2013春浙大远程工程数学离线作业

1、工程数学 答案1.1计算以下各式：2、a-bi3解a-bi3=a3-3a2bi+3a(bi)2-(bi)3=a3-3ab2+i(b3-3a2b) ；3、解= ； = = 1.2、证明以下关于共轭复数的运算性质：1证=2 证 = -=()(= ； ()-i()=) =-即左边=右边，得证。3=(Z20)证 = = = 1.4、将直线方程ax+by+c=0 (a2+b20)写成复数形式提示：记x+iy=z z+A+B=0，其中A=a+ib，B=2C(实数) 。解 由x= (，y=)+(代入直线方程，得 )+c=0,)+2c=0,az+-bi(a-ib)z+( a+ib)+2c=0, 故z+A+B=

2、0，其中A=a+ib，B=2C1.5、将圆周方程a(x2+y2)+bx+cy+d=0 (a0)写成复数形式即用z与来表示，其中z=x+iy解：x=，y=，x2+y2=z代入圆周方程，得)+()+d=0，2az+(b-ic)z+(b+ic)+2d=0az+(故Az+B+C=0，其中A=2a，C=2d均为实数，B=b+ic 。1.6求以下复数的模与辅角主值：1、=2，解 arg()=arctan= 。1.8将以下各复数写成三角表示式：2、 解故i=i； =1,arg(+i)=arctan(。 )= -a 1.10、解方程：Z3+1=0解 方程Z3+1=0，即Z3=-1，它的解是z=Z=即Z0=+i

3、， =+i，由开方公式计算得 ，k=0,1,2Z1=Z2=+ i=1， =i 。1.11指出以下不等式所确定的区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连通区域还是多连通区域？1、23；解 圆环、有界、多连域。3、arg z；解 圆环的一局部、单连域、有界。5、Re z21；解 x2-y21无界、单连域。7、；解 从原点出发的两条半射线所成的区域、无界、单连域；2.2以下函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？1f(z)=z2；解f(z)=z2=·z·z=·z=( x2+y2)(x+iy)=x(x2+y2)+ iy(x2+y2)， 这里u(x,y)=x( x

4、2+y2),v(x,y)= y( x2+y2)。ux= x2+y2+2 x2，vy= x2+y2+2 y2，uy=2xy，vx=2xy 。要ux= vy，uy =-vx，当且仅当x=y=0，而ux, vy，uy ,vx均连续，故f(z)=·z2仅在z=0可导；z0不可导；复平面上处处不解析；2、f(z)= x2+ iy2；解 这里u= x2,v= y2, ux=2x, uy=0, vx=0, vy=2y，四个偏导数均连续，但ux= vy，uy= -vx仅在x=y处成立，故f(z)仅在x=y上可导，其余点均不可导，复平面上处处不解析；2.3确定以下函数的解析区域和奇点，并求出导数：1、

5、解f(z)=； 是有理函数，除去分母为0的点外处处解析，故全平面除去点z=1及z=-1的区域为f(z)的解析区域，奇点为z=±1，f(z)的导数为：f(z)=为D中常数。2.9由以下条件求解析函数f(z)=u+iv1、u=(x-y)(x2+4xy+y2)；解 因=3+6xy-3=+3x- ，所有v=+wx,而=3dy -3，)=那么可推出=0，即u=C(常数)。故f(z)必+wx，又=6xy+3所以wx=-3，那么wx=-+C。故f(z)=u+iv=(x-y)(= (1-i)+4xy+)+i(1+i)-2x-+C) (1-i)+Ci (x+iy)-(1-i) (x+iy)-2 =z(

