四边形辅助线练习题

1、特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法 一、和平行四边形有关的辅助线作法 平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线 构造平行四边形.1.利用一组对边平行且相等构造平行四边形 例1如图1,已知点0是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCD是平行四边形.求证:0E与AD互相平分.说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造 平行四边形.2.利用两组对边平行构造平行四边形例2如图2，在ABC中,E

2、、F为AB上两点，AE=BF ED/AC，FG/AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题.3.利用对角线互相平分构造平行四边形例3如图3,已知AD是ABC勺中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求证BF=AC. / /说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形中点或中线应思考这种方法二、和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题 例4如图5,在ABC中，/ACB=90，/BAC的

3、平分线交BC于点D,E是AB上一点，且AE=AC EF/BC交AD于点F,求证：四边形CDEF是菱形.例5如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长.说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅 助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.三、与矩形有辅助线作法 和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题;（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题线的作法较少.例6如图7,已知矩形ABCD内一点

4、，PA=3, PB=4, PC=5.求PD的长.当已知.和矩形有关的试题的辅助4图6四、与正方形有关辅助线的作法它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正 方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线1例7如图8,过正方形ABCD勺顶点B作BE/AC，且AE=AC又CF/AE.求证：/BCF=2/AEB.说明：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质.通过连接正方形的对角线构造正方 形AHBO进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题正方形是一种完美的几何图形,图7与中点有关的辅助线作法一、有中线时可倍长中线，构造全等三角形或平行四边

5、形.例1已知：如图，AD为AABC中线，求证：AB + AC 2AD.类题1.已知：如图，AD为AABC的中线，AE=EF求证：BF=AC.二、有以线段中点为端点的线段时，常加倍此线段，构造全等三角形或平行四边形 例2已知：如图，在MBC中，必C =90，M为AB中点，P、Q分别在2 2 2于M.求证：PQ = AP2+ BQ2.ACBC上，且PM丄QM类题2已知：MBC的边BC的中点为N,过A的任一直线AD丄BD于D NE=ND.CE丄AD于E.求证:类题3已知：如图，E、F分别为四边形ABCD的对角线中点，ABCD求证：EF 1（AB-CD）.2类题4.如图，MBC中，AD是高，CE为中线

6、，DG丄CE,G为垂足，DC=BE求证： （1）G是CE的 中点； （2）NB =2/BCE.三、有中点时，可连结中位线.例3如图，iABC中，D、E分别为AB Q,求证：AP=AQAC上点,且BD=CE M N为BE、CD中点，连MN交AB AC于P、四、有底边中点，连中线，利用等腰三角形“三线合一”性质证题例4已知：如图，在RUABC中，NBAC=90,AB=ACD为BC边中点，P为BC上一点，PF丄AB于F,PE _L AC于E.求证：DF=DE.类题6已知：梯形ABCD中,AB/ CD E为BC中点，EF丄AD于F.求证：S梯形ABCEF ” AD.类题5.已知：如图，矩形ABCD E

7、为CB延长线上一点，且AC=CE F为AE中点，求证:BF丄FD.六、与梯形中点有关的辅助线：有腰中点时,常见以下三种引辅助线法(1)例5.已知：如图，在直角梯形ABCD中,AD/ BC,AB丄BC,M为CD的中点.求证:AM=MB.【作业】1、已知ABC和DBE为等腰直角三角形，/ABC艺DBE=90,AB、D在同一直线上，M N P分别是AD AC DE边上的中点，试说明MP与MN的关系并证明。2、如果上题中A、B、D不在同一直线上，其余条件不变，上述结论是否发生变化？证明结论。3、平行四边形ABCD对角线相交于点求证：P E=EF0, P、E F分别是AD OB 0C的中点，AC=2AB

8、4、等腰梯形ABCD中,DC/ AB,/AOB=60,E、F、M分别是OD OA BC的中点。 求证：7、BD CE分别为ABC外角平分线，AMI BD于M ANL CE于N,探究MN与AB BCEFM是等边三角形。5、如图,直平分。6、如图,在四边形ABCD中，AB=CD M N、P、Q分别是AD BC在ABC中,E是AB的中点，CD平分/ACB ADXCD,垂足为点D,求证:2DE=BC-ACBD AC的中点。求证：MN与PQ互相垂AC的关系。附加题：(1)若将上题中BD改为/ABC的平分线，其它条件不变，则上题结论是否成立。(2)若BDCE分别为/ABC和/ACB的平分线，其它条件不变，

9、以上结论是否成立？(画图、证明8ABC中,如图(1)AB=AC/BACP，在AB AC上截取AD AE,且AD=AE连结D吕如图1所示，_则易证 将ADE逆时针针旋转到如图所示位置，连结BDBD CE延长线所夹锐角的度数。2所示，判断BD与CE的数量关系及CEBD=CE点G F分别是等腰ABC(2)索/GPF与a的关系，并加以证明B等腰ADE底边的中点，/BAC=/ DAE畋，点P是线段CD的中点，试探9、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形.请解答下列问题：(1)写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；(2)如图1,在ABC中，AB=AC点D在BC上

10、，且CD=CA点E、F分别为BC AD的中点，连接EF并延 长交AB于点G求证：四边形AGEC是等邻角四边形；(3)如图2,若点D在ABC的内部，(2)中的其他条件不变，EF与CD交于点H.图中是否存在等邻角 四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由.顺次连接四边形各边中点所得的四边形是顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是顺次连接矩形各边中点所得的四边形是顺次连接菱形各边中点所得的四边形是的水池，使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上，则水池的形状一定是A等腰梯形B、矩形C、菱形D、正方形3、.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是(

11、平行四边形菱形等腰梯形对角线互相垂直的四边形A.B.C.D.4、 顺次连接四边形ABC各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABC一定是A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形5.如图，在梯形ABCD中,AB/CD AD=BC点E,F,G,H分别是AB,BC，CD, DA的中点，则下列结论一定正 确的是().1、在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB, BC, CD, DA的中点，顺次连结EF，FG, GH H吕(1)请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；(2)试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形，并说明理由。2、如图，在四边形ABC中,AB=AD,CB=CD点

12、M,N,P,Q分别是AB,BC,CD,DA的中点，求证：四边形MNPC是矩形.小结：中点四边形:对角线的四边形的中点四边形是菱形对角线的四边形的中点四边形是矩形对角线的四边形的中点四边形是正方形对角线的四边形的中点四边形是平行四边形(5)练习题:顺次连接正方形各边中点所得的四边形是1、顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，A.矩形B直角梯形C2、如图，小区的一角有一块形状为等梯形的空地，所得图形一定是(菱形D正方形为了美化小区，社区居委会计划在空地上建一个四边形CAA./HGF =ZGHEB.ZGHE =ZHEFC.ZHEF =ZEFG D.ZHGF =ZHEF6、如图，依次连结第一个矩形

13、各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按 照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为第 9 题图10.如图，在四边形ABCD中,E为AB上一点，ADE和BCE都是等边三角形，AB BC别为P、Q M N,试判断四边形PQMr为怎样的四边形，并证明你的结论.7、我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形. 四边形是一个矩形，则四边形ABCD可以是8如图，点&条件时，四边形若一个四边形ABCD的中点F、G H分别是任意四边形ABCD中AD BD BG CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足EFGH是菱形.G9、如图，四边形CABCD中,AC=a,BD