高中数学必修2直线与圆的位置关系1

1、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除高中数学必修2直线与圆的位置关系【一】、圆的定义及其方程.(1)圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆，定点叫做圆心，定长就是半径；(圆心是定位条件，半径是定型条件)(2)圆的标准方程：(xa)2 + (y b)2 = r2(r >0)；圆心(a,b),半径为圆的一般方程：x2+y2 +Dx+Ey+F =0(D2+E24f >0)；圆心(一。,-), 22半径为 LD2 +E2 4F ；2 【二】、点与圆的位置关系(仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式后按同样方法处理)222设P(x0,y0)与圆(x a) +(yb)

2、 =r ；若P到圆心之距为d； P 在在圆 C 外u d a r u (x0 -a)2 十(y0 b)2 a r2 ； P 在在圆 C 内u dcru (x0a)2+(y0b)2<r2； P 在在圆 C 上u d=ru (x0a)2+(y0b)2=r2；【三】、直线与圆的位置关系：设直线l :Ax + By+C =0和圆C:(xa)2 +(yb)2 =r2,圆心C到直线l之距为d ,由直线l和圆C联立方程组消去 x (或y )后，所得一元二次方程的判别式为,则它们的位置关系如下：相离 u dru Am0;相切 u d=ru A=0;相交 u d<ru A>0;注意：这里用d与

3、r的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简便的方法； 利用判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。【四】、两圆的位置关系：(1)代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解， 则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆 相离。(2)几何法：设圆 O1的半径为r1,圆02的半径为r2两圆外离 u | O1O2 |> r1 + r2 ;两圆外切 -|O1O2 |= r1+r2 ;两圆相交 匕 |2 - ri |W O1O2 |< ri +2;两圆内切 ；: 1。1。2 1=12 -1 I；两圆内含 u |O1

4、O2 I<I r2 r1 I；(五)已知圆 C: (x-a) 2+(y-b) 2=r2(r>0),直线 L: Ax+By+C=01 .位置关系的判定：(x-a)i +(y -b)3 = J判定方法1：联立方程组怂+ By + C = O'得到关于x(或y)的方程zoq相交； =0O相切；(3) /<0 0 相离。判定方法2：若圆心(a, b)到直线L的距离为d(1)d<r 0 相交；(2)d=r Q 相切；(3)d>r O 相离。例1、判断直线L: (1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O: x2+y2=9的位置关系。法一：直线 L： m(x-y+2

5、)+x+y-1=0 恒过点 2 2,.点P在圆。内，直线L与圆O相交。法二：圆心O到直线L的距离为J(l+m尸+ (1-mp也m2当 d<3 时，(2m-1) 2<9(2南+2),2 14m+4m+17>0mE R所以直线L与直线O相交。法三：联立方程，消去 y 得 2(1+m2)x2+(4m2+2m-2)x-5m2+14m-8=0 ,.=56n4-96m3+92n2-120m+68=4(m-1)2(14mi+4m+17)当mM时，,。，直线与圆相交；_1当m=1时，直线L:2 ,此时直线L与圆。相交综上得直线L与圆。包相交。评法二和法三是判断直线与圆位置关系的方法， 但计算

6、量偏大；而法一是先观 察直线的特点再结合图，避免了大量计算，因此体现了数形结合的优点。例2、求圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y=25的距离的最大最小值1.切线问题：例3:(1)已知点P(x。，y0)是圆C: x2+y2=r2上一点，求过点P的圆C的切线方程;2(x ox+yoy=r )法一：2 , 2 _ 2丁点P(xo, y。是圆C: x2+y2=r2上一点，.二与十%一1k 一九卜一一包氏CP 一人一当x°wO且y°wO时， 旬为7 - % 二一包M),即曲、+ yoy = x； +y； =ra(1)切线方程为.当P为(0, r)时，切线方程为y=r,满足方程；当

7、P为(0, -r)时，切线方程为t=-r ,满足方程(1);当P为(r , 0)时，切线方程为x=r,满足方程；当P为(-r , 0)时，切线方程为x=-r ,满足方程(1);综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2法二：设M(x , y)为所求切线上除P点外的任 |OM|2=|OP|2+|PM|2,即 x2+y2=r2+(x-x 0) 2+(y-y 0)2X0x+y0y=r2且P(x°, y°)满足上面的方程。综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2。例4、求过下列各点的圆C: x2+y2-2x+4y-4=0的切线方程:(1) A(2,2也-2) ；(2) B(4 , 5

8、)解：(1)圆 C: (x-1) 2+(y+2)2=9,圆心 C(1, -2) , r=3,且点 A在圆 C上,法一：设切线方程为y=k(x-2)+20-2，则圆心到切线的距离为V2Vl+ka所求切线方程为求 切 线 方 程 为黑一 2)+2/2-2BPy= -x +22金42(2)点B在圆外，所以过B点的切线有两条设切线方程为y=k(x-4)+5 ,则圆心C到切线的距离为d 二工二 3x/i+F又直线x=4也是圆的切线方程,202025.y = x + 212121T所求切线方程为2121已知圆Q x2+y2=16,求过点P(4,6)的圆的切线PT的方程。(1)判断直线与圆的位置关系有两种方