6、1-i)(=1-iz3+Ci )-2xyi·iz(1-i)+Ci=(1-i)z(-2xyi)+Ci3、u=2(x-1)y，f(0)=-i；解因=2y，=2(x-1)，由f(z)的解析性，有=v=dx=2(x-1)，+y，又=2y，而=y，所以+C，那么v=+y+i()，f(0)=0；)+，=(-x，。那么v(x,y)=dy+C dx+dy+C )，+C，故,推出y=2y，y=f(z)=2y+i(+C)，由f(2)=i得f(2)=i(1+C)=)=i(+2zC=0。即f(z)=24、u=(x 解 因=(x) =i(1z)2 由f(z)的解析性，有=(x=X+dy-dy+dy)+C +C

7、 )+=xf(z)=即f(z)=-+C，故-i(x+ i()+iC。由f(0)=0知C=0 )=zez 。2.13试解方程：1、=1+解=4、+=0=-1,z=k-，k为整数 。 =1+i i=2+i=2 解 由题设知2.14求以下各式的值：1、解3、=(=；=-i)。 =·=· =；=27第三章3.1、计算机积分dz积分路径为1自原点至1+i的直线段；2自原点沿实轴至1，再由1沿直线向上至1+i；3自原点沿虚轴至i，再由i沿水平方向向右至1+i。 解1dz=dt=i(1+i)=；注：直线段的参数方程为z=(1+i)t，0t1 。 2C1：y=0,dy=o,dz=dx, C

8、2：x=1,dx=o,dz=idy, =dx+dz=+idy=:y=1,dz=dx。 dz=3.2、计算积分解 令z=r,那么dy+dx= =2；2i 。=4。+i；3:x=0,dz=idy; dz的值，其中C为 1dz=i；当r=4时，为8=2i 。当r=2时，为43.6、计算 解f(z)=dz，其中C为圆周=在=2；=2内有两个奇点z=0,1,分别作以0,1为中心的圆周C1, C2, C1与 C2不相交，那么dz=dz-dz=2i-2i=03.8计算以下积分值：1、 dz；解dz =i0=1- ；3、dz；解 dz=(3+) 0i=3= 3。3.10计算以下积分：1、dz；解dz =2i=

9、2i2、dz； 解dz =22=4i4、(r1)；解为0；r1时n=1为2i，n1为0 。3.11、计算I=其中C是1=1；2=1；=；4=3。 3解1被积函数在=2()1)=第四章(-1) (-1)=04.2以下级数是否收敛？是否绝对收敛？1、解1因 2=；2、=； 发散。故收敛；故发散。 绝对收敛。4.4试确定以下幂级数的收敛半径：1、解 1；2、=； =1，故R=1。2故R= =e，4.5将以下各函数展开为z的幂级数，并指出其收敛区域：1、解 1；3、=1 。·()=() ；5、sin2z； =，原点到所有奇点的距离最小值为1，故3=5sin2z=，= 。，14.7求以下函数在

10、指定点z0处的泰勒展示： 1、，z0=1；2、 解1=， (2)=+1+，=，z0=1；4.8将以下各函数在指定圆环内展开为洛朗级数： 1、4、，0，01，1+；3、，12+；=(1-1，)=(1+， )=1+解 10当11时，+时，0=+ 3 =+=+=。 =，12 。 40=4.9将解f(z)=f(z) 在0f(z)=当 =+1时0=+时，+= 。在z=1处展开为洛朗级数 =1与。f(z)的奇点为z1=1,z2=2。1解析。当0= 1，f(z)=+1时 第五章5.3、以下各函数有哪些奇点？各属何类型如是极点，指出它的阶数： 1、6、；2、-；，z=0，±2i为f(z)的奇点，因为

11、=同理z= 2因 3令f(z)=±1，±2，因=亦为二阶极点。=1，所以z=0为二阶极点。 ，那么=都为简单极点 。4令f(z)=±1，±2，。因故f(z)，=，那么的零点为z=, k=0， ，的零点为z=k-，k=0，所以简单=极点，=，又；3、；4、；5、；解 1令f(z)=所以z=0，所以z=2i为二阶极点，=z+=(1+)，z=0为的=(2z(三)+阶)极点的三阶零点，。为又的0，故z=一阶零点，即为f(z)的简单极点。5令=6令f(z)=立奇点。因为可去奇点，又±2，)为5.5、如果=-=(f(z)=，z=0为其孤立奇点。因=1，所以

