第五节两个重要极限 ppt课件

1、第五节第五节 两个重要极限两个重要极限一一0sinlim1xxx xy01xsin xx1 0.5 0.05 0.01 0.001 0.841470.958850.999580.999980.99999980sinlim1xxx 于是得到第一个重要极限：于是得到第一个重要极限： 显然显然0lim1sinxxx 00“ ”未未定定式式0 xxsin ( )lim1( )u xu x 推广形式为：假如推广形式为：假如 ，或，或 时，时， ，那么，那么x ( )0u x 020202sin5sin(36)2tan1 lim2 lim3 lim2sin35624 lim(5)limlimsinsin2

2、sin(2)xxxxxxxxxxxxxxxxxxx （）； （ ）；（ ）； （ ） ； ； ( (6 6) )例例1:1:求下列极限求下列极限解解: :00sin5sin51 limlim55xxxxxx （）1 55 22sin(36)sin3(2)2 limlim22xxxxxx （ ）2sin3(2)lim33(2)xxx 1 33 02tan3 limxxx（ ）0sin2limcosxxxx 0sin12limcosxxxx2 1 12 0sin34 limsin2xxx（ ）331 122 2256(5)limsin(2)xxxx 2limsinxxx(6)(6)2(2)lim(

3、3)sin(2)xxxx 1 ( 1)1 2sinlim22xxx2 0tan2limxxx 0sin323lim3sin22xxxxxxx 2(2)(3)limsin(2)xxxx 2sinlim1xxx 二第二个重要极限二第二个重要极限1lim(1)xxex 1 未未定定式式204060802.552.62.652.7xye1lim(1)xxex1(1)xyxe-100-80-60-40-202.752.82.852.92.953.05xy1lim(1)xxex1lim(1)xxex 1(1)xyx10lim(1)xxxe即即1 未未定定式式有有两两种种形形式式11lim(1)xxeuxx

4、在在中中，令令，则则变变形形为为10lim(1)uuue011lim(1)xxex10lim(1)xxxe0 02 2都称为第二个重要极限都称为第二个重要极限 00 xxxu x 如如果果当当或或者者时时，那那么么 1lim 1u xu xe第二个重要极限可以推广为以下形式第二个重要极限可以推广为以下形式: 1sin0lim 1sinxxx 如如 sinu xx 这这里里0( )sin0 xu xx 当当时时， 1sin0lim 1sinxxxe 为了计算的方便，上述推广的结果还可以进一步推广为：为了计算的方便，上述推广的结果还可以进一步推广为： lim 1Av xu xe则则 00limxx

5、xu xu x v xA 如如果果当当或或者者时时，并并且且，32122(1)lim 1;(2)lim 1;(3)lim2xxxxxxxxxx 例例2 ： 求下列极限求下列极限解解: :（1这里这里 1,u xv xxx 1( )0 xu xx 当当时时， limxu x v x1limxxx1 11lim 1xxex 这里这里 2,3u xv xxx 2( )0 xu xx 当当时时， limxu x v x2lim(3)xxx2 322lim 1xxex 32(2)lim 1xxx 22(3)lim2xxxx 224lim2xxxx 24lim 12xxx 这里这里 4,22u xv xx

6、x 4lim22xxx 8 limxu x v x282lim2xxxex 课堂练习课堂练习求下列极限求下列极限22010sin5sin(1)sin7(1)lim;(2)lim;(3)limsin317xxxxxxxxxx 252013(4)lim 1;(5)lim 1;(6)lim 12xxxxxxxxx limu xv x00 ,u xxv xx 且且，则则有有 limlimu xxv xx 等价无穷小代换法则：假设等价无穷小代换法则：假设 为为 型未定式极限型未定式极限即即 型未定式在求极限时，可将分子分母用等价无穷小型未定式在求极限时，可将分子分母用等价无穷小00替换后再求极限。替换后

