2013考研数一真题及解析

1、2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1 )已知极限lim x-arctanx二c，其中c,k为常数，且c = 0，则 7x(A) k=2,c=(B )k=2,c = 2211(D )k=3,c= 33(2)曲面x2 cos(xy) yz x = 0在点(0,1, -1)处的切平面方程为(x-yz = -2( B) x y z = 2(C)x2y z = -3( D ) xy_z=0(3)设 f (x)=,bn =2 J f (x)sin n兀 xdx

2、(n = 1,2,.),令 Sx)oL°,则 S(_)=4()(A) 3 (4(4 )设 h :x2 y 2 =i x©42 2y 专*3为四条逆时针的平面曲3线，记 Ii (y y )dx (2x-：)dy(i =1,2,3,4)，则P 63max 兀右禺厶=( 丿11( B ) I 2 ( C ) I 3 ( D ) I 3(5)设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若AB =C,则B可逆，则(A )矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价(B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价(C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价(D)矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价Z1a 1

3、2 0 0(6)矩阵aba与0 b 0相似的充分必要条件为J a 1丿卫 0 0 ,(A) a=0,b=2(B ) a=0,b为任意常数(C) a=2,b=0(D) a=2,b为任意常数(7 )设 Xi, X2, X3 是随机变量，且 XiN(0,1) , X2N(0,22), X3N(5,32),CjiZI占 /八1Pj 二 P2 乞 Xj 乞 2( j =1,2,3),贝"()I I /'' I .z' ' 1(A) PAP2AB(B) EaRaPsI 1 I B I(C) P3>P>P2( D ) P=P3> 巳(8 )设随机变

4、量 X t(n)，丫 F(1,n),给定 a(0 ： a ： 0.5),常数 c 满足 P X a ,则PY c2=()(A) ：( B)(C) 2：( D) 1-2：二、填空题：9 -14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸 指定位 置上.(9) 设函数 f (x)由方程 y _x =ex(1_y)确定，则 lim n(f (丄)T) =.nn(10) 已知y1 =e3x -xe2x， y? =ex -xe2x， y -xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方、 r I程的3个解，该方程的通解为 y=.(11) 设lx""* (t为参数)，则豊厂.y=tsint+

5、costdx t(12)二(1 x)2(13 )设A =(aij)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式,若 aj +Aj =0(i,j =1,2,3),则 A =(14 )设随机变量 Y服从参数为 1的指数分布,a为常数且大于零，则P Y 兰 a + 1 | Y a s=。三、解答题：15 23小题，共94分请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分)计算(乎如其中f (x) = fln(y1)dtI / , '1(16) (本题满分10分)门 "J心宀0设数列an满足条件：a。=3®

6、; =1卫2 - n(n - 1)a0(n 一 2), S(x)是幕级数anxn的和 n -0函数， ,'i .(I) 证明：S(x)-S(x)=O,(II) 求S(x)的表达式.(17 )(本题满分10分)_ X /| |3求函数f(x,yH(y x )ex y的极值.3(18 )(本题满分10分)设奇函数f(x)在-1,1上具有2阶导数，且f(1) = 1,证明：(I) 存在：(0,1),使得 f'( ) =1(II) 存在 -1,1，使得 f''(厂 f'( )=1(19 )(本题满分10分)设直线L过A(1,0,0), B(0,1,1)两点，将L

7、绕Z轴旋转一周得到曲面 二二与平面z=0,z = 2所围成的立体为门，（I）求曲面匕的方程（II）求门的形心坐标.（20 ）（本题满分11分） 设0）吒bj，当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC5B，并求所有矩阵C。（21）（本题满分11分）设二次型2 2f X1,X2, X3 =2 X1 82X2 83X3亠 lbX1 b2X2 thX3 ，（I）证明二次型f对应的矩阵为2：；（II ）若正交且均为单位向量，证明二次型 f在正交变化下的标准形为二次型 2y2 y2（22 ）（本题满分11分）, II-r1 2（2 x,x 0 * x * 3设随机变量的概率密度为f （x） = 4，令随机变量

8、Y = x 1 ： x ： 2,10其他J x2（I ）求Y的分布函数（II ）求概率PX乞丫（23 ）（本题满分11分）卩2书设总体X的概率密度为f x = 7° ' x 0,其中r为未知参数且大于零,【0,其它X1,X2,川Xn为来自总体X的简单随机样本.（1 ）求r的矩估计量；(2)求二的最大似然估计量.2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. (1)【答案】D133.x_(x x +o(x )x -arcta nx3【解

9、析】lim k =lim313-x=limx >0 xk=c, k = 3,c=】3(2)【答案】A【解析】设 F (x, y,z) =x2 cos(xy) yz x ,则 Fx(x, y, z) =2x - ysin(xy) 1= Fx(0,1, -1) =1 ；Fy(x, y,z)二-xsin(xy) z= Fy(0,1,-1) = -1 ；Fz(x,y,z)二 y二 Fz(0,1, -1) =1,s II所以该曲面在点(0,1,-1)处的切平面方程为x-(y-1) (z1) = 0 ,化简得x -，y z = -2，选A(3)【答案】C【解析】根据题意，将函数在-1,1上奇延拓f(

10、x)二1x 2x 一20 x 1，它的傅T ： x ： 0里叶级数为S(x)它是以2为周期的，则当X，(-1,1)且f(x)在x处连续时,991111S(x)二 f(x)，因此 S(-)二S(- 2) = S(- )二-S()二-f (厂444444(4)【答案】D3 3【解析】h 屮（y 蒼）dx （2xt）dy（i =1,2,3,4）利用二重积分的几何意义，比较积分区域以及函数的正负，在区域DD4上函数为正值，则区域大,积分大，所以I4 11，在D4之外函数值为负，因此I4 I2,I4 I3， 故选D。（5【答案】（B）【解析】由C = AB可知C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，又B

