热统习题解答(全)

1、第一章热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数 ，压强系数 和等温压缩系数 。解： 理想气体的物态方程为pvrt , 由此可算得：50p1 ( v )1 ,vtt1 (p )vpt1 ; k t1 ( v )1tvpp1.2 证明任何一种具有两个独立参量t，p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数 及等温压缩系数 ，根据下述积分求得：ln v( adtkdp) ，如果 a1 , k t1 ，试求物态方程。p证明：dv (t , p)( v )dt tt( v ) dp p两边除以 v, 得pdv1 (vvv )dt t1 (v )dp vpdtdppt积分后得ln v1 , t(ad

2、t1 ,pkdp)如果代入上式，得ln v( dt tdp ) pln tln pln c所以物态方程为： pvct与 1mol 理想气体得物态方程 pv=rt 相比较，可知所要求的物态方程即为理想气体物态方程。1.3 在 00c 和 1atm 下，测得一块铜的体胀系数和压缩系数为a=4.185×10-5k -1，k=7.8×10-7 atm-1 。a 和 k 可以近似看作常数。 今使铜加热至 100c，问（ 1）压力要增加多少大气压才能使铜块的体积维持不变？（2）若压力增加 100atm，铜块的体积改变多少？dv解：（a）由上题 v1 (v )dt vt1 ( v )dp

3、 vpdtdppt体积不变，即 dv0aa4.8510 5所以 dpdt k(b)即 pt k77.81010622 atmvv2v1 v1v1(t2t1)(p2p1)4.8510 510 7.810 71004.0710 4可见，体积增加万分之 4.07。1.4 描述金属丝的几何参量是长度l,力学参量是张力 f,物态方程是f(f ,l,t)=0 。实验通常在 1pn 下进行，其体积变化可以忽略。线胀系数定义为 a1 (l )flt，等温杨氏模量定义为yl ( af )，tl其中 a 是金属丝的截面积。 一般来说，和 y 是 t 的函数， 对 f 仅有微弱的依赖关系。如果温度变化范围不大，可以

4、看作常量。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由t1 降至 t2 时，其张力的增加为fya( t 2t 1 )证明：（a）设 ffdff(t , ldt) ，则fdltllt（ 1）ftl1由于tllfftffl所以tllttf（ 2）将（ 2）式代入（ 1）式，并利用线胀系数 和等温杨氏模量的定义式，得dffldtfdlaydtay dllttfltl（3）（ b）当金属丝两端固定时， dl0，由（ 3）式得dfaaydt当温度由 t1 降至 t2 时，积分上式得fya(t2t1 )（ 4）1.5 一理想弹性物质的物态方程为fbt ( ll 0 )02ll2，其中 l 是长度，l 0 是张力

5、f 为零时的 l 值，它只是温度 t 的函数， b 是常数。试证明：（a） 等温杨氏模量为btly(al 02 l20l 2)y3bt0a（b） 在张力为零时， 线膨胀系数1.0l3 / l311 dl 000t l3 / l32 其中.tdl(c) 上述物态方程适用于橡皮带，设t300k,b0l1.3310 2n . k 1 ，a1106 m2 ,510 4 k1.试计算当l0 分别为 0.5，1.0，1.5 和l2.0 时的 f,y,对 l0的曲线。证明：（a）由弹性物质得物态方程，可得l2fbt120lll 3t0（1）将上式代入等温杨氏模量的定义式lfl12 l2btl2l2ybt00

6、alall3all2t00（ 2）当 f0 时， l l0，由（ 2）式得y0bt123btaa（ 3）（ b）在 f 不变下，将物态方程对 t 求导，得0llll02l2ll02l2 ll0ll20tt0t0tll2tffffl2l400由上式解出ltf ,可得3231l0l22l01l2l0l2l022l11lltltl1ll1 l0f0l0l00(4)ltf1 dl0l2l022l0l0t l2l02l0l0233t l2l00其中l0 dt1.6 1mol 理想气体，在 27oc 的恒温下体积发生膨胀，其压强由20pn准静态地降到 1pn，求气体所作的功和所吸收取的热量。解： (a)

