专题03分式的化简求值原卷版

1、专题03分式的化简求值考点遠菽逬）一、分式的概念般地，如果 A, B表示两个整式，并且 B中含有字母，那么式子 叫作分式.分式会-中A叫作B分子，B叫作分母.注意：（1）判断一个式子是否为分式，关键是看分母中是否有字母.分式与整式的根本区别：分式的分母中含有字母，如-,-是整式,2 2A则分式-无意义.B（3）分式有无意义的条件：若BH0，则分式二有意义；若B = 0,B（4）分式的值为零的条件：若篦0，则分式B的值为零，反之也成立二、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.用式子表示是： =A M , A =_(M h0 其中A , B

2、 , M是整式.B B M B B-M注意：（1）分式的基本性质可类比分数的基本性质去理解记忆.利用分式的基本性质，可以在不改变分 式的值的条件下，对分式作一系列的变形.（2）当分式的分子（或分母）是多项式，运用分式的基本性质时， 要先把分式的分子（或分母）用括号括上.再 将分子与分母同乘（或除以）相同的整式.三、约分、最简分式及通分的概念根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分.说明：约分的关键是准确找出分子与分母的公因式，找公因式的方法：（1）当分子和分母都是单项式时,当先找出它们系数的最大公约数，再确定相同字母的最低次幕，它们的乘积就是分子与分母的公因式.分

3、子、分母是多项式时，先将分子、分母因式分解，把分子、分母化为几个因式的积后，再找出分子、分 母的公因式.约分应注意一定要把公因式约尽，还应注意分子、分母的整体都要除以同一个公因式.当分子或分母 是多项式时，要用分子、分母的公因式去除整个多项式，不能只除某一项，更不能减去某一项.例如 霁Ma是错误的2.最简分式分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式.判断一个分式是否为最简分式，关键是确定其分子与分 母是否有公因式(1除外)分式的约分，一般要约去分子和分母的所有公因式，使所得结果成为最简分式或整式.注意：(1)最简分式与小学学过的最简分数类似.(2)最简分式是对一个独立的分式而言的，最大的特点是只

4、有一条分数线形如2+x + 2y3+空3的x+ y分式都不是最简分式.3.通分根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分通分的关键是确定几个分式的最简公分母.(4)最简公分母：各分母所有因式的最高次幕的积，叫作最简公分母.注意：确定最简公分母的一般方法:(1)如果各分母都是单项式，确定最简公分母的方法是：取各分母系数的最小公倍数；凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式；同底数幕取次数最高的这样得到的积就是最简公分母.(2)如果各分母都是多项式，就要把它们分解因式， 再按照分母是单项式求最简公分母的方法,从系数、相同因式、不同因式

5、三个方面去求.方法技巧归纳方法技巧(一)应用分式概念解题的规律1 分式的判别方法根据定义判定式子 A是否为分式要注意两点：一是A, B都是整式，二是 B中含字母且BHO判断B一个代数式是否为分式，还应注意不能把原式变形(如约分等)，而只能根据它的最初形式进行判断如根据a2 -b2(a + b Xa -b ) a -b2(a+b)2(a+b)2 _人2，判定a不是分式，这是错误的.22(a+b)2.对分式有无意义或值为0的条件判断(二)分式基本性质的应用分式的基本性质是分式恒等变形和分式运算的理论依据，正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的 关键利用分式的基本性质可将分式恒等变形，化简分式，简化

6、计算等.1约分(参考三(1)2.通分(参考三(3)(三)分式值的特殊情况(拓展)1 .分式的值为1或-1的讨论AA若分成一=1(BhO )，贝y A = B，反之也成立；若分式 一=-1(BhO )，贝y A与B互为相反数，反之BB也成立.2分式的值为正数的讨论分式的值为正数时，分式的分子与分母同号，利用这一关系构造不等式组可求出待定字母的取值范围.3分式的值为负数的讨论分式的值为负数时，分式的分子与分母异号，利用这一关系构造不等式组可求出待定字母的取值范范围.4分式的值为整数的讨论若分式的值为整数，则分母必为分子的约数，利用这一关系可对分母进行讨论.四、分式的乘除法分式的乘除法与分数的乘除法

7、类似，法则如下:(1)乘法法则:分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子表示是:除法法则:分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，用式子表示是:(3)分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方，用式子表示是:z 、nnI旦 =( n是正整数). lb丿b注意：(1)法则中的字母a , b , c , d所代表的可以是单项式，也可以是多项式.(2)运算的结果必须是最简分式或整式.五、分式的加减法1同分母分式加减法的法则与同分母的分数加减法类似，同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.n-i 卜X t - -1=1 a , b a b用式子表示是： 一=

8、c c c注意：(1)同分母分式相加减”是把各个分式的 分子的整体”相加减，即当分子是多项式时，应将各分子加括号，括号不能省略，(2)运算结果必须化为最简分式或整式.2.异分母分式加减法的法则与异分母的分数加减法类似，异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.用式子表示是：ac=bc=ab d bd bd bd六、分式的混合运算分式的混合运算的顺序是：先乘方，再乘除，最后算加减；遇到括号，先算括号内的；在同级运算中, 从左向右依次进行.注意：（1）实数的运算律对分式同样适用，注意灵活运用，提高解题的质量和速度.（2）结果必须化为最简分式或整式.（3）分子或分母的系数是负数时，要把”提