12、z=0为可去奇点。 ，z=0和=)，所以z= =为其孤，所以z=0( k=0，±1，的一阶零点，即为f(z)的简单极点。 与g(z)是以z0为零点的两个不恒为零的解析函数，那么(或两端均为的形式，再讨论。 )。提示：将写成证设=g(z)= 为的m阶零点，为g(z)的n阶零点，那么，在， =在0，m1，0，n1。因而= 当m=n时，1式=2式，当mn时，1式=2式=0， 当mn时，1式=2式= 。5.7求出以下函数在孤立奇点处的留数：1、解1令Res； 2、=；5、；6、； ，孤立奇点仅有0。 =0，2，i，0=2z=2为简单极点，z=±i为二阶极点。Res=Res，-i=。

13、 =，Res=。同理可计算5的孤立奇点为z=0，=k(k=±1，±2，)，其中，z=0为二阶极点，这是由于析。且0所以Res=，0=，在z=0处解=所以Resk=6=0，易知=k(k=±1，±2，)为简单极点，k(k=±1，±2，)为简单极点，所以Res=，(k=±1，±2，)。 在整个复平面上解析，无孤立奇点。5.8利用留数计算以下积分：1、4、解1=2=224=0；2、=-2 =2Res=2=2dz=2 Res=2，0=2 =0 ，1=2=2=2 =。 dz=；5.12求以下各积分之值：1、d； ()；3、d(

14、)；4、解1=+1,dz。令=dz=，其中a=adz，为实系数二次方程1，被积函数在=0的两相异实根，显然=1上无奇点，在单位圆内部又是一=，即 个简单极点z=故Res=2 Res3=，=，=·它共有两个二阶极点，且在实轴上无=2 Res=有两个一=，)。故，奇点，在上半平面仅有二阶极点ai，所以=24不难验证=2满足假设尔当引理条件，函数，-2+i=，-2+i=(=阶极点-2+i，-2-i。Resdd=第八章=2 Res8.4求以下函数的傅氏变换，并证明所列的积分等式。1、f(t)= ；2、f(t)=；3、f(t)解1f(t)=dt+dt=2j dt=dt=dt=dt+=dt 1-

15、dt2F()=3F()=()tdt-2=dt= dt=dt dtdtdt=()。8.5求以下函数的 傅氏变换，并证明所列的积分等式。2、f(t)=解2F()=证明dt=d=dt =j=j(8.13证明以下各式： dt=2jdt )=j(dt )=1、f1(t)*f2(t)= f2(t)*f1(t)；8.14、设f1(t)= 解 f1(t)*f2(t)=时，f1(t)*f2(t)=f2(t)=求f1(t)*f2(t)。 dt当t0时，f1(t)*f2(t)=0；当t0dt=1故f1(t)*f2(t)=)=f2(t)，证明：f1(t)·f2(t)= 8.15设F1()=Ff1(t)， F

16、2F1()*F2证F1()*F2)。 )=dtdu du=du=第九章9.1求以下函数的拉氏变换： dt=dt dt dt f1(t)·f2(t)1、f(t)=解1 F(s)=f(t)=+；2、f(t)=dt=3 dt=3dt+dt dt 2F(s)=f(t)=dt =(1-)+dt dt =(1-)+()=(1-)+() (Re s0)=(1-)+()=(1-)-9.2求以下函数的拉氏变换：1、；4、；=(Re s0) =dt=dt= dt=t-dt dt 解1=4=dt (Re s0) =9.3求以下函数的拉氏变换：1、t2+3t+2；3、解1由3=；5、t及1=有=2t+=；