7、在恒温准静态膨胀过程中，理想气体所作的功为v 2wpdvrtv 2dvrtlnv 2 ,v 1因为p 1v1rt ,p 2 v 2v 1vv 2rt ,故有v1v 1p 1 ,p 2wrt ln p1 p28.31300 ln 207.46310 j1mol.(b) 理想气体在恒温膨胀过程中，内能不变，根据热力学第一定律，求得qw7.46103 jmol 1 .1.7 在 25oc 下，压强在 0 至 1000pn 之间，测得水的体积为v(18.0660.71510 3 p0.04610 6p 2) cm3mol 1如果保持温度不变，将 1mol 的水从 1pn 加压至 1000pn ,求外界

8、所作的功。解：写出vabpcp 2 ,则 dv= (b+2cp)dp =所要求的功(0.71510 320.04610 6p) dpv2wpdv1000p(b2cp)dp( 1 bp22 cp3 )10001v11231( 0.715) 10 3(103) 220.04610 6(103 )323n326.83pcm3 / mol33.1j mol 1n(1pcm30.101324j )l0 ,1.8 承前 1.5 题，使弹性体在准静态等温过程中长度由l0 压缩为 2试计算外界所作的功。解：外界对弹性体作的元功表达式为dwfdl（1）将物态方程代入上式，得dwbtl l 02l0dl l 2（

9、2）注意到在等温过程中 l0 不变，当弹性体在等温过程中长度由l0 压缩为 l 0/2 时，外界所作的功为2l 0 / 22wbtll 0l 0l 0dl l5 btl 80（ 3）1.9 在 0oc 和 1pn下，空气的密度为 1.29 kg1m.空气的定压比热容11cp966j kgk,1.41.今有 27m3 的空气，试计算：（i）若维持体积不变，将空气由 0oc 加热至 20oc 所需的热量。（ii ）若维持压强不变，将空气由 0oc 加热至 20oc 所需的热量。（iii ）若容器有裂缝，外界压强为 1pn,使空气由 0oc 缓慢地加热至 20oc 所需的热量。解： 1cal=4.2

10、j所以cp9 6 j6kg 1 k 10.2 3 c8 a l g 1k 1(i) 这是定容加热过程，定容热容量可以从定压热容量算出，c pcv0. 238/ 1.410.169 cal / gd e g.27m3 的空气，其质量可由它的密度算得：m0.00129271063.48104 g考虑到热容量为常数，使温度由0oc 升至 20oc 所需得热量t2qvmcv dtt1mcv(t2t1)3.481040.16920即得qv1.176105 c a l4.92010 5 j(ii) 在定压加热过程中，qpmcp(t2t1)3.481040.238 201.658105 (cal)6.937

11、(j).(iii) 因为加热过程使缓慢得，所以假定容器内的压力保持1pn. 本问题，空气的质量是改变的。在保持压力p 和容积 v 不变的条件下加热时，在温度 t 下的质量 m(t) 可由物态方程pvmrt (其中为空气的平均分子量)确定之。设 t1 时，容器内的空气质量之为 m 1,则由pvm 1 (t )rt1t1mm (t )1算得t, 所以t 2qm(t) cdtmt ct2 dtmt clnt 2(1)tp11ptt11pt111将 t1=273k, t2=293k, m1cp= 8.29103 cal / k代入（ 1）式，即得q8.2910 3273 ln2932731.6010

12、5 c a l6.67810 5 j1.10 抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入。当压强达到外界压强p0 时将活门关上。试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能 u 与原来在大气中的内能 u0 之差为uu 0p0v0 ，其中 v 0是它原来在大气中的体积。若气体是理想气体，求它的温度与体积。解： (a) 求解这个问题， 首先要明确我们所讨论的热力学系统是什么。为此，可以设想：使一个装有不漏空气的无摩擦活塞之绝热小气缸与绝热 小匣相连。假定气缸所容空气的量，恰好为活门打开时进入该小匣内的那 一部分空气的量。这样，原来在小气缸中，后来处于小匣内的那一部分空气（为了方便，设恰为

