影的投影柱面方程是y2z2a 2 ，在 yoz 面上的投影曲线是y 2z2x0.a 2 ,在方程组中消去y 得到向 xoz 面投影的投影柱面方程是x 2z22a ，在 xoz 面上的投影曲线是x 2z2y0.a 2 ,（2） 在方程组中分别消去x , y, z 得到向yoz , xoz , xoy 面投影的投影柱面方程分别是2 y30( x2, z2), x 2z27 , 2 y430( x2, z2).在 yoz, xoz , xoy 面上的投影曲

15、线方程分别是2 y30,( zx0,2),x 2z27 ,4y0,2 y30,( xz0,2).（3） 在方程组中分别消去x , y, z 得到向yoz , xoz , xoy 面投影的投影柱面方程分别是z44a 2z24 a 2 y 20, z22ax4a 20, x 2y22ax0 。在 yoz, xoz , xoy 面上的投影曲线方程分别是z44a 2 z24a 2 y 20,z22 ax4a 20,x 2y22ax0,x0,y0,z0.14. 设柱面的准线 c 的参数方程为xf ( t),yg(t), zh( t), ta, b ，母线方向为( l , m, n) ，求柱面的参数方程。

16、解：柱面上的点 ( x,y, z) 在过准线上点 (f ( t), g( t), h(t ) 的母线上， 所以柱面的方程为x f (t )ls,y g( t)z h( t)ms, t nsa, b, s(,), 这就是柱面的参数方程。习题 3.3x21. 求曲线y21,绕 z 轴旋转所得的曲面方程。zx2解：点 ( x,y, z) 在旋转面上当且仅当它是曲线上点( x 0 , y0 , z0 ) 旋转而来：x2y21,0000zx2 ,消去 x , y , z 得到旋转面的方程：x2y21 ，由于曲线只是x2y2x2y2,000002zz00,0z1 的一部分，所以旋转面也是一部分：xy21

17、， 0z1 。2. 求直线xyz2101 绕直线 xyz 旋转所得的曲面的方程。解：设曲面上的点 ( x,y, z) 是直线上的点( x0 ,y0 , z0 ) 旋转来的，则x0y0z01,210( x, y, z)(1,1,1)( x 0,y0 , z0 )(1,1,1) ,xyzx0y0z0 ,消去 x0 , y0 , z0 得到：9(yz)2( zx ) 2( xy)2 ( xyz4) 2(2(x yz)5) 2( xyz1) 2整理得旋转面的方程：2 x 22 y22 z25 xy5 yz5 xz5 x5 y5 z70.3. 求曲线c : xf(t ),y g( t ), zh(t )

18、 绕 z 轴旋转所得的曲面的参数方程。解：设曲面上的点( x ,y, z) 是曲线上的点( x0,y0 , z0 ) （对应的参数为t0 ）旋转来的，则x 0f( t0), y0g( t0 ), z0h(t0),x 2y 2x 2y2 ,00z z00所以曲面的参数方程可写为：x f 2 ( t)y f 2 (t )g 2 ( t) cos ,g 2( t) sin, (02).z h( t),4. 证明：1zx 2表示一个旋转面，并求它的母线和转轴。y2证明：方程的形式可改写为( x 2y2 ) z1 ，发现以曲线y2 z1,或x0x 2 z1,为母y0线， z 轴为旋转轴，就可得到曲面的方

19、程。习题 3.41.一个椭球面以三个坐标面为对称平面，并且经过三个点(2,2,4),(0,0,6),(2,4,2)，求其方程。解：设椭球面的方程为44161,x 2y2z22 221 ，将三个点的坐标代入得到abca 2b 2c 22361,解得 a 29, b236, c236,c14164222abcx 2所以椭球面的方程为y 2z21 。936362. 求以原点为顶点，z轴为对称轴，并通过两点(3,0,1),(3,2, 2) 的抛物面的方程。x 2解：设抛物面的方程为y 22 z, 将两个点的坐标代人得到ab9942,4 ，解得 a9x22, b2 ，所以抛物面的方程为y4 z.aab3

20、. 求通过两条抛物线2x 26 y0,和z24 y940,的二次曲面方程。z0x0解：设二次曲面方程为一般方程：ax 2ay 2az22axy2ayz2axz2 ax2ay2aza011223312231314243444由于曲面通过两条抛物线，所以将x0, z0 分别代人方程中得到两条抛物线axay2211222a12 xy2a14 x2a24 ya 440,z0ayaz2222332a 23 yz2a 24 y2a34 za 440,x0与给的抛物线方程进行比较得到a 22a11a12 2a 246a14,a 44a 23a 340a 332a 24 ,4所以曲面的方程为12a24 x31

