(完整版)三角函数的图像与性质(教案)

1、三角函数的图像与性质适用学科适用区域知识点数学适用年级高一年级全国课时时长（分钟）1201 正、余弦和正切的图像2 辅助角公式3 三角函数的综合应用1 熟记三角恒等公式，并能狗利用三角恒等公式熟练的应用在三角函数中。利用三角恒等公式解三角形，建立三角函数的思想。学习目标学习重点学习难点2 三角恒等公式在其他知识上的应用,来培养学生应用数学分析、解决实际问题的能力 .3 培养学生学习的积极性和主动性，发现问题，善于解决问题，探究知识，合作交流的意识，体验数学中的美，激发学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质三角恒等公式的应用。三角恒等公式的应用，解决实际问题学习过程一、复习预习1终边相同

2、的角：具有共同始边与终边的角：2k,02 , k Z 。2任意三角函数： siny,cosx, tany。x3同角三角函数关系：sin 2cos21, tansin。cos4 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。5 和和差公式sin() sincoscos sin ； cos() cos cos msin sin ；tan(tantan。)tan1mtan6 二倍角公式sin 2sin cos . cos 2cos2sin22cos 21 1 2sin 2. tan 22 tan.1tan27 降幂公式sin2 x1 cos 2x， cos2 x1 cos2x228 辅助角公式a sinb co

3、s=a2b2sin() ( tanba).二、知识讲解主要知识：1 三种三角函数的图像与性质性质ysin xycosx y cosxytan x一周期简图最小正周期2奇偶性奇函数增区间kZ,2k, k2 2单调性23减区间kZ(2k), k,2222偶函数奇函数2k ，2k2，k Z k,k, k Z222k， 2k ，k Z上是增函数对称轴x k , k Zx k， k Z对称性2对称中心 (k,0), k Z对称(k， 0)， k Z( k2,0), k Z中心22 三角函数的周期公式函数 y sin(x) ， x R 及函数 ycos(x) ， x R(A, , 为常数，且 A 0 ，

4、0) 的周期T2tan(x ) ， x k, kZ (A, , 为常数，且 A 0 ， 0) 的周期 T.；函数 y2三、例题精析考点一 求函数的定义域1cos2x【例题 1 】:求 y的定义域cosx【答案】 : x | x k , k Z2【解析】： 因为分母不为零 cosx0，定义域为 x | xk ,k Z2【例题 2 】:求 ysin 2 x 的定义域【答案】 : x | k xk , kZ2【解析】： 由得 sin 2x0 ， 2k2x 2k(kZ ) ，定义域为 x | k x k, k Z 2考点二 求函数的最小正周期【例题 3 】： 函数 f ( x)3 sin( x), x

5、R 的最小正周期为24A.B.C.2D.42【答案】：D【解析】：24，故 D 正确.由 T12【例题 4 】： 求 ysin(cos(2x) 的最小正周期2x)33【答案】：【解析】：sin(cos(2 x)2 cos(2x72由题意 y2 x) ，T，即最小正周期为。33122考点三 三角函数的最值【例题5 】： 已知函数 f(x)=3sin( x-)(>0) 和 g(x)=2cos(2x+)+1的图象的对称轴完全相同。若6x 0, ，则 f(x) 的取值范围是。23【答案】： - ,32, 5【解析】：由题意知，2 ，因为 x0, ，所以 2x- ，由三角函数图象知：2666f(x

6、) 的最小值为 3sin (-)=- 3，最大值为 3sin=3 ，所以 f(x)的取值范围是 - 3 ,3 。6222【例题 6 】： 当函数 ysin x3 cos x(0x2) 取得最大值时 , x_.5【答案】： x62 ，当 x5 ， y 最大。【解析】： 已知将函数化解为 y2sin( x) ， 0x2 ,x33336考点四 三角函数的单调性【例题 7 】： 函数 ysin 4 xcos4x 的单调递增区间是【答案】： k4, kkZ222【解析】：根据题意知：ysin4 xcos4 x , y(sin 2 xcos2x) 22sin 2 x cos2 x1sin2 2x.1sin