13、 1mol 空气），就是我们所讨论的热力学系统。系统的初态( v0, t0 ,p0 ;u 0 )和终态(v ,t , p;u )如图所示：初态（ v 0,t 0,p0;u 0）终态（ v,t,p;u ）. . 当打开活门，有少量空气进入原来抽为真空的小匣，小气缸内的气压就降为比大气压小一点，外界空气就迫使活塞向匣内推进。根据热力学第一定律，在此绝热过程中，有dudw积分之，p 0 dvuu 00p0 dvv0v0p0dv0p0v0(1)(b) 由uu 0p0v0 ,得到cv (tt0 )rt0(c pcv )t0即cv tcv t0c p t0cv t0c ptt 0t 0从上式，得c v(2

14、)(c) 由于初态和终态的压力相等，故有p 0 v 0vr t0 和tp0vr t从以上两式，得到v 0t 0(3)由(2)式知， (3)式可化为tvv 0v 0t 0(4)1.11 满足pv nc 的过程称为多方过程，其中常数n 名为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量cn 为ncncvn1证明：根据热力学第一定律，有c n dtc v dtpdv(1)利用理想气体的物态方程，可将pv nc 化为c1tvn1将上式微分，得dvv d tr d t( n将(2)代入(1)式，得1)t(n1) p(2)1c ncvcvn1ncv .n11.12 试证明：在某一过程中理想气体的热容量cn

15、 如果是常数，该过n程一定是多方过程，多方指数容热容量是常数。证明：根据热力学第一定律c nc pc nc p.假设气体的定压热容量和定c n dtc v dtpdv由 pvrt, 有pdvvdprdt, 将dt代入上式，得( c nc vr1) pdvc nc vrv d p0两边除以 pv，再经整理，得到n dv vdp0，经积分即得ppv nc .p1.13 声波在气体中的传播速度为s假设气体是理想气体，其定压和定容热容量是常量。试证明气体单位质量的内能u 和焓 h 可由声u速及给出：2(1)h常量，21 常量证明：理想气体在准静态的绝热过程中，pvc，经积分，得 dppdv0v,s(p

16、 )p从而得到vvm(1)因为vpp,所以vpmp mv 2pvrt() s() s( v) s()(2 ) vvm 2mmprt() st ma2m， 故r(2)对于理想气体，内能和焓分别为u c v常数，hc p常数(3)把(2)中的 t 代入(3)式，并注意到 cp得单位质量的内能 u 和焓 h 为a 2cvr和a 2cp / cvu(1)常数， h常数。11.14 大气温度随高度降低的主要原因是在对流层中的低处与高处之间不断发生对流。由于气压随高度而降低， 空气上升时膨胀，下降时收缩。空气的导热率很小，膨胀和收缩的过程可以认为是绝热过程。试计算大气dt温度随高度的变化率 dz，并给出数

17、值结果。dp( z)( z) g 提示：根据流体静力学可导出气压随高度的变化率dzt再利用理想气体的绝热方程求出ps1 t (z)p(z)，从而可以求出。dt答： dz(1) m rg ,数值结果： -10 kkm 1.解： (i) 首先讨论在热平衡下，大气压如何随高度而改变。要注意到热平衡条件中包括力平衡条件，考虑在高度z 和 z+dz 之间，其截面积为a 的空气圆柱体（图 1.14），作用在它的上截面和下截面的力分别为p( zdz) a 和p( z) a作用在圆柱内空气的重力为由上述三个力的平衡条件 :( z) adz，z+dzp( zdz) a +p( z) a( z) adz =0 (

18、z)gadzzdp( z)得 到 dz(z)g，p(z)a(ii) 把(1)式的(z)变换到 p(z): 如果空气的平均分子量为 m，则 1mol空气的体积为mprt( z) ，则可把理想气体的物态方程，v表为p( z)rt ( z)( z)( z)mp ( z)m， 和于是(1)式变为rt ( z)dp ( z)mgp( z)dzrt( z)(2)(iii) 现考虑理想气体的准静态绝热过程：dt( z )tdp( z )从dzpsdz(3)知，下面的任务是要求关于tps 的表达式。由热力学第一定律及物态方程，在绝热过程中dqcv dtpdvcv dtrt dv0v(4)由 pvrt, 有pd