7、再求极限。三利用等价无穷小代换计算三利用等价无穷小代换计算 未定式的极限未定式的极限0 0两个无穷小量两个无穷小量 ， 之比的极限之比的极限 称为称为 型型未定式极限未定式极限 u x v x limu xv x0 0 1000ln 11limlimln 1limln 11xxxxxxxxx 例如例如01lim1xxex 可可以以证证明明0sinlim1xxx 0sinxxx当当时时，0ln(1) xxx 当当时时，01 xxex 当当时时，需要记住的等价无穷小量有：需要记住的等价无穷小量有：0 x 当当时时sinxxtanxxln(1) xx 1 xex 22xaxaa 0sin5(1)li

8、msin7xxx例例3 ： 求下列极限求下列极限0sin5 5 ,sin7 7xxxxx时时，05lim7xxx 57 0ln(13 )(2)limtanxxx 0ln(13 ) 3 ,tanxxxxx 时时，03limxxx 3 201(3)limln(12 )xxex 201 2 ,xxex时时，02lim2xxx 1 ln(12 )ln1( 2 )2xxx 011(4)limxxx 011 2xxx时时，02limxxx 12 039(5)limxxx 202xxaxaa时时，023limxxx 16 2033limxxx 20ln(13)(6)limxxx 220ln(13) 3xxx

9、时时，203limxxx 0lim30 xx 课堂练习课堂练习利用等价无穷小代换求下列极限利用等价无穷小代换求下列极限22030sin5sin(3)7(1)lim;(2)lim;(3)limtan39sin2xxxxxxxxxx 22sin20011ln(14 )(4)lim;(5)limsin1xxxxxxe 第六节第六节 函数的连续性函数的连续性 许多变量的变化都是连续的。如气温随着时间的变化，许多变量的变化都是连续的。如气温随着时间的变化，一般地，气温不会在极其短暂的时间内由一般地，气温不会在极其短暂的时间内由2C突变到突变到20C。由由2C变到变到20C必然要经过一个时间过程，并且不是

10、一个很必然要经过一个时间过程，并且不是一个很短的过程。短的过程。 自然界中连续的现象还有很多，抽象到数学上来可以描自然界中连续的现象还有很多，抽象到数学上来可以描述为：对函数述为：对函数 ，当自变量，当自变量 的改变量非常微小时，相的改变量非常微小时，相应函数值的改变量也非常微小，且随着自变量的改变量趋于应函数值的改变量也非常微小，且随着自变量的改变量趋于零，函数值的改变量也趋于零。零，函数值的改变量也趋于零。( )yf x x( )yf x 从几何上讲，函数从几何上讲，函数 在点在点 连续，就是曲线连续，就是曲线 在点在点 不间断，即当横坐标不间断，即当横坐标 从从 的左右两侧无限趋的左右两

11、侧无限趋于于 时，纵坐标时，纵坐标 无限趋于无限趋于 处的纵坐标处的纵坐标 ，如下图所示，如下图所示( )yf x 0 x0 x0 xx00(,()xf x0 xy0()f x0 xxy( )yf x 00(,()xf x00()yf x 一函数连续的概念一函数连续的概念定义：设函数定义：设函数 在在 附近有定义附近有定义, ,如果当如果当 时，函时，函数数 的极限存在的极限存在, ,且等于它在点且等于它在点 处的函数值处的函数值 , ,即即)(xf)(xf0 xx 0 x)(0 xf)()(lim00 xfxfxx )(xf0 x那末就称函数那末就称函数 在点在点 连续连续. .0 x fx

12、0 x函数函数 在点在点 连续必须同时成立以下三个条件：连续必须同时成立以下三个条件：0 x1在点在点 有定义，即有定义，即 存在；存在； 0fx 0limxxfx2 存在，即在存在，即在 有极限；有极限；0 x 00limxxfxfx 3极限值等于函数值，即极限值等于函数值，即 f x0 x 如果函数如果函数 在点在点 不能同时满足以上三个条件，则不能同时满足以上三个条件，则称函数在点称函数在点 连续，或称函数在连续，或称函数在 不连续。不连续。0 x0 x例例1：讨论函数：讨论函数 在在 的连续的连续性性sin xyx 0 x 解：解：因为函数因为函数 在在 没有定义没有定义sin xyx

