内切球与外接球常见解法

1、内切与外接1球与柱体1.1 球与正方体如图1所示'正方体皿CZ）、设正方悴的棱长%a -为棱的中点，O齿球的球心常见组合有式有三美一是球先正方体的内切球载面图为正方形2FGW和其内切圆则 耳：|。牛心|；二是与正方体各機相切的球，截面图対正方形斷胡和亘扑拷囲GO = R=-a,三是球为正方体的外接球，截苛图対2图I长方册ACA.C,和其外援圆，则|40|二用二号位-通过这三种粪型可以例1 棱长为1的正方体ABCA1B1C1D1的8个顶点都在球0的表面上，E, F分别是棱AA，DD1的中点，则直线 EF被球0截得的线段长为（）A.1.2球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外

2、切球但是不一定存在内切球设长方体 的棱长为a,b,c,其体对角线为l.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其1 Ja2 + b2 +c2外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径R.2 2例2在长、宽、高分别为 2, 2, 4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体,则球经过的空间部分的体积为 （）10 n8 n7 nA. 3B.4 nC. D31.3 球与正棱柱球2般的正棱柱的组合沐常以外捋形态居参下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直站三第形法.设正三棱柱皿岭込 3=导加直角三瞬心的勾股定理,可ABC-A 的高为乱底酝边长为心 如图2所示，A分别皆 DQ的中

3、点0例3正四棱柱ABCD - ABGD,的各顶点都在半径为 R的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为 2球与锥体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体 积或者表面积等相关冋题2.1球与正四面体22 aCE二一，解得:r£4、6a.正匹面障作芮一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在內 切琥，芥且爾心合一，禾这点可顺利解决球的半徑肖正四面如的 棱长的关系如图4设正四商体3-£占匚的棱长対内切球半径 対,外接球的半径为尺取卫£的中点曲lb E为&

4、;在底百的射 影，连接URSD豳为正四面悴的高在截面三甬形曲J件一个 2边血和LC相切,H心在高甜上的虱即次內切球的截面.因为 正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同次0.此时, CO=O=R,OE=r , SE = a,CE = -a, 则 W例4将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）3 2 62 6 2、.64、3 2 6B. 2+C. 4+D.A. 33332.2球与三条侧棱互相垂直的三棱锥法，即耙三械锥补疤成正方体或者长方触常见两种形式;C0一是三械锥的三条ffll棱互相垂直并且相察则可以补形沟一个正方体，它的 外接球的球心就是三

5、馥锥的桝球的球心如图5-三棱锥时-卫耳耳的外 接球的球心和正方体 倍匚口4屁口口1曲夕強球的球心堇合.设血=4 则盘=G S二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且不相等，则可以补形 2洵一个檢牙体，它的外接球的珑心就是三棱锥的外接球的球2. 2 J j心.0二“ +母Z =-（/为丧方椒的障对角线长）.44例5在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM _ MN ,若侧棱SA=23,则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是 2.3 球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点 在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球

6、为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R 这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个 小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积例6在三棱锥P ABC中,PA= PB=PC= 3 ,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°,则该三棱锥外接球的体积为（）兀4兀A .二 B. C. 4 二 D.33SC例7矩形ABCD中，接球的球心，则R.AB =4, BC =3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,则四面体 ABCD的外接球的体积是（）A.125JTB.12512ji33 球与球对多个小球结合在一起， 组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解例7在半径为R的球内放入大小相等的 4个小球，则小球半径 r的最大值为（）d. 了a4球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解 例：与正四面体各棱都相切的球的半径为棱的一半：例8把一个皮球放入