19、vvdprdt,两边除以 pvrt,得dvdtvtdp prcpcpcv 和 (5)将(5)式代入 (4)式，注意到cv则得dt1 dptpt1 t或psp(6)把(2)或和(6)式代入 (3)式，得dt( z) dz1mg . r(7)式中1.41, m29g / mol , g980cm / sec2 所以(1)mg / r0.4129980/(1.418.3107)1.0010 4(deg/ cm)o10.0 deg/km即每增加 1 千米，温度约降低 10 c.1.15 热泵的作用是通过一个循环过程将热量从温度较低的环境传送到 温度较高的物体上去。 如果以理想气体的逆卡诺循环作为热泵的

20、循环过程， 热泵的效率可以定义为传送到高温物体的热量与外界所作的功的比值。试 求热泵的效率。如果将功直接转化为热量而令高温物体吸收，则“效率” 为何？"" 答：热泵效率1t2t1t2;后者为 1。见教材第一章 1.9 理想气体的卡诺循环1.16 假设理想气体的 cp 和 cv 之比是温度的函数，试求在准静态绝热过程中 t 和 v 的关系。该关系式中要用到一个函数f(t)，其表达式为ln f( t )dt(1 ) t解：在准静态绝热过程中，c v dtpdv0 ,因 为 pvrt , 故得c v dtrtdv0 , 或 c vdtdv01dt或1 tvdv0 vrtvr1cv

21、(1)上式积分后，得dtln vln c(1)t(2)讨论：当 为常数时，则 (1)式经积分后，得lntlnv 1lnc1即有tvc1.17 利用上题的结果证明：当 为温度的函数，理想气体卡诺循环的效率仍为1t2 .t1p (t 1,p1,v 1)q1 (t1 ,p2,v 2)q2 (t 2,p4v 4)0图 1.18 (t 2,p3,v 3) vq1证明：如图 1.18 所示，：吸热v 2rt1 lnv1q2 :放热rt2ln v3v4在整个循环过程中，对外所作的功为wq1 q2v 2rt 1 lnv 1v 3rt 2 lnv 4(1)对于状态和有下面关系f (t1 )v1f (t2)v4(

22、2)对于状态和，有下面关系f ( t1 )v 2f ( t 2 )v 4(3)(3)式除以 (2) 式，即得w代入到 (1) 式，则得v 2v1r(t1v3 v 42t ) ln v2v1(4)(5)r(t1wv2t2 ) lnv11t2 .q1rt1所以ln v2t1v11.18 试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。证明：我们用反证法来证明。如图 1.18-1 所示。假设两条绝热线 s1 和 s2 相交与 c 点。今考察一条等温线 t，它与两条绝热线分别相交于 a 点和 b 点（这样一条等温线总能找到，因为等温线得斜率总比绝热线的斜率为小）。我们可以把过程abca 认为是可逆循环，在

23、这个循环中，仅在等温过程 ab，系统从外界吸热 q；系统对外界作的功， 其量值等于面积 abc. 这就意味着， 在此循环过程中， 从单一热源吸收的热量完全转变为功而不因起其它变化。这是违反热力学第二定律的卡尔文说法的。结论是，两条绝热线不能相交。又，若两条绝热线s1 和 s2，如图 1.18-2 所示那样相交于 c，我们作等温线 t 构成一个循环，则会得出更为荒谬的结果： 它不断对外作功 （正循环），又不断对热源放热。 这不仅不符合热力学第二定律，而且也违背热力学第一定律，所以两条绝热线是不能相交的。ps1qs2ps1s2tabc0v图 1.18-1atbc0图 1.18-2v1.19 热机在

