双曲线中焦点三角形的探索

1、的面积. .双曲线中焦点三角形的探索基本条件：1 1:该三角形一边长为焦距 2C2C,另两边的差的约对值为定值 2a2a02配方得：(12)2订22r1r2cos即4a22r1r2(1 cos ) 4c2.由任意三角形的面积公式得:2L2同理可证，在双曲线a2 2:该三角形中由余弦定理得cos F1PF2TF匚生十12结合定义，有2|PFi|丨PF2I 0 0 ),一点，则在F1PF2中，由余弦定理得:(2c)2.22X-乂1O OO OI I2r22 r1r2cos2r1X2例 4 4 若 P P 是双曲线642y361匚匚上的一点，F1、F2是其焦点，且F1PF260，求F1PF24c2.

2、SF1PF22叩2血b2co；b22sin cos2 22s in2b2cot特别地，当 =90时,cot 2= 1 1,所以弘严2b(a(a 0 0,b 0 0)中，公式仍然成立. .的面积. .解法一：在双曲线2 2X y64361中,a 8,b 6,c 10,而60 .记|P R |rdPF2| Q.点 P P 在双曲线上,由双曲线定义得:在F1PF2中，由余弦定理得:配方，得:（12）212400400吋2256.从而订2144.2a16.212 Cr22 r1r2cos(2c)2.1解法二：在双曲线6436中,b236，而60 .考题欣赏（20102010 全国卷 1 1 理）（9

3、9）已知F,、F2为双曲线 C C：X2y21的左、右焦点，点P在 C C 上，/hPF2=6O0，贝y p到x轴的距离为(A)(A)写写(B)当(C)(C)灵灵(D)(D)【答案】B B（20102010 全国卷 1 1 文）（8 8）已知F1、F2为双曲线 C C：X2寸1的左、右焦点，点P P 在 C C 上，/F1P F2= =6O0，则|P F1gPF2I(A)2(A)2(B)4(B)4(C)(C) 6 6(D)(D) 8 8【答案】B B【解析 1 1】. .由余弦定理得 coscos / RPRPF2= =| PF1|2|P F2|2|吋2|22|PF1|PF2|P F1|c|

4、PF2|4 4【解析 2 2】由焦点三角形面积公式得:2260SF1PF2b cot 1 cot F1 1PF22 2-PR PF2Sin600RPR21 221PF2| PF1g PF2|4 42X性质一推论：在双曲线a22苕1(a 0 0,b0 0)中,左右焦点分别为F1、F2，当点 P P 是双曲线左支上任意一点，若PF1F2，则SF1PF2b2csi na ccos. .特别地，当PF1F290时,的面积. .FIPF2b2ca。当点 P P 是双曲线右支上任意一点，若PF1F2(双曲线渐近线的倾斜角),则SFIPF2b2csinccos a证明：i i、当P P 为左支上一点时,|P

5、Fi| ri,| PF2I2ri2),由双曲线的定义得212a,212a在F1PF2中,由余弦定理得:214C24 r,ccos22.代入得124C241CCOS(12a)2.1求得ccos。1-12特别地，当iiii 、当 P P12FiF2sin=90时,1b2- - 2Csin2aCCOSb2csina ccos得证F1PF2b2ca为右支上一点时,2a,2r12a在F1PF2中，由余弦定理得:21记I PFiIri, 1 PF21 r2(1),由双曲线的定义得4C242 cos22.代入得124C241CCOS(12a)2.1求得b2ccos a。F1PF21r1|F1F2|sin2b

6、2CCOS2Cs inab2cs inccos a得证(1(1)若 P P 是双曲线2x642y361左支上的一点,F1、F2是苴隹占且AX/、八、八、5-I_L-PF1F260求F1PF2的面积. .2x(2(2)若 P P 是双曲线1右支上的一点,F1、F2是其焦点，且PF1F260，求F1PF2的面积. .点 P P 在双曲线上,(2(2)解法一：在双曲线1中，a 1,b2,c75,而60 .记I PF1I GI PF2I2.点 P P 在双曲线上,解得：18( J5 2)证明：由正弦定理知sin sinsin(IF2PI IFPI由等比定理，上式转化为sin sincossin一(1(1)解法一：在双曲线2x642卷1中，a 8,b 6,c 10,而60 .记1 PFi| ri,| PF2I2.由双曲线定义得:12a16.r216 r1在F1PF2中,由余弦定理得:214c24r1ccosj2.36解得:解法二：在双曲线2x642y36中,a 8,b6, c 10, b236而60.解法二：在双曲线6436中,a 8,b6,c 10, b236而60.性质二、双曲线的焦点三角形PF1F2PF1F2 中,PF1F2,PF2F1当点 P P 在双曲线右支上时，有tan 2cot -2e 1 e1；当