(完整版)因式分解的常用方法(方法最全最详细)

1、资料因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解： 因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：（ 1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提， 其次看能否直接利用乘法公式； 如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（ 2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二

2、、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)222-b2；(a+b)(a-b) = a-b -a=(a+b)(a-b)(2)222-a222(a ±b) = a±2ab+b±2ab+b =(a ±b) ；(3)(a+b)(a2233332-ab+b) =a+b-a+b=(a+b)(a-ab+b(4)(a-b)(a22) = a3333=(a-b)(a2+ab+b-b-a-b+ab+b下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；33+c3-3a

3、bc=(a+b+c)(a222-ab-bc-ca) ；(6)a +b+b+c2)；2 )例 .已知 a，b，c 是 ABC 的三边，且 a2b2c2ab bcca ，则ABC 的形状是（）A.直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形解： a2b2c2ab bcca2a22b22c22ab2bc 2ca( a b)2(b c) 2(c a)20ab c.资料三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式： am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解， 但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 b，因此

4、可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式 = ( aman)(bmbn)= a(mn)b(mn)每组之间还有公因式！= ( m n)( a b)例 2、分解因式： 2ax 10ay 5by bx解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式=(2ax10ay) (5bybx)原式= (2axbx) (10ay5by )= 2a( x5y)b( x5y)= x(2ab)5y(2a b)= (x 5y)(2a b)= (2ab)( x5y)练习：分解因式1、 a2abacbc2、 xyxy 1（二）分组后能

5、直接运用公式例 3、分解因式：x2y 2ax ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式 = ( x 2y 2 )( axay )= ( xy)( xy)a( xy)= ( xy)( xy a)例 4、分解因式： a 22abb 2c 2解：原式 = ( a22abb2 )c2= (a b) 2c2= (a b c)(a b c)练习：分解因式3、 x2x9 y 23y4、 x2y 2z22 yz.资料综合练习：（ 1） x3x 2 yxy 2y3（ 2 ） ax2bx 2bxaxab（ 3 ） x 26xy9y 2

6、16a28a1（4 ） a 26ab12b9b24a（ 5 ） a 42a3a 29（ 6 ） 4a 2 x 4a 2 y b2 x b2 y（ 7 ）22xyxzyz2（8 ）22a22b2ab1xyab（ 9 ） y( y2)(m1)(m1)（ 10 ） (ac)(ac)b(b2a)（11）a2 (bc)b2 (ac)c 2 (ab)2abc（12）a 3b3c 33abc四、十字相乘法 .（一）二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式2(p)pq(xp)(x q) 进行分解。xq x特点：（ 1）二次项系数是1 ；（ 2）常数项是两个数的乘积；（ 3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考

7、：十字相乘有什么基本规律？例 .已知 0 a 5 ，且 a 为整数，若 2x23xa 能用十字相乘法分解因式，求符合条件的 a .解 析：凡是能十 字相 乘的二次三项 式 ax 2+bx+c，都要求b24ac>0 而且是一个完全平方数。于是9 8a 为完全平方数， a 1例 5、分解因式：x25x 6分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于 6=2 ×3=(-2) ×(-3)=1 ×6=(-1) ×(-6) ，从中可以发现只有 2×3的分解适合，即2+3=5 。12解： x 25x 6 = x 2(2 3)x 2 313

8、= ( x2)( x 3)1 ×2+1 ×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例 6、分解因式： x27x6解：原式 = x 2( 1)( 6)x ( 1)( 6)1-1= ( x1)( x6)1-6（-1 ）+（ -6 ）= -7.资料练习 5 、分解因式 (1)x 214x24 (2) a 215a 36(3) x24x5练习 6 、分解因式 (1)x 2x2(2) y22 y 15(3) x210 x24（二）二次项系数不为1 的二次三项式ax2bxc条件：（ 1） aa1a2a1c1（ 2） cc1c2a