7、2 2x1 cos4x3cos 4x,当 2k4x 2k, kxk ( kZ ) ，函数单调递1444222增，递增区间为kkkZ；24,2【例题 8 】： 求下列函数的 ycos2x3 sin 2x 单调区间【答案】： 递增区间为 k2, k)(k Z ) ，递减区间为 4k2,4k8( kZ ) 。3633【解析】： 根据题意知： ycos2x3 sin 2x2 cos(2x)，当 2k2x32k ，函数单3调递增，递增区间为k2,k)( k Z ) ； 2k2x2k，函数单调递减，递减区间为3634k2 ,4k8( kZ) 。33考点五三角函数的图像【例题 9 】： 下列函数中，图像的一

8、部分如右图所示的是()（ A ） ysin( x)（ B） ycos(2x)66（ C） ycos(4x)（ D） ysin(2 x)36【答案】： B【解析】：根据题意，T2,2，当正弦函数时， 2,，当余弦函数4,T41223时， 20,6，即选 B12【例题 10 】：）（ >0, -< ）的图像如图所示， 则=_已知函数 y=sin （ x+【答案】： 9105 ,4，把(2sin( 4) 有：sin( 89【解析】：由图可知， T,1) 代人 yx) 1,。255510考点六三角函数的综合问题【例题 11 】：已知函数 f ( x)2 cos x sin( x3)3 si

9、n2xsin x cos x(1) 求函数 f ( x) 的最小正周期； (2) 求 f ( x) 的最小值及取得最小值时相应的x 的值；【答案】：（ 1 ） T（2）-2【解析】： (1)f ( x)2 cos x sin( x)3 sin2 xsin xcos x3= 2 sin x cos x3 cos2x2 sin(2x) f ( x) 的最小正周期 T3(2) 当 2x32k，即 xk5(kZ ) 时， f ( x) 取得最小值 2.212【例题 12 】：已知函数 f(xcos2xsin2x23 sinxcosx1.)（ 1 ）求 f (x) 的最小正周期，并求f ( x) 的最小

10、值；（ 2 ）若 f ( )2 ，且,2，求 的值4【答案】：（1）-1 （2）3【解析】：（） f (x)cos2 xsin 2x2 3 sin x cos x13 sin 2xcos 2x1) 1.1= 2 sin( 2x6因此 f ( x) 的最小正周期为,最小值为1.（2 ）由 f ()2 得 2sin(2)1=2 ，即 sin(2)1，而由,，得2276243,6266故 25， 解得.636四、课堂练习【基础型】1 函数ysin(2 x) 图像的对称轴方程可能是（）3A xBxCxD x612612答案： D解析： y sin(2 x) 的对称轴方程为 2xk，即 xk， k 0,

11、 x，选 D22.求 y cos2 2x3321212sin 2x cos 2x 的最小正周期 .答案：2解析：根据题意 y cos2 2x sin 2x cos2 x1 cos4 xsin 4x2 sin( 4x)1， T2，2224242即最小正周期为2【巩固型】1 已知函数 y2 sin(x)(0)在区间 0,2 的图像如下：那么（）A. 1B. 2C. 1/2D. 1/3答案： B解析：由图象知函数的周期T，所以22 求函数 y1 sin(2x) 的单调区间243答案：递减区间为3k3,3k9 ，递增区间为 (3k9,3k21( kZ ) 。8888解析：（ 1） y1 sin(2 x

12、 ) = 1sin （ 2x ），故由2 k 2x 2 k+ ，24323423423x3k9Z2 2x 2 k + 3。3k（ k ），为单调减区间；由+8k342823 k+ 9x3 k+ 21（ k Z ），为单调增区间，递减区间为 3k39,3k ，8982188递增区间为 (3k,3k( kZ ) 。88【提高型】1 已知函数 f (x)Asin( x)( A0，0) ， xR 的最大值是 1 ，其图象经过点M 13，2（1）求f (x)的解析式；（ 2 ）已知，且312的值，f ()，f ()，求f ()0521356答案：651解析 ：（ 1）依题意有 A1 ，则 f ( x)s