21、2a 24 z22 a13 xz2a24 y0 ，其中a 24 , a13 不全为 0。当 a240 时，方程为 xz0 ，当a240 时，方程可化为22xz2 kxz2 y320 ，其中 k 为任意常数。4. 给定方程x 2y 2x 2a2kb2kc 2k1 (abc0),问当 k 取异于a 2 ,b2 , c2 的各种实数值时，它表示怎样的曲面？解：由于abc0 ，所以当 k2222c 时， ak0, bk0, ck0 ，方程表示椭球面；当 b2kc2 时， a 2k0, b2k0, c2k0 ，方程表示单叶双曲面；当 a 2kb2 时， a 2k0, b2k0, c2k0 ，方程表示双叶

22、双曲面；当 ka 2 时， a 2k0, b2k0, c2k0 ，方程表示虚椭球面。5. 适当选取坐标系，求下列轨迹方程。（1） 到两定点距离之差等于常数的点的轨迹；（2） 到一定点和一个定平面（定点不在定平面上）距离之比等于常数的点的轨迹；（ 3）设有一个定平面和垂直于它的一条定直线，求到定平面与到定直线的距离相等的点的轨迹；（4）求与两给定直线等距离的点的轨迹，已知两直线之间的距离为a ，夹角为。解：（ 1）选直角坐标系使得定点坐标为(0,0,c),(0,0,c) 。设距离之差为 2b 。所以动点 ( x,y, z) 满足x 2y2( zc) 2x 2y 2(zc)22 b ，化简有b2

23、x 2b2 y2( b2c 2) z2b2c 2 .（2） 选直角坐标系使得定点坐标为(0,0,c), 定平面为 zc，定比为 kk0, c0 。所以动点 ( x,y, z) 满足x 2y2( zc)2ck z，k化简有 x 2y2(1k 2 )z22c(1k ) z0.（3） 以定平面为 xoy 面，定直线为z 轴建立直角坐标系。所以动点( x, y, z) 满足x2y 2z ，于是动点轨迹方程为x 2y 2z20.（ 4）设两直线异面，以两条定直线的公垂线为z 轴，过公垂线段的中点与公垂线垂直的平面为 xoy 面，两直线在 xoy 面上的投影直线的角平分线为x 轴和 y 轴，建立直角坐标系

24、，使得两直线的方向向量为(cos,sin,0)22a，两直线分别过点(0,0,) 。所以动2点 ( x, y, z) 满足aa( x ,y, z)(cos,sin,0)( x, y, z)(cos,sin,0) ，222222展开得( za )sin2( za )cos2 x siny cos2222222( za )sin2( za )cos2 x siny cos2222222化简得xy sinaz 。如果两直线平行，即0,，则动点轨迹为平面z0 。如果两直线相交，则a0 ，则动点轨迹为两相交平面：xy0 。x 2y 2z26. 设 p 是椭球面2221 上的一点，向量op 的方向余弦为(

25、,)，且abc1222opr ，试证：r 2a 2b2c2 .证明：由题意得到点p 的坐标为p (r, r, r) ，将它代入椭球面方程得到r 22r 22r 2212221a 2b2c 2, 即有r 2a 2b2c2 .7. 由椭球面222xyz1 的中心 o 引三条互相垂直的射线，与椭球面分别交于a 2b2c 2p , p , p ， 设 opr (i1, 2, 3) ，试证：111111.123iir 2r 2r 2a 2b 2c2123证明：设三向量opi (i1,2,3)的方向余弦为i ,i ,i ( i1,2,3)，由上题结论有1222iii(i1,2,3).由于三向量op ( i

26、1,2,3)两两互相垂直， 所以矩阵rabc2222ii111222121,231,23333为正交矩阵， 因而2222222221.311从而得到.111111r 2r 2r 2a 2b 2c21238. 求与椭圆抛物面10 x 22 y 2z 的交线为圆的平面。解：因为椭圆抛物面2210 x2 yz 开口朝 z 轴方向，交线为圆，所以平面的法向量不会平行于 xoy 坐标面，可设所求平面为: axbyzd0 。由 于 空 间 的 圆 一 定 是 某 球 面 与 平 面 的 交 线 ， 所 以 该 圆 可 设 为 球 面x 2y2z22ax2by2 czd0 与平面的交线。交线向 xoy 坐标

27、面的投影柱面是相同的，而它们的方程分别为10 x 22 y 2axbyd0,(1a 2 ) x 2(1b 2 ) y22 abxy2( adaca) x比较它们的系数得到2( bdbcb ) yd 22 cdd0,2ab0, 1a1b 2，于是 b0, a2. 平面方程：2 xzk 。102该 平 面 要 与 椭 圆 抛 物 面 相 交 ， 将 平 面 方 程 代 人 椭 圆 抛 物 面 方 程 中 得10 x 22 y22 xk ,该方程有解，经配方得到k 满足： k1 .10习题 3.5x 21. 求单叶双曲面y2z21 上过点 (2, 3,4) 的直母线。4916x2解：单叶双曲面y2z