24、循环中与多个热源交换热量。 在热机从其吸收热量的热源中，热源的最高温度为 t1 . 在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温度为 t2. 试根据克氏不等式证明，热机的效率不超过证明：根据克劳修斯不等式，我们有1t2 .t1dq1 (a ) t (外)dq1所以(a ) t (外)dq20.( b) t (外)dq2 (b) t (外)(1)其中，热机在过程 (a)的元过程中吸收热量（dq10 ），而在过程 (b)的元过程放出热量 ( dq20是放出热量的量值 )。如果 t1 是过程 (a)中， t(外)的最大值； t2 是过程 (b)中， t(外)的最小值，那么从 (1)是，我们有q1q 2

25、或 q 2t 2t1t2q1t1(上式等号适用于仅有两个热源并且过程是可逆的情况) 对外界所作的功 wq 1q 2w所以q11 q2q11t2 .t11.20 理想气体分别经等压过程和等容过程， 温度由 t1 升至 t2. 假设 是常数，试证明前者的熵增为后者的 倍。证明：理想气体在准静态过程中，有dqc v dtppdvc p dtv d p(1)在等压过程中，熵增为2( s)t2 cpdtct dtc lnt2pt1tp t1tt1(2)p在等容过程中，熵增为t 2t 1( s)t1 cvdtct2 dtc ln t20图 1.20vt1tv( s)pcpv t1tvt1(3)证明上式的另

26、一方法是： 对于理想气体，我们已知故( s)vcv(若 cp 和 cv 是常数)s( t ,v )cv ln tnr ln vs0s( t , p )c p ln tnr ln ps0将上两式分别用于等容和等压过程，可得(s) pt2c p lnt1c p.(s) vt2cvcv lnt1o1.21 温度为 0oc 的 1kg 水与温度为 100oc 的恒温热源接触后，水温达到 100oc。试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。欲使整个系统的熵保持不变，应如何使水温从0oc 升 至 100c? 已知水的比热容为4.18jg 1k 1.解：题中的热传导过程是不可逆过程，要计算水和热源的熵变

27、，则必 须设想一个初态和终态分别与题中所设过程相同的可逆过程来进行计 算。要计算水从 0oc 吸热升温至 100oc 时的熵变，我们设想一个可逆的等压过程：373mc水dts mc ln 37310004.180.3121304.6j k 1水273t水 273对于热源的放热过程，可以设想一个可逆的等温过程：q放s热源10004.18(373273)120.6 jk 1ts s3731s1 8 4jk总水热源在 0oc 和 100oc 之间取彼此温度差为无穷小的无限多个热源，令水依次与这些温度递增的无限多个热源接触，由0oc 吸热升温至 100oc，这是一个可逆过程，可以证明s热源s水，故s总

28、 s水s热源01.22 10a 的电流通过一个 25 的电阻器，历时 1s. (i) 若电阻器保持为室温 27oc，试求电阻器的熵增。 (ii)若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为 27oc，电阻器的质量为 10g，比热容 cp 为 0.84 jg熵增为何？k 1 , 问电阻器的解： (1) 若电阻器保持一定温度，则它的状态不变，而熵是状态的函数，故知电阻器熵增为零，即s0 .我们也可以这样考虑，电功转变为热，传人电阻器，同时此热量又由电阻器流入恒温器 (比如是实验室 )。因此，传入电阻器的净热量为零，故有s0 .(2) 在这过程中，有电功转变为热，是不可逆过程。因为熵是态函数，我们设想一个是

29、电阻器等压加热的过程来计算熵增。电阻器终态的温度为 tf，有 q=mcp(tf-ti), 及q0.24i2rt0.2410 2251600(cal )t600f300600( k )得100.2tf mcpdtstittfmcp lnti10 0.2ln 6003001.386(c a l/ k)1.23 均匀杆的温度一端为t1 ，另一端为 t2. 试计算达到均匀温度11 (t2t2 )后的熵增。解：当热力学系统从一平衡态经历了一个不可逆过程到达另一平衡态时，其熵的改变可引入一个适当的可逆过程而进行计算，这是因为熵是态函数。而本问题中，杆是从一非平衡态经历了热传导的不可逆过程，而到达一个平衡态