9、2c2（ 3） ba1c2a2 c1ba1c2a2 c1分解结果： ax 2bxc = (a1 x c1 )( a2 xc2 )例 7、分解因式： 3x 2 11x 10分析：1-23-5（-6 ）+ （-5 ）= -11解： 3x 211x 10 = ( x2)(3x5)练习 7 、分解因式：（ 1 ） 5x27x6（2 ） 3x27x 2（3） 10 x217 x3（ 4） 6 y 211y 10（三）二次项系数为1 的齐次多项式例 8、分解因式： a 2 8ab 128b2分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于 a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16

10、b)= -8b解： a 28ab 128b2= a28b( 16b) a 8b ( 16b)= (a8b)(a16b)练习 8 、分解因式 (1) x 23xy2 y 2(2) m 26mn8n 2 (3) a 2ab6b 2.资料（四）二次项系数不为 1的齐次多项式例 9 、 2x27xy6y 2例 10、 x2 y23xy 21-2y把 xy看作一个整体 1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式 = ( x 2 y)( 2x3y)解：原式 = ( xy1)( xy2)练习 9 、分解因式：（ 1 ） 15x 27xy 4 y2（ 2 ） a 2 x

11、 26ax8综合练习 10 、（ 1 ） 8x67 x31（2 ） 12x 211xy15 y2（ 3 ） ( x y)23(x y) 10（ 4） (a b)24a4b 3（ 5 ）x 2 y 25x 2 y 6x 2（ 6）m24mn4n 23m6n 2（ 7 ） x 24xy4 y 22 x4 y3 （8） 5(ab) 223(a 2b2 )10( ab) 2（ 9 ）4x24xy6x3yy 210（ 10 ）12( x y) 211(x 2y2 ) 2( xy) 2思考：分解因式：abcx 2( a2 b2c 2 ) x abc五、换元法。(1) 、换单项式例 1分解因式632x +

12、14x y + 49y .6323362分析 ：注意到 x = （ x） ，若把单项式x换元，设 x = m ，则 x = m ，原式变形为22232m+ 14m y + 49y = (m + 7y)= ( x+ 7y) .(2) 、换多项式例 2222分解因式 (x +4x+6) + (x+6x+6) +x .分析 ：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设222，原式变形为x+6= m ，则 x +4x+6= m+4x， x +6x+6= m+6x.资料222222(m+4x)(m+6x)+x= m +10mx+24x +x =m+10mx+25x222= (m+5x

13、) = ( x+6+5x)222= (x+2)(x+3)= (x+2)(x+3) .以上这种换元法， 只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”. 当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元22，原式变形为法”. 比如，设 x +4x+6=m，则 x +6x+6=m+2x22+2mx+x222222m(m+2x)+ x= m= (m+x)= ( x +4x+6+x)= ( x +5x+6)= (x+2)(x+3)222= (x+2)(x+3) .另外， 还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算. 对于本例，

14、设m=1222222，(x +4x+6) + (x+6x+6)= x+5x+6 ，则 x +4x+6=m-x， x +6x+6=m+x22222222(m+x)(m-x)+x = m-x +x= m = (x+5x+6)= (x+2)(x+3)2 2= (x+2) (x+3) .例 3分解因式 (x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.分析 ：这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘，使之转化成为两个多项式的乘积. 无论如何分组，最高项都是x2，常数项不相等，所以只能设法使一次项相同. 因此，把(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分组为 (x-1) (x+2)(x-3)

15、(x+4) = (x222 形式加以+x-2) (x+x-12) ，从而转化成例解决 .1222我们采用“均值换元法”，设 m= 2 (x +x-2)+ (x+x-12)=x+x-7 ，则22，原式变形为x +x-2=m+5， x +x-2= m-52-25+24=m222(m+5)(m-5)+24=m-1=(m+1)(m-1)=( x+x-7+1)( x +x-7-1)222= ( x+x-6)( x +x-8)= (x-2)(x+3)( x+x-8).资料(3) 、换常数例 12分解因式 x (x+1)-2003 ×2004x.分析 ：此题若按照一般思路解答，很难奏效. 注意到2