17、=+ +=5由微积分性质有： t=()s=()=：；= 9.4利用拉氏变换的性质，计算1、f(t)=t解1；2、f(t)=t=t2= t=()=：；=f(t) )=9.5利用拉氏变换性质，计算2、解2=f(t)=dt=；4、，令=(=(tf(t)= (-tf(t)，故4由于·=，由积分的像函数性质； 9.6、利用像函数的积分性质，计算1、f(t)=解1=；2=ds=dt； =，d()=arctan2=dt=，=ds= 9.8求以下像函数Fs的拉氏变换： 5、解57= =；7、=+； =t+(t-2)u(t-2)9.11利用卷积定理证明以下等式： 1、2、=f(t)*u(t)=(a0)

18、。；证1f(t)*u(t)=f(t)*u(t)=F(s)·，f(t)*u(t)=2F(s)=·=有f(t)=dt=·=由=·*dt = ，=+ =+ 教材：?常微分方程?第二版P51第一章2、验证函数y=cx+(c是常数)和y=2都是方程y=xy+的解。 解 证明：y= cx+，y=cxy+=cx+=y。Y=±2，y=±xy+=±2+c2=y。 (k、c1、c2是常数)是方程y+k2y=0的4、验证函数y=c1解。证明：y=c1c2k2c2k26、 解：8、y=(1-y2) 。 +c2 y+ k2y=y=c1k c1k2+

19、c2k c2k2y= c1k2+ c1k2 + dx+y； =及y±1。解：=，y(0)=2c=； +cy=c 。 =ccos2xy=9、求以下齐次方程的解 解：令y=ux,= -= -=+c=cx=cx=cx=c，及y=±x。=(1+)；)x=u 。 10、求以下齐次方程的解解：=(1+)，令y=uxx+u=u(1+=+c=cx，u=du=dx，x0y=x12、求以下齐次方程的解 =2+，y(1)=4；+u=dx=+c=cx 解：令y=ux，u0x+u=2=cx，y(1)=4=c，c=x=2+。13、求以下齐次方程的解 xy-y=，y(1)=；解：令y=ux，x(x0，a

20、rcarc= arc+c。y(1)= 。)-ux=+c；假设x0，=ux1=u x0 arc=假设x +c，c=14、求以下一阶线性方程或伯努利方程的解解：y+y=，p(x)=，f(x)=y=()=(，=；)=+ 。+2xy+x=)=2c=-=0， y(0)=1； = ，y(0)=2；15、求以下一阶线性方程或伯努利方程的解解：y=(x-)=(c+x)+2xy+x=-x，p(x)=2x，f(x)=(-x，y(0)=c17、求以下一阶线性方程或伯努利方程的解解：两边乘以y，y=-=0，令z=，f(x)=x=x。p(x)=，这里初值是x=0取1。z=()=()，=(y(0)=1 )。y(0)=10

21、。-1+c=1c=2y= 。19、验证以下方程为全微分方程或找出积分因子，然后求其解5ydx+解：5ydx+方u(x,y)=+-=c +=c +dx=0 +dx=0程=-+-=，=是全微分，=20、验证以下方程为全微分方程或找出积分因子，然后求其解 2(ydx+xdy)+xdx-5ydy=0，y(0)=1。解：(2y+x)dx+(2x-5y)dy=0ux,y=x-+-+2xy-2x-+=2， =2全微分方程，=-+2xy-+=0-+4xy+=0 P106 第二章7、求以下方程的通解或特解y-4y=0 解：-4=0，=0，=4，通解为y=+ 。8、求以下方程的通解或特解y+2y=0 解：+2=0，=通解为y=+ c2 。 ，9、求以下方程的通解或特解y-2y+y=0 解：-2+1=0 =1通解为y=( c1+ c2x)。10、求以下方程的通解或特解y+4y+13y=0解：c2+4+13=0，。，y+。 =-2+3i，=-2-3i，通解为c1+ 11、求以下方程的通解或特解y-5y+4y=0，y 解：-5+4=0，=1，=4，那么通解为y=，于是我们有y=+4，代入初始条件 ，于是有，那么解为：y=4+18、求以下方程的通解或特解y+y=a(a是常数)，y(