13、 0 x 所以函数所以函数 在在 不连续。不连续。sin xyx 0 x 例例2: 2: 讨论函数讨论函数 在在 处的连续性处的连续性 12,1,1xxxfxex 1x 解：解：(1)123f 1limxfx 1limxfx 1lim23xx 11lim1xxe 1lim( )xf x不不存存在在1x 故该函数在故该函数在 处不连续处不连续有定义有定义2222lim( )lim2xxxxf xx 例例3: 3: 讨论函数讨论函数 在在 处的连续处的连续性性 222232xxxfxxx 2x 解：解：(2)3f 有定义有定义2(2)(1)lim2xxxx 2lim(1)xx 3 (2)f 2x

14、故该函数在故该函数在 处连续处连续有时还需要用到函数在某一点单侧连续的概念有时还需要用到函数在某一点单侧连续的概念 000)lim(xxfxffxxx 如如果果，则则称称在在点点 处处左左连连续续 000)lim(xxfxffxxx 如如果果，则则称称在在点点 处处右右连连续续例如：函数例如：函数 在点在点 右连续，右连续，21yx1x 1x 在点在点 左连续左连续11 21yxxy例例4:4:.0, 0, 0,cos)(,处处连连续续在在函函数数取取何何值值时时当当 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(a

15、f 00lim( )lim( )(0),xxf xf xf要要使使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf, 1 a二间断点及其分类二间断点及其分类函数的不连续点称为间断点。函数的不连续点称为间断点。如函数如函数 在在 不连续，所以间断点为不连续，所以间断点为sin xyx 0 x 0 x 一般地，函数没有定义的点是间断点，极限不存在的点一般地，函数没有定义的点是间断点，极限不存在的点也是间断点，极限值不等于函数值的点仍是间断点。也是间断点，极限值不等于函数值的点仍是间断点。-11231234211xyx 21,11xyxx 在在无无定定义义1x 是是其其间间断

16、断点点21(1)yx oxy1211(1)yxx 在在无无定定义义1x 是是其其间间断断点点,0,( )1,0,xxf xxx 函函数数(00)0,f, 1)00( f0(00)(00),lim( )xfff x 不不存存在在0.x 为为函函数数的的间间断断点点oxy1,1( )11,1xxf xxx 函函数数在在处处oxy1121,11,1xxyx , 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f 0.x 为为函函数数的的间间断断点点000( ),( )xf xxf xx 设设为为函函数数的的间间断断点点 如如果果在在处处的的左左右右极极限限都都存存在在，

17、则则称称 为为间间断断点点，否否则则称称为为第第一一类类第第二二类类间间断断点点。三初等函数的连续性三初等函数的连续性定理：定理：000( ),( ),( )( )( ),( )( ),( ()0)( ).f xg xxf xf xg xf xg xg xg xx 若若函函数数在在点点处处连连续续则则在在点点处处也也连连续续例如例如,2,sin ,cos(,),xxexx 在在内内连连续续2sin ,cos ,tan.xxx exx 故故在在其其定定义义域域内内连连续续 即由连续函数经过四则运算所得到的函数仍然是连续即由连续函数经过四则运算所得到的函数仍然是连续的分母为零的点除外）。的分母为零

18、的点除外）。00000(),(),( ),().uxxxxuyf uuuyfxxx 设设函函数数在在点点连连续续且且而而函函数数在在点点连连续续则则复复合合函函数数在在点点也也连连续续定理定理 即由两个连续函数经过复合运算所得到的函数仍然是即由两个连续函数经过复合运算所得到的函数仍然是连续的。连续的。例如例如,1(,0),(0,),ux 在在内内连连续续,),(sin内内连连续续在在 uy1sin(, 0),(0,).yx在在内内连连续续定理定理 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. .定理定理 一切初等函数在其定义区间内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. . 因为初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算因为初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算以及复合运算得到的并且由一个式子表达的函数。以及复合运算得到的并且由一个式子表达的函数。 fx0 x 根据这一结论，求初等函数根据这一结论，求初等函数 在某点在某点 的极限时，的极限时，假如假如 在在 的定义区间内，则函数的定义区间内，则函数 在该点的极限值在该点的极限值等于等于 在该点的函数值在该点的函数值 0 x fx fx fx 0fx即即 初等函数求极限的方法代入