13、in( x)，将点 M ()1，而0，,) 代入得 sin(53232，故 f ( x)sin(x) cosx .3，262（ 2 ）依题意有 cos3 ,cos12，而,(0,) ，5132sin1 (3)24 ,sin1(12)25，551313f ()cos()coscossinsin3124556513513.652设 f ( x)a sinxb cosx(0) 的周期 T，最大值 f ()4 ，12（1）求、 a 、 b 的值；（ 2 ） 若 、 为方程 f (x)0的两根，、终边不共线，求tan()的值 。答案：（ 1）2 ， a2,b3（ 2）33解析： (1)fxa 2b 2s

14、in(x)，T，2 ，又f ( x) 的最大值。( )f ()4，4a 2b 2 ，且 4asin 2b cos 2，由 、解出 a2,b3 。121212(2)f (x)2 sin 2x23cos2x4sin(2x3) ，f ()f ()0 ，4sin( 2)4 sin( 23)232k23， 或22k(2) ，333即k（舍去 )，或k，tan()tan(k)3( k Z ) 。63xx63已知函数 f (x)cos2sin 2sin x .22（ I）求函数 f ( x) 的最小正周期； （ II ）当 x0(0,) 且 f ( x0 )42) 的值。5时，求 f ( x064答案：（

15、I）T2.4632（II ）10f ( x)cos xsin x2.解析：由题设有2 sin( x) （ I ）函数 f ( x) 的最小正周期是 T4（ II ）由 f ( x0 )42得 2 sin( x042sin( x045), 即),4545因为 x0 (0,) ,所以 x0). 从而 cos( x02( x04234(,)1 sin)1 ( ).4424455于是 f ( x0)2 sin( x0)2 sin( x046)6462sin( x0cos(x02(4331 )46 32 .)cos6)sin446525210五、课程小结本节课是高考中必考的知识点，而且在高考中往往以基础

16、的形式考查，难度中等，所以需要学生要准确的理解知识点，灵活并熟练地掌握考查的对象以及与其他知识之间的综合，三角函数的图像与性质的重点是在其他知识上的应用。（ 1 ）三角函数恒等公式的应用。（ 2 ）正、余弦，正切的图像与性质。（ 3 ）三角恒等公式在正余弦上的应用。（ 4）三角函数的综合应用 。六、课后作业【基础型】1 函数 f ( x)3 sin xsin(x) 的最大值是2答案： 2解析：由 f ( x)3sin xcos x2sin( x)f ( x)max2 .622 已知函数 f (x)Acos( x) 的图象如图所示，f ()f (0)=()，则232B.211A.3C. D.32

17、2答案： B解析：由图象可得最小正周期为2，于是f (0)f (2) ,注意到2与关于7对称，所以f ( 2 )f (2333212)。3233 若函数 f ( x)(13 tan x)cos x ， 0x，则 f (x) 的最大值为2A 1B 2C3 1D 3 2答案： B解析：因为f (x)(13 tan x)cos x =cosx3 sin x=2cos( x)当 x是，函数取得最大值3，3为2. 故选B【巩固型】4 已知函数 f(x)=3sin(x-)(>0) 和 g(x)=2cos(2x+)+1 的图象的对称轴完全相同。若 x0, ，则62f(x) 的取值范围是。答案： - 3

18、 ,32解析：由题意知，2 ，因为 x0, ，所以 2x-6, 5 ，由三角函数图象知：266f(x) 的最小值为 3sin (-6)=- 3，最大值为3sin=3 ，所以 f(x)的取值范围是 - 3 ,3 。2225 已知函数 f ( x)sin x cos x3 cos2x . 将 f ( x) 写成 A sin(x) 的形式，并求其图象对称中心的333横坐标；答案： x3 k(kZ)22解析： f ( x) sin x cos x3 cos2 x =1 sin 2x3 cos 2x3= sin( 2x3)33332323232若 x 为其图象对称中心的横坐标，即sin( 2x)=0，2x3k，解得： x3 k(kZ )。333226 下列函数中，图象的一部分如右图所示的是A. ysinxB. ysin2 x66C. ycos4xD. ycos2x36答案： D解析：根据题意知， A 1，周期为T(), T2,2，假如正弦4126422,，假如余弦 2120,，所以 D。1236【提高型】7已知a是实数，则函数f ( x) 1 a sin ax的图象不可