八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球(学生版)

1、八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球,三棱锥与长方体的外接球相同）类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径图1方法:例1A.(2)(3)b2找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R） =a（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4 ,16二 B 20二C 24 二Dc2，即 2R = a2 b2 c2，求出 R体积为16，则这个球的表面积是（ 32 二若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为.3，则其外接球的表面积是在正三棱锥 S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且 AM _ MN ,若侧棱SA = 2、3,则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是解：

2、引理：正三棱锥的对棱互垂直 ，证明如下：如图(3) -1，取AB, BC的中点D,E，连接AE,CD , AE, CD交于H，连 接SH，则H是底面正三角形 ABC的中心， SH _平面ABC, SH _ AB ,AC 二 BC , AD 二 BD , CD _ AB , AB _ 平面 SCD , . AB _ SC ,同理：BC _ SA, AC _ SB，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图(3) -2 ,- AM _MN , SB/MN ,AM _SB, AC_SB , SB_平面 SAC ,SB_SA, SB_SC, SB_SA, BC _ SA,C(3)题-1SA_ 平面 SBC,S

3、A_SC ,故三棱锥S - ABC的三棱条侧棱两两互垂直，(2R)2 =(2、.3)2 - (-.3)2 (2、.3)2=36，即 4R36 ,外接球的表面积是 36 二题-2（4）在四面体S-ABC中，SA_平面ABC , . BAC =120 ,SA二AC = 2, AB = 1,则该四面体的外接球的表面积为（)A.11-：10小 40B.7 二C.D.-33（5） 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3,那么它的外接球的表面积是 （6） 已知某几何体的三视图如图上右所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形,贝U该几何体外接球的体积为类型二、垂面模型（一条

4、直线垂直于一个平面）1.题设：如图5, PA_平面ABC解题步骤：第一步：将AABC画在小圆面上， A为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD，连接PD，贝V PD必过球心O ;第二步：01为 ABC的外心，所以OO! _平面ABC，算出小圆01的半径O1D =r （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得sin A sin B = 2r), OO1 =】PA ；sinC2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 =PA2(2r)2 =2R 二.PA2(2r)2 ； R2 二 r200；= R = r2 OO122.题设：如图6, 7, 8, P的射影是ABC的外心=三棱锥P-AB

5、C的三条侧棱相等 =三棱锥P _ABC的底面. ABC在圆锥的底上，顶点 P点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取=ABC的外心01，则P,OQ三点共线;第二步：先算出小圆 01的半径AOr，再算出棱锥的高POh （也是圆锥的高）第三步：勾股定理：OA2 =OiA2 0i02= R2 =（h-R）2 r2，解出 R.方法二：小圆直径参与构造大圆。例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为A. 3 二B. 2 二C估D3.以上都不对类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）图9-1图9-2图9-3pOACBOi图9-41.题设：如图9-1，平面PAC _平面ABC，

6、且AB _ BC （即AC为小圆的直径）第一步：易知球心 O必是 PAC的外心，即 PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC = 2r ;第二步：在 ¥AC中，可根据正弦定理 bc 2R，求出R。sin A sin B sin C2.如图9-2，平面PAC _平面ABC，且AB _ BC （即AC为小圆的直径）oc2 BC2 OQ2 u R2=r2 OQl AC=2. R2_OQ23.如图9-3，平面PAC _平面ABC，且AB_ BC （即AC为小圆的直径），且P的射影是:ABC的外 心:二 三棱锥P - ABC的三条侧棱相等二 三棱P - ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点

7、 P点也是圆 锥的顶点解题步骤： 第一步：确定球心 O的位置，取 ABC的外心O1，则PQOj三点共线;第二步：先算出小圆 O1的半径AOr，再算出棱锥的高 POj =h （也是圆锥的高）第三步：勾股定理：OA2 =OiA2 OiO2= R2 =（h-R）2 r2，解出R4.如图9-3，平面PAC _平面ABC，且AB _ BC （即AC为小圆的直径），且PA _ AC，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：（2R）2二PA2 （2r）2二2R= . PA2 （2r）2 ； R2 二 r2 OOi2 = Rr2 OO12例3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为1，底面边长为2.3

8、 ,则该球的表面积为(2)(3)在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC= 3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60 ,则该三棱锥外接球的体积为（A.二B.)JiC. 4D.3（4）已知三棱锥 S-ABC的所有顶点都在球径,且SC = 2;则此棱锥的体积为（3O的求面上，厶ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直）Bi C6类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）正四棱锥S -ABCD的底面边长和各侧棱长都为 .2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为OCBBiCi图 10-1AAiOi图 10-2B1题设：如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱

9、，棱柱的上下底面可以 是任意三角形) 第一步：确定球心 0的位置，01是 ABC的外心，贝U 00“ _平面ABC ； 第二步：算出小圆 0“的半径AOr , OOAAlh( AA, =h也是圆柱的高)；第三步：勾股定理:0A2 =01A2 010= R2/h222 /h 2= (?)R= . r (2)，解出2 2例4(1) 一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，9且该六棱柱的体积为 -，底面周长为3，则这个球的体积为8(2)直三棱柱 ABC -ABG的各顶点都在同一球面上，若AB = AC =人人=2, BAC =120，则此球的表面积等于。(

10、3) 已知.EAB所在的平面与矩形 ABCD所在的平面互相垂直，EA二EB = 3, AD = 2, AEB = 60，则多面体E -ABCD的外接球的表面积为 。(4) 在直三棱柱 ABC -ABG中，AB =4, AC =6, A, AA 4则直三棱柱 ABC -人石心的外接球3的表面积为。类型五、折叠模型第一步：先画出如图所示的图形，将. BCD画在小圆上，找出. BCD和：A BD的外心 比和H2第二步：过 Hi和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心0，连接OE,OC ；2 2 2 第三步：解 OEHi，算出OHi，在Rt OCH i中，勾股定理： OHi CH

11、i = OC例5三棱锥P - ABC中，平面PAC _平面ABC， PAC和厶ABC均为边长为2的正三角形，则三棱 锥P-ABC外接球的半径为 .类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等， 求外接球半径（AB二CD，AD = BC，AC = BD） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为 a,b, c， AD = BC = x， AB = CD = y， AC = BD = z，列方程组，2ae2b2c2a22=X2/cr»22 丄2 丄 2=y = (2R) a b c =x2y2z2补充：V

12、a_bcd1i=abc abc 4 abc63第三步：根据墙角模型,2R = a2 b2 c2AxDycyzxa图12R2X2y2z2R= x2 y2z2，求出R，例如，正四面体的外接球半径可用此法。例6（ i）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是(1)题（2） 个正三棱锥的四个顶点都在半径为i的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是()A.3 3B._2c<3D.343412(3) 在三棱锥 A-BCD中，若AB二CD = 2, AD二BC = 3, AC二BD =4,则三棱锥 A-

13、BCD外接球的表面积为。(4) 在三棱锥 A-BCD中，AB二CD =5,AC二BD =6,AD二BC = 7,则该三棱锥外接球的表面积为.(5) 正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为 类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型C题设： APB =/ACB =90，求三棱锥P - ABC外接球半径(分析：取公共的斜边的中点O ,连接1OP,OC，贝y OA =OB =OC =OP AB， - O为三棱锥P - ABC外接球球心，然后在 OCP中求出2半径)例7 (1)在矩形ABCD中，AB=4, BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面

14、角 B - AC - D , 则四面体ABCD的外接球的体积为()A.12(2)在矩形ABCD中,的外接球的表面积为125_.厂125125C .D .963AB =2 , BC =3,沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC ,所得三棱锥 A - BCD类型八、锥体的内切球问题ACBP图141题设：如图14，三棱锥P _ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步：先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心;1第二步：求DH BD，P0二PH-r，PD是侧面 ABP的高；3第三步：由 P0E相似于 PDH，建立等式：0E =-P0，解出rDH PD2. 题设：如图15，四棱锥PABC上正四棱

15、锥，求其外接球的半径第一步：先现出内切球的截面图，P,0, H三点共线；1第二步：求FH）BC , po二PH-r , PF是侧面 PCD的高；2OG po第三步：由APOG相似于 PFH，建立等式：，解出HF PF3题设：三棱锥 P - ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；D第二步：设内切球的半径为r，建立等式：VP山BC=VOBCVoab-VO-PAC -Vo-_ 11VP -ABCS 'ABC r SPAB331r 3Spac1r3 Spbc1r 6(S abc'S 'PAB ' SPAC第三步:解出r3V P ABCSo SBC ' So -PAB ' So _PAC ' So _PBC习题：1. 若三棱锥S - ABC的三条侧棱两两垂直，且SA = 2 , SB二SC = 4 ,则该三棱锥的外接球半径为 （）A. 3B. 6C. 36D. 92. 三棱锥S - ABC中，侧棱SA_平面ABC，底面ABC是边长为 3的正三角形，SA= 2、3，则该三 棱锥的外接球体积等于.3. 正三棱锥S - ABC中，底面ABC是边长为 3