30、。因此，设想下述可逆过程：把杆当作是无数无限薄的小段组成，每一个小段的初温各不相同，但都将具有相同的终温。我们再设想所有的小段互相绝热，并保持同样的压力，然后使每小段连续地跟一系列热源接触，这些热源地温度由各段的初温度至共同的终温度。这样就定出无数个可逆的等压过程，用来使该杆由初始的非平衡态变化到平衡态的终态。我们考虑长为 l 的均匀杆，位于 x 处的体积元的质量为dma d x其 中 及 a分 别 为 杆 的 密 度 及 截 面 积 ， 该段 的 热 容 量p dmcpad x最初的温度分布是线性分布的，而使x 处的初温为t ( x)it1t1t2 x l若无热量损失，并且为了方便起见，假设

31、各小段的热传导率、密度和热容量都保持不变，则终温tt1t 2f2该体积元的熵增为adxtf dttitc p adxlntfticpadxlntftt1t2 xt1vp adxln(tft1t2ltf1l沿整个杆积分，得熵的总变化等于lsct 1paft 1ltt l0ln(tx ) dxf利用积分公式ln( abx )dx1 (a bbx ) ln( abx)1经积分并化简后，得到t2t1t1 t2t1lnt1s mcp(1 lntflnt2lnt1)mcp(lnt1 t2t1 t22t1t2 lnt2t21).为ccpx)1.24 根据熵增加原理证明第二定律的开氏表述，从单一热源吸收热量使

32、之完全变成有用的功而不引起其它变化是不可能的。证明：假设有一个温度为 t 的热源，一热机在循环过程中从这个热源吸收热量 q，并把此热量 q 全部转化为机械功输出。显然，热源和热机合起来成为一个绝热系统，在上述循环过程中，热源的熵减少了q/t，而热机的工作物质的熵不变。这样一来，整个绝热系统的熵减少了，这违反了熵增加原理。因此，热机从单一热源吸热并全部转化为功的过程是不可能的。这个例子表明，热力学第二定律的开氏说法也包括在熵增加原理这一更普遍的表述中。1.25 物体的初温 t1 高于热源的温度t2. 有一热机在此物体与热源之间工作，直到将物体的温度降低到 t2 为止。若热机从物体吸取的热量为 q

33、， 试根据熵增加原理证明，此热机所能输出的最大功为wm a xqt2 (s1s2 ) 其中 s1-s2 是物体的熵减少量。证明：热机工作若干循环后从物体吸热q，对外界做功 w，放出热量 q-w 到 t2 ,此时复合系统 (物体、热机和热源)的熵变：物 体 t 1qwq-w(1) (1)物体熵的变化 s2s1 ;热 源 t2图 1.25(2) (2)热机工作物质熵的变化为 0， 因为作若干循q环后w，物质恢复原(3) 热源熵来的状变态化；t 2复合系统为一绝热系统，按熵增加原理，有qws2s1t20t (s即2s1)qw对于可逆过程，上式取等号，即得wmax qt 2 ( s1s 2 ).w m

34、ax 即为此热机所能输出的最大功。1.26 有两个相同的物体，热容量为常数，初始温度同为 ti. 今令一致冷机在此两物体间工作，使其中一个物体的温度降低到 t2 为止。假设物体维持在定压下，并且不发生相变。试根据熵增加原理证明，此过程所需的wm i n2ticp (t22ti )最小功为t2证明：把两个物体和制冷机看成为一个绝热系统，则按熵增加原理有ss1s2t1dts制冷机cptitt2 cdt0ptitsc (ln t tln t 2 )0即p1 22t1tii/ t2(1)(2)又，根据热力学第一定律，有q1q2wt1c p dt即titic p dtwt2积分上式，并经整理后，得wc