9、到分数线的前边.（4）对于分式的乘除混合运算，应先将除法运算转化为乘法运算，分子、分母是多项式时，可先将分子、分母分解因式，再相乘.方法技巧归纳方法技巧（一）分式的乘除法及乘方运算的解题技巧1分式的乘除法分式的乘除运算可以统一成乘法运算，分式的乘法一般情况下是先约分再相乘，这样做省时简单易行, 又不易出错；当除式（或被除式）是整式时，可以看作分母是 1的式子，然后再按分式的乘除法则计算.2分式的乘方做分式乘方时，一是注意养成先确定结果的符号，再做其他运算的良好习惯；二是注意运算顺序，先 乘方，再乘除，最后加减.（二）分式加减运算的解题技巧分式的加减法与分数的加减法的运算法则实质是相同的，分为同

10、分母加减法和异分母加减法，所不同 的是分式的加减运算比分数的加减运算要复杂得多，它是整式运算、因式分解和分式运算的综合运用分 式加减运算需要运用较多的基础知识，运算步骤增多，符号变换复杂，解题方法灵活多样.（三）分式化简、求值的解题技巧分式的化简、求值问题，一是化简要求值的分式，只要能化简就考虑化简；二是化简已知条件，化到 最简后，再考虑代入求值.（四）分式混合运算的解题技巧分式的混合运算，除了掌握运算顺序外，在运算过程中，可灵活运用交换律、结合律、分配律使运算 简化，值得提醒的是最后结果必须是最简分式或整式.（五）分式通分的解题技巧分式的加减运算，分同分母分式相加减和异分母分式相加减，对于异

11、分母分式的加减法，有时直接通 分会很繁琐，我们可以根据式子的特点，灵活的采用不同的方法通分，从而起到事半功倍的效果.1分组通分2.逐项通分1 1 13公式-的运用n (n +1) n n +1核心考点分式的化简求值分式化简求值是中考的热点，常以解答题的题型进行考查，主要考查分式的运算能力.在考查时经常运用分式的基本性质进行运算，解题时要充分运用分式运算法则进行求解.2【经典示例】 化简分式：（X -2xX2 -4x+4为x的值代入求值.,2, 3, 4这四个数中取一个合适的数作第一步,化简：化简运算过程中要注意约分、通分时分式的值保持不变第二步,运算：由已知条件，根据分式的基本性质，适当把分式

12、进行变形，使变形后的分式出现已知条件的形式,然后把已知条件代入变形后的分式，来求分式的值.第三步,求解：分式的化简求值题，关键是要准确地运用分式的.运算法则，然后代入求值.四步，反思:查看关键点、易错点,要注意分清运算顺序，先乘除，后加减，如果有括号，先进行括号内的运算.【满分答案】原式=込2)_丄(x-2)2x-2. x2-4=( )2x-2 X-2x -4= x-3,(x +2)(x-2)X 2X 3=x+2 ,/ x2 4M0 x 3工0 / xM2且 xM 2 且 x3, 可取x=1代入，得原式=3.【解题技巧】 本题主要考查分式的化简求值，熟悉掌握分式的运算法则是解题关键，注意分式有

13、意义的条 件，在分式运算的过程中，要注意对分式的分子、分母进行因式分解，然后简化运算，再运用四则运算法则进行求值计算.分式混合运算的顺序是先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的，其乘除运算归根到底是乘法运算，实质是约分，分式加减实质是通分，结果要化简.关于化简求值，近年来出现了一种开放型问题，题目中给定几个数字，要考虑分母有意义的条件，不要盲目代入.模拟训练先化简，再求值：（忌+忙胡）子宁，其中-rfF扩.1 . (2018旷州)已知 T= a 92 +a(a+3) a(a+3)(1)化简T;（2）若正方形ABCD的边长为a，且它的面积为 9,求T的值.空二？ 口，其中a = a +4

14、 a -4a22 . （ 2018?广东）先化简，再求值:3.（2018?深圳）先化简，再求值:（X-1lx12X +2x+1 甘. c-2，其中X= 2.X-126.（2018?鞍山）先化简，再求值:2X（2018?鄂州）先化简X +3-9X2-2xx-2,再从43、乞、0、2中选一个合适的数作为 X的值代入求值.（2018?可南）先化简，再求值:fa +4警2，然后从-aW2的范围内选取一个合适的整数a 丿 a21作为a的值代入求值.IX+22 + X -仆44，其中 x= 4.X2-4丿7.(2018?朝阳)先化简，再求值:(2018?丹 东)先化简，再求值:（2018?营 口）先化简，再求值:1 1 二 XX + 3乞二9，其中X为整数且满足不等式组！ 2X 132x-13fa -1 a-2 ). 2a2 -a I aa +1 丿 a2 +2a +1x-3亠 x2 4(x+2X2-2x+