(完整版)三角形五心的证明

1、三角形五心内心：内切圆的圆心，即三条角平分线的交点。外心：外切圆的圆心，即三条中垂线的交点。旁心：旁切圆的圆心，即三条角平分线的交点。（类似、但不同于内心）垂心：三条高的交点。重心：三条中线的交点。注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。内心：三条角平分线的交点证：过点O作三边的垂线，垂足分别为D、 E、 F。由角平分线定理（角平分线上一点到两边的距离相等）得：OD=OF， OF=OE OD=OE AO为角 BAC的平分线外心：三条中垂线的交点证：连结OA、 OB、 OC，并过 O点作 OF BC于点 F。由线段中垂线定理（线段中垂线上一点到两端点的距离相等） ，得：OA=OB， OA=OC.

2、OB=OC点 O在线段 BC的中垂线上 OF为线段 BC的中垂线旁心：证：过点O作三边的垂线，垂足分别为D、 E、 F。由角平分线定理（角平分线上一点到两边的距离相等）得：OD=OF， OD=OE OF=OEBO为角 ABC的平分线垂心：三条高的交点证：连结DE，连结 AO交 BC于 F 点。角 BDC=角 BEC=90° B、 D、 E、 C四点共圆（以 BC为直径的圆） 。角 FBO=角 CDE ······（同弦 ( 弧 ) 所对圆周角相等）又角 ODA=角 AEO=90° O、 D、 A、 E 四点共圆（以

3、 AO为直径的圆） 。角 AOE=角 ADE （同弦 ( 弧 ) 所对圆周角相等）且 角 AOE=角 BOF角 ADE=角 BOF ······由可知，角OFB=角 ODA=90° AF为 BC边上的高。重心：三条中线的交点方法一：证：连结AO交 BC于点 F。 D 为 AB的中点 S ACD=S BCD （ S表示三角形的面积）（底相等 (AD=BD), 高相同 ( 都为点 C 到 AB的距离 ) ）S AOD=S BOD S AOC=S BOC ······同理

4、可得：S BOC=S AOB ······由得， S AOC=S AOB又 AOC与 AOB底都为 AO它们高相等，即：点B 和点 C 到 AF 的距离相等。对于 AFB和 AFC，底相同（为AF），高相等（分别为点 S AFB=S AFCB 和点C 到AF 的距离）。又对于 AFB和 AFC，高相同（为点A 到 BC的距离）。它们底相等，即：BF=CF AF为三角形的中线。方法二：证：连 AO交 BC于点 F，连 DE交 AF 于点 N，G， H分别为 OB、 OC的中点，连DG， EH。连 GH交 AF 于点 M。 DE为 ABC

5、的中位线 DE#1/2BC （ #表示平行且等于）同理，可得： GH#1/2BC DE#GH 即：四边形 DEHG为平行四边形。易证， ODN OHM，得 HM=DN DG为 ABO的中位线 DGNM,即四边形DGMN为平行四边形 DN=GM HM=GM,再由三角形中位线定理得， BF=CF。 AF为三角形的中线。三角形有五颗心，重外垂内和旁心， 五心性质很重要，认真掌握莫记混重 心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为 “重心 ”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好外 心三角形有六元素，三个 内角 有三边作三边的中垂线，三线相交共一点此点定义为外心，用它可作外接圆 内心外心莫记混，内切外接是关键垂 心三角形上作三高，三高必于垂心交 高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形 有十二，构成六对相似形，四点共圆 图中有，细心分析可找清 .内 心三角对应三顶