35、p (t1t22ti )(3)把(2)式代入 (3)，得wc (t 2 /tt2t )pi22i(4)当制冷机作可逆循环时，式中取等号，制冷机作的功最小：it 2wm i nc p (t2t22ti )(5)1.27 简单系统有两个独立参量。如果以t,s 为独立参量，可以纵坐标表示温度 t，横坐标表示熵 s，构成 t-s 图。图中的一点与系统的一个平衡态、一条曲线与一个可逆过程相应。试在图中画出可逆卡诺循环过程的曲 线，并利用 t-s 图求卡诺循环的效率。tt1q2t 1t 234q0ss1s2图 1.27解：由两条等温线和两条绝热线构成的卡诺循环1234 1，在 t-s 图上，就由图 1.2

36、7 所示。其中 12 是等温过程，由于在此过程中，物质吸热，所以熵是增加的。 34 也是等温过程，由于在此过程中，物质放热，所以熵减小。过程过程。在过程 12 中，物质吸收的热量223,4 1 是绝热的等熵q1 为q11t1dst1( s2s1 )在过程 34 中，物质放出的热量q2为4q23t 2 dst 2 ( s 3s 4 )t 2 ( s 2s 1 )所以卡诺循环的热机效率为q 1q 2q 11q 21t2 ( s2q1t1 ( s2s1 )s1 )1t 2t1在计算热机循环的效率时，应用t-s 图比用 p-v 图更为方便，这就是在热工计算中广泛采用 t-s 图的原因。v1.28 由

37、物 态 方 程f (p,v ,t )t0 证 明 ： (v )( pp )(t )1tvptvtvptf (p,v ,t )0pp(v ,t )dp(p )dv v(p )dt t设dp0(p ) v(p )(t ) tv(v ) ( pp )(t )1 tvvp第二章 均匀物质的热力学性质2.1 温度维持在 25 0c,压强在 0 至 1000atm 之间，测得水的实验数据v如下：t3= (4.5101.41036p)cm1molk若在 25oc 的恒温下交水从 1atm 加压至 1000atm，求水的熵增加从外界吸收的热量。v()解：（ a）把题中的t(v )pp写成下面的形式：tabp(

38、而sp2 ( ss)t(pp2( v) dpv) ptp2(a bp)dpa( pp )1 b( p2p2)t dpp1ppp1tp121212将题中所给数据代入上式，并注意1atm=101325pa 算, 得s0.527 j11molk。(b)qts298(0.527)157jmol 1 。2.2 已知在体积不变时，一气体的压力正比与其绝对温度。试证明在温度保持不变时，该气体的熵随体积而增加。tv解：已知 pf (v )t，其中比例系数 f(v)>0, 它仅是 v 的函数，今要证t(s )明 v0。根据麦氏关系，有(s ) v(p ) tf (v )0因此即的证明。2.3 设一物质的物

39、态方程具有以下的形式： p=f(v)t 试证明内能与体积无关。解：根据(u ) vtt ( p )pt vt(u ) vt (p ) tptft( v ) tvptf( v )p0vh(s )2.4 求证：（1）p0 ; ( 2 )(s)0uvh(s )v0证明: 由 dh=tds+vdp, 令 dh=0,得pt(s )(因为 v>0,t>0)p0由 dutdspdv, 令 du0, 得 v ut(因为 p>0,t>0)t(u)2.5 已知vu0t0 ,求证pt(u )证明:已知v0 ,所以uu(ptvv) t() t0p。2.6 试证明,一个均匀物体在准静态等压过程中

40、熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减。证明：这可以由压力不变下，熵对体积的偏导数svv 的符号证明之。1就定压膨胀系数vsvtv 而论，选 t,p 为独立变量是方便的，于是问题就归结于把vp 中的独立变量（ v， p）变换到独立变量（ t， p）。这可采用下面两种方法来做。pscsvp（i）s tt pvtptvvtps因对均匀物体，cp >0;而 t0,及 v0,所以v p 的符号与的符号相同.即在准静态等压过程中熵 s 随体积 v 的增减取决于温度随体积的增减。（ii ）ss, ps, pv, psvcpv pv, pt, pt, ptptptv2.7 试证明，在相同的压力降落下，气体在准