16、003 、 2004 两个数字之间的关系， 把其中一个常数换元. 比如，设 m=2003 ，则 2004=m+1.于是，原式变形为222x (x+1) m(m+1)x= xx(x+1)-m(m+1) = x(x+x-m-m)2 2= x(x -m ) +(x-m)= x(x+m) (x-m)+(x-m)= x(x-m)(x+m+1)= x(x-2003)(x+2003+1)= x(x-2003)(x+2004).例 13 、分解因式（ 1 ）2005 x2(200521) x2005（ 2） ( x 1)( x2)( x3)( x6)x2解：（1 ）设 2005=a ，则原式 = ax2(a

17、21) x a= (ax1)( xa)= (2005 x1)( x2005)（ 2 ）型如 abcde 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式 = ( x27x 6)( x25x 6) x 2设 x 25x6 A，则 x27x 6 A 2x原式 = (A2x) A x 2= A22 Ax x 2= ( Ax)2 = ( x26x 6) 2练习 13、分解因式（ 1 ） ( x2xyy2 ) 24xy( x2y 2 )（2 ） ( x23x2)(4x 28x 3) 90（ 3 ） (a 21) 2(a 25) 24(a 23) 2例 14 、分解因式（ 1 ） 2 x4x36x2x

18、 2观察：此多项式的特点是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式 = x 2 (2x2x 6112 ) = x 2 2(x 212 ) (x1 ) 6xxxx.资料设 x1t ，则 x21t 222x2x 222原式 =x22)t6 =x2tt10（ t= x 22t 5 t 2 = x2 2x25 x1xx= x·2x25 ·x·x12=2x 25xxx= ( x 1)2 ( 2x 1)(x 2)（ 2 ） x 44x3x24 x1解：原式

19、 = x2( x24x141= x2x21xx2 )x2设 x1y ，则 x21y 22xx 2原式 = x2 ( y24 y3)= x2 ( y1)( y3)= x 2 (x11)( x13) = x 2x 1 x 2xx练习 14、（ 1 ） 6x47 x336 x27x6（2 ） x 42x 3x21 2(x x2 )六、添项、拆项、配方法。22 x22x14 x11x3x1例 15 、分解因式（ 1 ） x 33x 24解法 1 拆项。解法 2 添项。原式 = x31 3x 23原式 = x 33x 24x 4x 4= ( x1)( x 2x1)3(x1)( x1)= x(x 23x4

20、) (4x 4)= ( x 1)( x2x 1 3x 3)= x(x 1)( x 4) 4( x 1)= (x 1)( x24x 4)= ( x 1)( x 24x 4)= (x 1)( x 2) 2= ( x 1)( x 2) 2（ 2 ） x 9x 6x33解：原式 = ( x91)( x61)( x31)= ( x31)( x6x 31) (x 31)( x31) ( x31)= ( x31)( x6x 31 x31 1)= ( x1)( x 2x1)( x 62x33).资料练习 15、分解因式（ 1 ） x 39x 8（ 2） (x 1) 4(x 21) 2( x 1) 4（ 3 ）

21、 x 47 x21（4） x4x 22ax1a 2（ 5 ）x 4y4( x y) 4（6）2a 2b 22a 2 c22b 2c 2a4b4c4七、待定系数法。例 16 、分解因式 x 2xy6 y2x 13y 6分析：原式的前3 项 x2xy6 y2 可以分为 (x3y)( x2 y) ，则原多项式必定可分为 ( x 3y m)( x2 yn)解：设 x 2xy6 y 2x13y6 = ( x3ym)( x2 yn) (x 3ym)( x2 yn) = x2xy6 y 2(mn) x(3n2m) ymnx2xy6y 2x13y6 = x 2xy6 y2( mn) x(3n2m) ymnmn