9、法，但利用圆心到直线的距离与半径的关 系来判断在计算上更简洁。(2)过圆外一点向圆引切线，应有两条；过圆上一点作圆的切线，只有一条。例6、从直线L: 2x-y+10=0上一点做圆O: x2+y2=4的切线，切点为A B,求四 边形PAOES积的最小值。解：当|OP|最小时，Spao最小，又;当OPLL时|OP|最小，此时l°P卜2g二(多g)皿二2向弘万=8例7、(切点弦)过圆外一点P(a, b)做圆Q x2+y2=r2的切线，切点为A B,求直线AB的方程。解：设 A(xi, yi) , B(x2, y2),则过 A点的切线为 xix+yiy=r2,又.过点P(a, b)axi+b

10、y尸2,同理有 ax2+by2=r2由以上两式可以看出 A B的坐标都满足方程ax+by=r2,它是一条直线的方 程，又二过两点的直线有且仅有一条，,直线AB的方程为ax+by=r2。2、弦长问题例8、若点P(2, -1)为圆(x-1) 2+y2=25的弦AB的中点，求直线AB的方程。 若直线y=2x+b与圆x2+y2=4相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹。解：设M(x, y)为所求轨迹上任一点，且 A (xi, yi) , B (x2, y2) y = 2x + b< .由X + y = 4 ,消去 y 得 5x2+4bx+b2-4=04b2b二为十为二261+町)+2b = y

11、由韦达定理得，血+町一 "pJ- 2 - T 1y = -x由消去b得2 ，又因M在圆内,_1所求轨迹为直线2Z在圆内的部分经过原点作圆x2+y2+2x-4y+4=0的割线l ,交圆于A、B两点，求弦AB的中点 M的轨迹。法一：设M(x, y)为所求轨迹上任一点，直线l的方程为y=kx, A(xi, yi), B(x2, y2)y = kx由1+/ + 2xTy+4 = 0 消去 y 得(1+k2)x2+(2-4k)x+4=0只供学习与交流又xwO X 代入得 x2+y2+x-2y=0VM点在圆内，所求轨迹为圆x2+y2+x-2y=0在圆x2+y2+2x-4y+4=0内的部分。法二：

12、设M（x, y）为所求轨迹上任一点，圆心 C （-1 , 2） ,.CML OM37当xwo且xw-1时，有x + 1 X当x=0时，点M不存在；当x=-1时，点M与C重合，符合方程VM点在圆内，所求轨迹为圆x2+y2+x-2y=0在圆x2+y2+2x-4y+4=0内的部分。精选习题：1,在直角坐标系中，直线 x +J3y -3 = 0的倾斜角是（）A.B.D.32.直线ax + by + c = 0同时要经过第第二.第四象限，则a、b、c应满足（D. ab : 0,bc : 0A. ab 0, bc ： 0B. ab 0, bc ： 0C. ab 0, bc 03.直线3x4y9 =0与圆x

13、2 +y2 =4的位置关系是（）A.相交且过圆心B.相切C.相离D.相交但不过圆心4过两点（-1,1）和（3,9）的直线在x轴上的截距是（）A. -3B. -C. -D. 22355 .若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则点P(a, b)的位置是A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上皆有可能6 .已知点A(1,2), B(3,1),则线段 AB的垂直平分线的方程是()A. 4x+2y=5 B. 4x2y=5C. x+2y=5 D. x2y=5八一1、一7 .若A(2,3), B(3,2),C(2,m)三点共线 则m的值为(A.-28 .直线与-4=1在y轴上的截距是()a bA

14、. b B. -b2 C. b2 D. 土b9 .直线kx - y +1 =3k ,当k变动时，所有直线都通过定点()A. (0,0)B. (0,1)C. (3,1)D. (2,1)10 .直线xcos十ysin +a =0与xsin 一 ycos+b = 0的位置关系是()A.平行B.垂直C.斜交D.与a, b,8的值有关11 .直线3x + y-3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为(B. 1313C. 2613D.270 1012、若直线x =1的倾斜角为口，则口 =(A、0 二 B 、45 二 C 、90、小存在13.经过圆x2+2x + y2 =0的圆心C,且与直线x +

15、 y = 0垂直的直线方程是()A. x + y+1=0 B. x + y1=0C. xy+1=0D. x y1 = 014 (安徽文)直线x + y = 1与圆x2 + y2 -2ay = 0(a > 0)没有公共点，则a的取值范围是 ()a.(0,72-1)b .(721,72+1)c.(-72-1,72+1)d.(0,J2+1)15、经过点A (1, 2),且在两坐标轴上的截距相等的直线共有()A、1 条 B 、2 条 C16、方程x2 -4y2 =0表示的图形是()A、两条相交而不垂直的直线、一个点C、两条垂直直线D、两条平行直线17、下列说法正确的是A、若直线11与12的斜率相等，则11/ 12；B、若直线11 / 12 ,则11与12的斜率相等；C、若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则它们一定相交;H若直线11与12的斜率都不存在，则11 / 1218.动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是(A. (x 3)2 y2 = 4B. (x-3)2y2=1C (2x -3)2 4y2 =1D. (x )2 y2 =2219.直线1过点A(0, 2)且与半圆C: 则直线1的斜率的范围是(x-1) 2+y2=1(y>0)有两个不同的交点,20已知点M (a,b)在直线3x +4y =