28、21 的直母线族为4916u( xz)v(1y )0,u( xz )v(1y )0,( )243yxz及 ()243yxzu(1)v()0u(1)v()0324324将点 (2, 3,4) 代入直母线族的方程中，得到(i) 的参数为 v =0， (ii) 的参数为 uv0 ,所以过点 (2, 3,4) 的直母线为2 xz( )0,x， ()20,y304 y3 z0.x2. 求直线族2yz1所形成的直纹面方程。211解：直线族x2yz1 改写为211x22 z2,yz1消去参数得到直纹面方程y 2z22 yzx2 y4 z3 0 。3. 求与以下三直线同时共面的直线所产生的曲面，x1x1x2y

29、1z2l1 :, l2 :, l3 :.yzyz345解：依题意，所求直线l 应同时在过l1, l2 的平面束中，即u( x1)yz0l :, 该直线经过点 (1,v,v) ，方向向量为 (2,uv, uv) 。v( x1)yz0由于 l 与 l3 共面，所以11v2v2uvuv0 ，化简得到 uv1 。将直线 l 的方程中的参数依此关系消去，345得到动直线产生的曲面方程x 2y 2z21 。4. 证明单叶双曲面的同族中的任意两条直母线异面；异族中的任意两条直母线共面。证明：设单叶双曲面的方程为x 2y2a 2b2z2c21( a0, b0, c0).直母线族为xa cosuav sin u

30、, ( )yb sin ubv cosu,zcv,及 ()x a cosu av sin u, y b sin u bvcosu , z cv,（1） 在(i) 中任取两条直母线l1 , l2 ，对应的参数为 0u1 , u22, u1u2 ， l1 , l2 分别经 过 点m 1 (a cosu1 ,b sin u1 ,0)，m 2(a cosu2, b sin u2 ,0)， 方 向 向 量 是v1(a sin u1,b cosu1 , c)， v2(a sin u 2,b cosu 2 , c) ，显然两方向不共线，计算混合积a (cosu2cosu1 )b(sin u2sin u1 )

31、0( m 1 m 2 ,v1 , v2 )a sin u1 a sin u2bcosu1cbcosu2cabc(cos ucosu ) 2(sin usin u)2 21212abc(1cos(u2u1 )0.所以 (i) 中任意两条直母线l1 , l2 异面。同理可得 (ii) 中任意两条直母线也异面。（2） 在两族直母线中分别任取一条，记为l1 , l2 ，对应的参数为 0u1 , u22, l1 , l2 分别 经 过 点m 1(a cosu1 , b sin u1 ,0)， m 2 (a cosu2, bsin u2,0)， 方 向 向 量 是v1(a sin u1,b cosu1 ,

32、 c)， v2(a sin u2 ,b cosu2 ,c) 。如果 u1u2 ，由于它们经过同一个点，所以l1 , l2 共面。如果 u1u2 ，则计算混合积a (cosu2cosu1 )b(sin u2sin u1 )0( m 1 m 2 ,v1 , v2 )a sin u1 a sin u2bcosu1cb cosu2cabccos2 ucos2 usin2 usin2 u0 ，1212所以 l1 , l 2 共面。并且当 u1u2时， l1 , l 2 平行。5. 设 s 是马鞍面，证明：（1） 同族中的任意两条直母线异面；（2） 异族中的任意两条直母线相交；（3） 同族中的全体直母线平

33、行于同一个平面。x 2y 2证明：设马鞍面的方程为222 z, a ab0, b0. 它的两族直母线为xauav, ( )ybubv,及 ()xavau, ybvbu,z2 uv,z2 vu,（1） 在 (i) 族中任取两条直母线l1 , l 2 ，对应的参数为u1 , u2 , u1u2 ，l1, l2 分别经过点m 1(au1 , bu1,0)， m 2 (au2 ,bu2,0)，方向向量是 v1( a,b,2 u1) ， v2(a,b,2 u2) ，显然两方向不共线，计算混合积a(u2u1 )b( u22u1 )0( m 1 m 2 ,v1 , v2 )ab2 u1ab2 u24ab(u

34、2u1 )0.所以 (i) 中任意两条直母线l1 , l2 异面。同理可得 (ii) 中任意两条直母线也异面。（2） 在两族直母线中分别任取一条，记为l1 , l2 ，对应的参数为u1 , v2l1, l2 分别经过点m 1(au1 , bu1,0)， m 2( av2 ,bv2 ,0)，方向向量是 v1( a,b,2 u1 ) ， v2( a, b,2 v2 ) 。显然两方向不共线，即它们不可能平行。计算混合积a(v2u1 )b( v2u1 )0( m 1 m 2 , v1 , v2 )ab2 u10.ab2 v2所以异族中的任意两条直母线l1, l2 相交。（3） 由于 (i) 中任意直母线的方向向量为v1( a,b,2 u), 它平行于平面bxay0 ，所以 (i) 中所有直母线平行于平面bxay0 。由