22、1m2对比左右两边相同项的系数可得3n2m13 ，解得n3mn6原式 = (x 3 y 2)( x 2 y3)例 17 、（ 1）当 m 为何值时，多项式 x 2y 2mx5 y6 能分解因式，并分解此多项式。（ 2）如果 x3 ax2bx8有两个因式为x1和 x2 ，求 ab 的值。（ 1）分析： 前两项可以分解为( xy)( xy) ，故此多项式分解的形式必为 ( xya)( xyb)解：设 x 2y 2mx5 y6 = ( xya)( xyb)则 x 2y 2mx 5 y 6 = x2y2(a b)x (b a) y ababma2a 2比较对应的系数可得：ba5 ，解得：b3或 b3a

23、b6m1m1当 m1时，原多项式可以分解；当 m 1时，原式 = (xy2)( xy3) ；当 m1时，原式 = ( xy2)( xy3).资料（ 2 ）分析： x3 ax 2bx8 是一个三次式， 所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如xc 的一次二项式。解：设 x3 ax 2bx8 = ( x1)( x2)( x c)则 x3 ax 2bx8 = x3 (3 c) x2(2 3c)x 2ca3ca7 b23c解得 b14 ，2c8c4 ab = 21练习 17、（ 1 ）分解因式 x 23xy10 y 2x9 y2（ 2 ）分解因式 x23xy2 y 25x 7 y6（ 3）

24、 已知： x22xy3y 26x14 yp 能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因式。（ 4） k 为何值时， x 22 xyky 23x5 y2 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。第二部分：习题大全经典一：一、填空题1. 把一个多项式化成几个整式的的形式， 叫做把这个多项式分解因式。2 分解因式：3.m -4m=22_.3.分解因式： x -4y= _4 、分解因式：x24x4 =_。nn22， 则n 的 值5. 将 x-y分 解 因 式 的 结 果 为 (x +y)(x+y)(x-y)为.6 、若 xy5, xy6 ，则 x2 yxy 2=， 2x22y2=。二、选择题7

25、 、多项式 15m3n25m2 n20m2n3的公因式是 ().资料A、 5mnB、 5m2n2C、 5m2nD、 5mn28 、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是()A、 a 3 a 3 a29B、 a2b2a b a b23a24a 5 a a 4 5m 2m 3 m m 2mC、D、10.下列多项式能分解因式的是（）22222(A)x -y(B)x +1(C)x +y+y(D)x -4x+4211把（ x y） （ y x）分解因式为（）A（ x y）（ x y 1）C（ y x）（ y x1 ）B（ y x）（ x y 1）D（ y x）（ y x 1）12下列各个分解因式中正确

26、的是（）222A 10ab c 6ac 2ac 2ac（ 5b 3c）222B（ a b ） （ b a） （ a b） （ a b 1）C x（ b ca） y（ a b c） a b c（ b c a）（ x y 1）2D（ a 2b）（ 3a b） 5（ 2b a） （ a2b ）（11b 2a）13.若 k-12xy+9x2k 应为（）是一个完全平方式，那么A.2B.422C.2yD.4y三、把下列各式分解因式：14、 nxny15、 4m 29n216、 m mnn nm17、 a3 2a2b ab2.资料x2229(m n)2416x16(m n)218、19、；五、解答题a =6

27、.67cm 的正方形纸片中，挖去一个边长20 、如图，在一块边长b =3.33cm 的正方形。求纸片剩余部分的面积。21 、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径d 45cm ，外径 D 75cm，长 l3m 。利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？( 取 3.14 ，结果保留 2 位有效数字 )lDd22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式。.资料(1) x2 1 x 1 x 1(2) x4 1 x2 1 x 1 x 1(3) x81x4 1 x21x1x1(4)x161x8 1 x41x21x1 x 1(5)_经典二：1. 通过基本思路

