(完整版)三角形全等之倍长中线(讲义)

1、三角形全等之倍长中线（讲义）? 课前预习1. 填空（1）三角形全等的判定有：三边分别 _的两个三角形全等，即（ _）；两边和它们的 _分别相等的两个三角形全等， 即（_）；两角和它们的 _分别相等的两个三角形全等， 即（_）；两角和其中一个角的 _分别相等的两个三角形全等，即（_）；斜边和 _边分别相等的两个直角三角形全等， 即（ _）（2）要证明两条边相等或者两个角相等， 可以考虑放在两个三角形中证 _；要证明两个三角形全等需要准备_组条件，这三组条件里面必须有 _；然后依据判定进行证明其中 AAA ，SSA 不能证明两个三角形全等，请举出对应的反例2. 想一想，证一证已知：如图， AB 与

2、 CD 相交于点 O，且 O 是 AB 的中点（1）当 OC=OD 时，求证： AOC BOD；（2）当 AC BD 时，求证： AOC BODCBAOD1? 知识点睛1. “三角形全等”辅助线：见中线，要 _，_之后 _2. 中点的思考方向：（类）倍长中线AAMBDCBDC延长 AD 到 E，使 DE=AD，延长 MD 到 E，使 DE=MD ，连接 BE连接 CE平行夹中点ABFDEC延长 FE交BC的延长线于点 G2? 精讲精练1. 如图， AD 为 ABC 的中线（1）求证： AB+AC >2AD（2）若 AB=5，AC=3，求 AD 的取值范围ABDCA2. 如图，在 ABC

3、中， AD 平分 BAC，且 BD=CD求证： AB=ACBDC33. 如图，CB 是 AEC 的中线，CD 是 ABC 的中线，且 AB=AC求证： CE=2CD； CB 平分 DCECEBDA4. 如图，在 ABC 中，D 是 BC 的中点，E 是 AD 上一点，BE=AC， BE 的延长线交 AC 于点 F求证： AEF=EAFAFEBDC45. 如图，在 ABC 中，AD 交 BC 于点 D，点 E 是 BC 的中点，EF AD 交 CA 的延长线于点F ，交 AB 于点 G，BG=CF 求证： AD 为 ABC 的角平分线FAGBEDC6. 如图，在四边形 ABCD 中， ADBC，

4、点 E 在 BC 上，点 F是 CD 的中点，且 AFAB，已知 AD=2.7，AE=BE=5，求 CE的长FAGBEDCADFBEC57.如图，在正方形 ABCD 中， CD=BC， DCB=90°，点 E 在 CB 的延长线上，过点 E 作 EFBE，且 EF=BE 连接 BF，FD，取 FD 的中点 G，连接 EG，CG求证： EG=CG 且 EGCGADGFEBC6【参考答案】? 课前预习1. （1）相等， SSS；夹角， SAS；夹边， ASA ；对边， AAS ；直角， HL（2）全等，三，边2. （1）证明：如图 O 是 AB 的中点 AO=BO在 AOC 和 BOD

5、中AOBOAOCBODOCOD AOC BOD（ SAS）（2）证明：如图O 是 AB 的中点AO=BOACBDA=B在 AOC 和 BOD 中A B AO BOAOCBOD AOC BOD（ ASA ）? 精讲精练1. （1）证明：如图，A2B1 DCE7延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BEAE=2ADAD 是 ABC 的中线BD=CD在 BDE 和 CDA 中BDCD1 2 ED AD BDE CDA（SAS）BE=AC在 ABE 中， AB+BE>AEAB+AC>2AD（2）解：由（ 1）可知AE=2AD， BE=AC在 ABE 中，AB BE<AE<A

6、B+BEAC=3，AB=55 3<AE<5+32<2AD<81<AD<42. 证明：如图，延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE在 ADC 和 EDB 中ACD BD1 2ADCEDBAD ED ADC EDB（SAS）DCBAC=EB， 2=EAD 平分 BAC1=21=EEAB=BEAB=AC83. 证明：如图，延长 CD 到 F，使 DF=CD，连接 BFCF=2CDCCD 是 ABC 的中线3 2 1BD=AD45在 BDF 和 ADC 中EB6DABD ADADCBDFFDF DC BDF ADC（SAS）BF=AC， 1=FCB 是 AE

7、C 的中线BE=ABAC=ABBE=BF1=FBFAC 1+2+ 5+6=180°又 AC=AB1+2=5又 4+5=180°4=5+6即 CBE= CBF在 CBE 和 CBF 中CBCBCBECBFBEBF CBE CBF（SAS）CE=CF， 2=3CE=2CDCB 平分 DCE94. 证明：如图，延长 AD 到 M，使 DM=AD，连接 BMD 是 BC 边的中点ABD=CD1F在 ADC 和 MDB 中23 ECD BDBDCADCMDBADMD ADC MDB（ SAS）1=M，AC=MBBE=ACBE=MBM=31=33=21=2即 AEF= EAF5. 证明

8、：如图，延长 FE 到 M，使点 E是BC的中点BE=CE在 CFE 和 BME 中FEMECEFBEMBCEBEMEM=EF，连接 BMFAG 2 31EDC CFE BME（SAS）CF=BM， F=MBG=CFBG=BMM1=M1=FADEF3=F，1=22=3即 AD 为 ABC 的角平分线106. 解：如图，延长 AF 交 BC 的延长线于点 GADBCAD3=G1 2 3点F是CD 的中点FDF=CF在 ADF 和 GCF 中3GBECGAFDGFCDFCF ADFGCF（AAS ）AD=CGAD=2.7CG=2.7AE=BE1=BABAF 1+2=90°B+G=90°2=GEG=AE=5CE=EG CG=5 2.7=2.37. 证明：如图，延长 EG 交 CD 的延长线于点 MMADGF1423EBC由题意， FEB=90°， DCB=90° DCB+FEB=180°EFCD11FEG=M点 G为FD 的中点FG=DG在 FGE 和 DGM 中1MFGEDGMFGDG FGE DGM