(完整)中南大学2013年高等代数

1、中南大学2013 年硕士研究生入学考试试题（ 883 高等代数）一、（ 16 分）设1 , 2 ,L ,n 是 n 个 (n2) 互不相同的整数 .证明：f ( x)( xa1) L ( xan )1不能表示成两个次数大于零的整系数多项数之积 .二、（ 16 分）计算 n 阶 n2 行列式100L0k1C210L0k 2Dn1C31C32L0k 3LLLLL其中 k 为正整数。L1Cn1 1Cn2 1LCnn 12k n 11Cn1Cn2LCnn 2k n三、（ 14 分）设 A(a1, a2 ,L , an ) 是数域 F 上的一个 m n 矩阵，对 A 施行若干初等行变换后得到矩阵B(b1

2、 ,b2 ,L , bn ) 。证明：1.向量组 a , a ,L , a中的向量aj 1,a j 2 ,L , ajk线性无关的充要条件是12n向量组 b1 ,b2 ,L, bn 中的向量 bj 1, bj 2 ,L, bjk 线性无关；2.向量组 a1, a2 ,L , an 中的向量 ai , ai1 , ai 2L , air满足aik1ai1k2 ai2Lkr air (k1, k2 ,L , krF ) 的充要条件是向量组b1 ,b2 ,L ,bn 中的向量 bi , bi1 , bi 2 L ,bir 满足 bik1bi1k2bi2 Lkr bir。四、（ 16 分）设 mn 矩

3、阵 A 的秩为 r。1.证明：存在 m 阶可逆矩阵 P和 n 阶矩阵 Q，使得 PAQEr0，00其中 Er 为 r 阶单位矩阵；2.证明：存在 m r 矩阵 B 和 rn 矩阵 C，使得秩 B=秩 C=r且 A=BC；3.设计一个用矩阵的初等变换求1.中 P 与 Q 的方法。五、（ 14 分）设 A,B 分别为 m n 和 nm 矩阵，满足 ABA=A，b 是一个m 维列向量。证明： 方程 Ax=b 有解的充要条件是 ABb=b，且在有解时，通解为 x Bb (En BA) y ，其中 En 为 n 阶单位矩阵， y为任意 n 维列向量。六、（ 22 分）设 A 为 n 阶实对称矩阵， B

4、为 n 阶实对称正定矩阵。记1.BA0 的 n 个根为1,2 ,L,n 。证明：1 ,2 ,L, n 都是实数；存在n的一组基 x1 , x2 ,L, xn ，使得对一切 i，j 有2.RAxii Bxi 及 xiT Bxj1,ij ；0,ij3.max xT Axmaxi且 minxT Axmini。nT1 i nnT1 i nxx R0x Bxx x R0x Bx七、（ 20 分）设 V 是数域 F 上 2 阶方阵全体所构成的线性空间，A12。定义 V 的线性变换如下： (X) AX XA,X V 。031.求的值域与核的基与维数；2. 是否可对角化？若可对角化， 求 V 的一组基，使 在该组基下的矩阵为对角形。八、（ 16 分）设 M 是 n 维欧式空间 V 的一个子空间， ( , ) 是 V 的内积，V，记|(,)。证明：V，存在唯一0M，使得0min | 。M九、（ 16 分）设 V 是实数域 R 上 n 阶方阵全体所构成的线性