28、达到分解多项式的目的例 1 . 分解因式 x 5x 4x 3x 2x 1分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x 5x 4x 3 和x 2x1 分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后， 再进一步分解； 也可把 x 5x4 ， x 3x 2 ， x1 分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式( x5x43)(x21xx ).资料x3 (x 2x 1) ( x2x 1)( x 31)( x2x1)( x1)( x 2x1)(x 2x1)解二：原式= ( x5x4)( x3x2)(x1)x4 (x1)x 2 ( x1)( x1)( x1)( x

29、4x1)( x1)( x 42x21)x2 ( x1)( x 2x1)(x 2x1)2. 通过变形达到分解的目的例 1. 分解因式 x 33x 24解一：将 3x 2 拆成 2x 2x 2 ，则有原式 x32x 2x2 (x2)( x2)( x 2( x 24)(x2)( x 2)x2)( x1)( x2) 2解二：将常数4拆成13 ，则有原式 x 31( 3x 23)( x1)( x2x1)(x 1)(3x 3)( x1)( x24 x4)( x1)( x2) 23. 在证明题中的应用例：求证：多项式( x 24)( x 210x21)100 的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数

30、，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。证明： ( x24)( x210x21)100.资料(x2)( x 2)( x3)( x7)100(x2)( x 7)( x2)( x3)100(x 25x14)( x 25x6)100设 yx25x ，则原式( y14)(y6)100y 28y 16 ( y 4 )2无论 y取何值都有( y4) 20( x 24)( x 210x21) 100的值一定是非负数4. 因式分解中的转化思想例：分解因式： (a 2 b c) 3(ab) 3(b c) 3分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b ， b+c与

31、a+2b+c 的关系，努力寻找一种代换的方法。解：设 a+b=A ， b+c=B ， a+2b+c=A+B原式 (AB) 3A 3B 3A 33A2B3AB 2B3A 3B 33A 2B3AB 23AB (A B)3( ab)( bc)( a2 bc)说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。中考点拨例 1.在ABC 中，三边 a,b,c 满足 a 216b2c26ab10bc0求证： ac2b证明：a 216b 2c26ab10bc0.资料a26ab 9 b2c210bc 25b20即 (a3b)2(c5b) 20(a8bc)( a2 bc)0abca8b，即a8bc

32、0c于是有 a2bc0即 a c 2b说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。例 2. 已知： x12，则 x 31_xx 3解： x 3 1( x1 )( x 211 )x3xx(x1)( x1) 22 1xx212说明：利用 x21(x1 ) 22 等式化繁为易。x 2x题型展示1. 若 x 为任意整数，求证：(7x)( 3x)( 4x 2 ) 的值不大于100 。解： (7x)(3x)(4x 2 )100(x7)(x2 )( x3)( x2)100(x 25x14)( x 25x6)100( x 25x)8( x25x)16(x 25x4) 20(7 x)(

33、3x)( 4x2 )100说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于 100 ，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形.资料成完全平方是一种常用的方法。2.将a 2(a 1) 2(a 2a) 2 分解因式，并用分解结果计算 6 27 2422 。解： a 2(a1) 2(a2a) 2a2a 22a1 (a 2a) 22( a 2a)1(a 2a) 2(a 2a1) 2627 2422(3661) 24321849说明：利用因式分解简化有理数的计算。实战模拟1. 分解因式：510x43210x 8（1） 3x8x3x（ 2 ） (a 23a3)( a23a1)5（ 3） x22 xy3y 23x5y2（ 4 ） x3 7 x 62. 已知： xy6， xy1，求： x 3y 3 的值。.资料3. 矩形的周长是28cm ，两边 x,y 使 x3x2y xy2y30 ，求矩形的面积。4. 求证： n35n 是 6 的倍数。（其中 n 为整数）5.已 知 ： a、 b、 c是非零实数，且a2b2c21，a(11)b(11)c(11) 3 ，求 a+b+c 的值。bcca