11、可逆,故有A=CB，从而A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，故根据向量i-7组等价的定义可知正确选项为（B ）。2 0 0'" (1 a 1 0 b 0相似的充分必要条件为abae 0 0丿_ X, |J a 1丿又E _ A-1_a -1-1_a-a1 -b-1 a的特征值为2,b,0。二 ( -b)( -2) -2a2，从而 a =0,b为任意常数。Z1 a 1 '71 q a 1 【解析】由于aba为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而abaJ a 1丿-JJ a 1丿（6）【答案】（B）与（7）【答案】（A）【解析】由 XJJN 0,1 ,X2_N 0

12、,22 ,X3_N 5,32 知,口 = p-2 % M2 = PqX1|M2=26(2)T，p2 =P2 兰X2 兰2=pIx2 兰2 = 2(1 )1，故 5 > P2.由根据X3LI N 5,32及概率密度的对称性知，P1 P2 P3，故选（A）（8）【答案】（C）【解析】由X t(n),YF(1,n)得，丫 =x2，故>Y2 ? P 2 X 或 c?2 ： P -Xc=Xca9.【答案】1【解析】f(x)-1X二 f (0)由 y-x=eX2),当 x =0时，y =1>IZ方程两边取对数ln( y - x) = x(1 - y)'I 3 /i戚 两边同时对x

13、求导，得一1(y"-1 )= (1 - y)-xy"y x三I仃将x =0， y =1代入上式，得(0)=1(10)【答案】y =Ge3x C2ex-xe2xl-. v yj |k*【解析】因y-e3x-xe2x，y2二ex-xe2x是非齐次线性线性微分方程的解，则yy二e3x -ex是它所对应的齐次线性微分方程的解，可知对应的齐次线性微分方程的通解为yp二Ge3xC2ex，因此该方程的通解可写为y 9e3x C?/ -xe2xdy _ t cost _t ，dx cost(11)【答案】-2【解析】 业=sin t +t cost -sin t = t cost,= co

14、st， dtdt上=1,所以必=丄，所以与dtdx2 costdx(12)【答案】ln2【解析】,1:In x(1x)21In xdx - - In xd ()=(13) 【答案】-1【解析】(14) 【答案】2e2【解析】由xLn 0,1及随机变量函数的期望公式知E Xe2Xxe2x-be =xe 2 -j'dx.(15 )【解析】xl n(t +1) 0 "：)dx° t1 -0dtdx1 1 1"xdxx3dt t(16)【解析】(I)设 S(x) =anXnn =0adS (x)八 ann xn Jn =1QOS (x)八 n(n - 1)xn，n

15、=2因为 an -n(n -1)anoOoO0，因此 S"(x)=7 ann(n-1)xn°=7n=2oOn_2nan xS(x)；n=0(II )方程S(x)-S(x)=O的特征方程为2-仁0，解得 ”一1,十1，所以 S(x)=Cie Qex，又 a0 = S(0) = 3 = g c2 = 3， a- = S (0) = 1 = c1 - c2 =1 ，解得 C1 =2,C2 二-1，所以 S(x) =2e-ex。1732 x -y x x “yfx =x e +()e F33 fy、exy (y ；)exy解得(1,-：),( 一1，一2)，331【解析】3=(x2

16、+y+ )ex y = 033= (1+y+；)ex y =0对于冷)点,A=3e,B 二e3,C1=e3 i =AC_B20,A 0,(1-4)为极小值点极小值为5对于(一1,一2)， A = e = B=e3c re JAC B2 ：0，不是极值.(18)【解析】(1)令 F(x) = f(x)-x,F(0) = f(0) =0,F(1)= f (1)T = 0,则0,1 使得 F'(J=O,即f'(J=1(2) 令 G(x)二 ex(f'(x) -1),则 G( )=0,又由于f(x)为奇函数，故f'(x)为偶函数，可知G(-)=0,则匚1,1 使 G&#

17、39;)=0,即 e f '( ) -1 e f''( )=0，即 f ”( ) f '()=(19 )【解析】(1 )1过A,B两点，所以其直线方程为x-1 y-0 z-0 x=1-z=二 5ly=z所以其绕着z轴旋转一周的曲面方程为:in zdxdydz(2)由形心坐标计算公式可得z二上ill dxdydz2：2 dzzrdzJ。了(1-Z)七2 2 0 L(1 一 z)5，所以形心坐标为(0,0, 7)5(20 )【解析】由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设C =X2，贝卩由AC -CA二B可得线性方程组:一 x2 + a% = 0(1 )-a% + x2

18、+ axq = 1X -X3 -X4 =1x2 axg =b由于方程组(1 )有解，故有1 a = 0,b T -a = 0，即a = T,b =0,从而有'0_1a00 'Z10-1-1pr-a10a101100:101-11T00000，故有彳<01-a0b丿<00000丿I捲=Kk2 1x2八k1,其中 k,、k2任意.X3 *2X4 *从而有Cki + k2 +1ki-k1k2(21 )【解析】（1）广 2 a； +b；2a1ab1b223+133 '，Z a；aa 2a1a3 b12b-|b2bg '则f的矩阵为2a1ab1b22af +bf2a2a3 +b2b3=2a a?2a2a2a3+b-|b2b；b2b3<2a1ab1b32a2a3 +b2b32a； +b；,a1 a3a2a3